江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2024届高三下学期一模考试数学试题

这是一份江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校2024届高三下学期一模考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A．B．C．D．1
3．已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与不垂直，则与一定不垂直
B．若与不平行，则与一定是异面直线
C．若，且，则与可能平行
D．若，则与可能垂直
4．已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A．6B．7C．8D．10
5．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9
6．在ΔABC中，“”是“ΔABC为钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则（ ）
A．
B．不是周期函数
C．在区间上存在极值
D．在区间内有且只有一个零点
8．过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若事件A和事件B互斥，
B．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8
C．若随机变量服从，，则
D．已知y关于x的回归直线方程为，则样本点的残差为
10．函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．（）
三、填空题
12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
13．已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为 ．
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角外接圆的半径为2，且三条圆弧沿三边翻折后交于点.若，则 ；若，则的值为 .
四、解答题
15．已知各项均为正数的数列an的前n项和为，且，，成等差．
(1)求及an的通项公式；
(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
16．已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
(1)求的方程和离心率；
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．
17．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)点为棱的中点，求与平面所成角的正弦值.
18．随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
19．已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
2．A
【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.
【详解】由题意，，，，
，
所以事件与相互独立，则与也相互独立，
.
故选：A.
3．D
【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.
【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误；
对B：当时，与不是异面直线，故B错误；
对C：若，且，与为异面直线，故C错误；
对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确.
故选：D.
4．C
【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果.
【详解】因为数列为等差数列，则，
又，则，即，
则.
故选：C
5．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
6．C
【分析】推出的等价式子，即可判断出结论.
【详解】为钝角三角形.
∴在ΔABC中，“”是“ΔABC为钝角三角形”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7．D
【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解.
【详解】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；
对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，
所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；
对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】由双曲线方程可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，，则，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.
9．BCD
【分析】结合互斥事件易判断A错；将8个数排序，结合百分位数概念可判断B项；结合二项分布图象的对称特征得；结合残差概念可直接判断D项.
【详解】对于A，若事件A和事件B互斥，，未必有，A错；
对于B，对数据从小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8个数字，
由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，B正确；
对于C，因为变量服从，且，
则，故C正确；
对于D，由，得样本点的残差为，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点0,1对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.
12．
【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..
【详解】，故.
故答案为：
13．16
【分析】将直三棱柱外补全成长方体，从而可得直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，从而可得，再根据重要不等式，即可求解．
【详解】如图，将直三棱柱外补全成长方体，
则直三棱柱外接球的直径即为该长方体的对角线，
设，，则，，
直三棱柱的体积为，
当且仅当时，等号成立，
该棱柱体积的最大值为16．
故答案为：16．
14． /5.75
【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式推得，即得答案；
第二空，设，由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定理表示出，即可求得答案.
【详解】设外接圆半径为，则，
由正弦定理，可知，
即，由于是锐角，故，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，
所以；
设，
则，
由于，不妨假设，
由余弦定理知，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,
故 ,
则得，
所以，
同理可得，
所以,
故答案为：；
【点睛】本题重要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.
15．(1)，
(2)2497
【分析】（1）根据等差中项可得，结合与之间的关系分析可知数列an为等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，结合基本不等式可得，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为，，成等差，则，且，
当时，可得，解得或（舍去）；
当时，可得，
两式相减得，整理得，
且，则；
可知数列an是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）因为，由（1）可得，即，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知；
当时，因为，
所以；
综上所述：.
所以数列的前50项和为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小．
【详解】（1）由题意可得，，
可得，，可得，
可得，，
解得，，
所以离心率，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）由（1）可得，
（3）
（4）由题意设直线的方程为，则，
设，，
联立，整理可得，
显然，且，，
直线，的斜率，，
则
，
因为，即，解得，
所以直线的斜率．
即的值为3．

17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，可证平面，根据判定定理可证平面平面；
（2）以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，
∵为正三角形，，∴且.
∵，为的中点，∴，
又∵底面为直角梯形，即，故四边形为平行四边形，
而，所以四边形为矩形，∴.
平面，∴平面.
∵平面，平面平面.
（2）由（1）得，由（1）又可得，
如图，以为坐标原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
.
设平面的法向量为，
由，得，令，则，，
设与平面所成的角为，则
，
∴与平面所成角的正弦值为
18．(1)0.75
(2)7或8
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：，则，
所以.
（2）由（1）可知：，
则，可得，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可得；
所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大.
19．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间.
（2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.
（3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.
【详解】（1）函数定义域为，求导得，
设，则，
①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；
②当时，有两个零点，
则当或时，，即；当时，，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知，当时，时，，
则，令，
于是，
，
所以.
（3）函数，
由于与同号，则只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；
当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，
由， 则，由（2）知，当时，，
则，即，
因此，
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
显然，
而，则，于是当时，存在三个不同的零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
B
C
D
C
BCD
ACD
题号
11









答案
ABD