高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题10不等式特训(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习全套历年真题大数据之10年高考真题专题10不等式特训(原卷版+解析)，共25页。
1．【2019年全国新课标2理科06】若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3bC．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|
2．【2017年新课标2理科05】设x，y满足约束条件2x+3y−3≤02x−3y+3≥0y+3≥0，则z＝2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣9C．1D．9
3．【2014年新课标1理科09】不等式组x+y≥1x−2y≤4的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3
4．【2014年新课标2理科09】设x，y满足约束条件x+y−7≤0x−3y+1≤03x−y−5≥0，则z＝2x﹣y的最大值为（ ）
A．10B．8C．3D．2
5．【2013年新课标2理科09】已知a＞0，实数x，y满足：x≥1x+y≤3y≥a(x−3)，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（ ）
A．2B．1C．12D．14
6．【2022年新高考2卷12】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
7．【2020年山东卷11】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
8．【2020年海南卷11】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
9．【2020年全国1卷理科13】若x，y满足约束条件2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为______________.
10．【2020年全国3卷理科13】若x，y满足约束条件x+y≥0,2x−y≥0，x≤1, ，则z=3x+2y的最大值为_________．
11．【2018年新课标1理科13】若x，y满足约束条件x−2y−2≤0x−y+1≥0y≤0，则z＝3x+2y的最大值为 ．
12．【2018年新课标2理科14】若x，y满足约束条件x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
13．【2017年新课标1理科14】设x，y满足约束条件x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z＝3x﹣2y的最小值为 ．
14．【2017年新课标3理科13】若x，y满足约束条件x−y≥0x+y−2≤0y≥0，则z＝3x﹣4y的最小值为 ．
15．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．
16．【2016年新课标3理科13】若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
17．【2015年新课标1理科15】若x，y满足约束条件x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0．则yx的最大值为 ．
18．【2015年新课标2理科14】若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
模拟好题
1．若关于x的不等式x2−m+2x+2mb>0，下列不等式中正确的是（ ）
A．ca>cbB．abc，则a2+c2ac的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．−∞,−2C．−52,−2D．2,52
10．已知正实数x，y满足2x+4x2+1y2+1−1=y，则x+2y的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．32
11．已知x2+y2=4(xy≠0)，则下列结论正确的是（ ）
A．|x+y|≤22B．|xy|≤2
C．lg2|x|+lg2|y|2
12．已知a>0,b>0，且a+2b=1，则（ ）
A．ab的最大值为19B．1a+2b的最小值为9
C．a2+b2的最小值为15D．(a+1)(b+1)的最大值为2
13．已知实数a,b满足lna+lnb=lna+4b，则下列结论正确的是（ ）
A．ab的最小值为16
B．a+b的最大值为9
C．ab的最大值为9
D．4a+1b的最大值为2
14．已知m>n>1，若em−2m=men+1−nem（e为自然对数的底数），则（ ）
A．emm>en+1n+1B．12m−1>12n
C．2m−4+2−n>22D．lg3m+n>1
15．已知a，b∈R，满足ea+eb=1，则（ ）
A．a+b≤−2ln2B．ea+b0，x+y−3x−3y=4.则x+y的取值范围为__________.
18．已知关于x的方程x2+bx+c=0b,c∈R在−1,1上有实数根，且满足0≤3b+c≤3，则b的最大值是___________.
19．不等式13x1−x0，b>0，lga+lgb=lg2a+b，则2a+b2b的最小值为___________.
21．已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为_________．
22．已知a>0,b>0,c≥−1,a+b=1，则(4a+1b)(c+1)+1c+2的最小值为______________________ .
23．已知a>b>0，当4a+42a+b+12a−b取到最小值时，a=___________．
24．在直角△ABC中，∠A为直角，AB=1,AC=2，M是△ABC内一点，且AM=12，若AM=λAB+μAC，则2λ+3μ的最大值为_________．
25．已知正实数x，y满足：x2+xy+2xy=2，则3x+2y+2y的最小值为_________．
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）
专题10不等式
真题汇总命题趋势
1．【2019年全国新课标2理科06】若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3bC．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|
【答案】解：取a＝0，b＝﹣1，则
ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；
3a=30=1＞3b=3−1=13，排除B；
a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；
|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．
故选：C．
2．【2017年新课标2理科05】设x，y满足约束条件2x+3y−3≤02x−3y+3≥0y+3≥0，则z＝2x+y的最小值是（ ）
A．﹣15B．﹣9C．1D．9
【答案】解：x、y满足约束条件2x+3y−3≤02x−3y+3≥0y+3≥0的可行域如图：
z＝2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
由y=−32x−3y+3=0解得A（﹣6，﹣3），
则z＝2x+y 的最小值是：﹣15．
故选：A．
3．【2014年新课标1理科09】不等式组x+y≥1x−2y≤4的解集记为D，有下列四个命题：
p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2
p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1
其中真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3
【答案】解：作出图形如下：
由图知，区域D为直线x+y＝1与x﹣2y＝4相交的上部角型区域，
p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；
p2：在直线x+2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；
p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y＝3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；
p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；
综上所述，p1、p2正确；
故选：C．
4．【2014年新课标2理科09】设x，y满足约束条件x+y−7≤0x−3y+1≤03x−y−5≥0，则z＝2x﹣y的最大值为（ ）
A．10B．8C．3D．2
【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，
平移直线y＝2x﹣z，
由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C时，直线y＝2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由x+y−7=0x−3y+1=0，解得x=5y=2，即C（5，2）
代入目标函数z＝2x﹣y，
得z＝2×5﹣2＝8．
故选：B．
5．【2013年新课标2理科09】已知a＞0，实数x，y满足：x≥1x+y≤3y≥a(x−3)，若z＝2x+y的最小值为1，则a＝（ ）
A．2B．1C．12D．14
【答案】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点C时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
即2x+y＝1，
由x=12x+y=1，解得x=1y=−1，
即C（1，﹣1），
∵点C也在直线y＝a（x﹣3）上，
∴﹣1＝﹣2a，
解得a=12．
故选：C．
6．【2022年新高考2卷12】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】
因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2−xy=1变形可得x−y22+34y2=1，设x−y2=csθ,32y=sinθ，所以x=csθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cs2θ+53sin2θ+23sinθcsθ=1+13sin2θ−13cs2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23,2，所以当x=33,y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．
故选：BC．
7．【2020年山东卷11】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
【答案】ABD
【解析】
对于A，a2+b2=a2+1−a2=2a2−2a+1=2a−122+12≥12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=12，故B正确；
对于C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2a+b22=lg214=−2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
8．【2020年海南卷11】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a2+b2≥12B．2a−b>12
C．lg2a+lg2b≥−2D．a+b≤2
【答案】ABD
【解析】
对于A，a2+b2=a2+1−a2=2a2−2a+1=2a−122+12≥12，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2a−b>2−1=12，故B正确；
对于C，lg2a+lg2b=lg2ab≤lg2a+b22=lg214=−2，
当且仅当a=b=12时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为a+b2=1+2ab≤1+a+b=2，
所以a+b≤2，当且仅当a=b=12时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
9．【2020年全国1卷理科13】若x，y满足约束条件2x+y−2≤0,x−y−1≥0,y+1≥0,则z=x+7y的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数z=x+7y即：y=−17x+17z，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：2x+y−2=0x−y−1=0，可得点A的坐标为：A1,0，
据此可知目标函数的最大值为：zmax=1+7×0=1.
故答案为：1．
10．【2020年全国3卷理科13】若x，y满足约束条件x+y≥0,2x−y≥0，x≤1, ，则z=3x+2y的最大值为_________．
【答案】7
【解析】
不等式组所表示的可行域如图
因为z=3x+2y，所以y=−3x2+z2，易知截距z2越大，则z越大，
平移直线y=−3x2，当y=−3x2+z2经过A点时截距最大，此时z最大，
由y=2xx=1，得x=1y=2，A(1,2)，
所以zmax=3×1+2×2=7.
故答案为：7.
11．【2018年新课标1理科13】若x，y满足约束条件x−2y−2≤0x−y+1≥0y≤0，则z＝3x+2y的最大值为 ．
【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝3x+2y得y=−32x+12z，
平移直线y=−32x+12z，
由图象知当直线y=−32x+12z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，
最大值为z＝3×2＝6，
故答案为：6
12．【2018年新课标2理科14】若x，y满足约束条件x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
【答案】解：由x，y满足约束条件x+2y−5≥0x−2y+3≥0x−5≤0作出可行域如图，
化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，
由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，z取得最大值，
由x=5x−2y+3=0，解得A（5，4），
目标函数有最大值，为z＝9．
故答案为：9．
13．【2017年新课标1理科14】设x，y满足约束条件x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0，则z＝3x﹣2y的最小值为 ．
【答案】解：由x，y满足约束条件x+2y≤12x+y≥−1x−y≤0作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立x+2y=12x+y=−1，解得A（﹣1，1）．
∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．
故答案为：﹣5．
14．【2017年新课标3理科13】若x，y满足约束条件x−y≥0x+y−2≤0y≥0，则z＝3x﹣4y的最小值为 ．
【答案】解：由z＝3x﹣4y，得y=34x−z4，作出不等式对应的可行域（阴影部分），
平移直线y=34x−z4，由平移可知当直线y=34x−z4，
经过点B（1，1）时，直线y=34x−z4的截距最大，此时z取得最小值，
将B的坐标代入z＝3x﹣4y＝3﹣4＝﹣1，
即目标函数z＝3x﹣4y的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．【2016年新课标1理科16】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．
【答案】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．
由题意，得x∈N，y∈N1.5x+0.5y≤150x+0.3y≤905x+3y≤600，z＝2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得x+0.3y=905x+3y=600，解得：x=60y=100，A（60，100），
目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．
故答案为：216000．
16．【2016年新课标3理科13】若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
【答案】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由x−2y=0x+2y−2=0得D（1，12），
所以z＝x+y的最大值为1+12=32；
故答案为：32．
17．【2015年新课标1理科15】若x，y满足约束条件x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0．则yx的最大值为 ．
【答案】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=yx，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由x=1x+y−4=0，解得x=1y=3，即A（1，3），
kOA=31=3，
即yx的最大值为3．
故答案为：3．
18．【2015年新课标2理科14】若x，y满足约束条件x−y+1≥0x−2y≤0x+2y−2≤0，则z＝x+y的最大值为 ．
【答案】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，
由x−2y=0x+2y−2=0得D（1，12），
所以z＝x+y的最大值为1+12=32；
故答案为：32．
模拟好题
1．若关于x的不等式x2−m+2x+2m0,1a−b>0，所以a−b+1a−b≥2a−b×1a−b=2，故C正确；
对于选项D，因为a>b>0,a−1>b−1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
6．已知正实数a，b满足a+b=1，则下列结论不正确的是（ ）
A．ab有最大值12B．1a+4b的最小值是8
C．若a>b，则1a20,b>0,1=a+b≥2ab，∴ab≤12，当且仅当a=b=12时，等号成立，故A正确；
对B：1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥9，当且仅当2a=b，即a=13,b=23时，等号成立，故B错误；
对C：a>b>0，∴a2>b2，∴1a20，则c>1，
所以，1a+4c=c+4c−1≥2c⋅4c−1=3，当且仅当c=2时，等号成立，
因此，1a+4c的最小值为3.
故选：B.
9．已知a,b,c∈R且a+b+c=0,a>b>c，则a2+c2ac的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．−∞,−2C．−52,−2D．2,52
【答案】C
【解析】
由a+b+c=0,a>b>c，可得a>0，c−a−c>c，则−20,b>0，ab=a+4b，则1b+4a=1，a+b=(a+b)(1b+4a)=5+4ba+ab≥5+4ba×ab=9，当且仅当4ba=ab时，即a=6,b=3时等号成立，故a+b的最小值为9，故B项错误；
因为a>0,b>0，ab=a+4b，4a+1b≤2⋅(4a+1b)=2，当且仅当4a=1b时，即a=8,b=2时等号成立，故D项正确.
故选：AD.
14．已知m>n>1，若em−2m=men+1−nem（e为自然对数的底数），则（ ）
A．emm>en+1n+1B．12m−1>12n
C．2m−4+2−n>22D．lg3m+n>1
【答案】ACD
【解析】
解：因为em−2m=men+1−nem，
所以n+1em=men+1+2，即emm=en+1+2n+1，
对于A，因为emm−en+1n+1=en+1+2n+1−en+1n+1=2n+1>0，
所以emm>en+1n+1，故A正确；
对于B，令fx=exxx>1，则f'x=x−1exx2>0，
所以fx在1 ， +∞上单调递增，
因为emm>en+1n+1，所以fm>fn+1，
所以m>n+1，即m−1>n，所以12m−1n+1，所以2m−4+2−n>2n−3+2−n≥22n−3⋅2−n=22−3=22，
当且仅当2n−3=2−n，即n=32时取等号，
所以2m−4+2−n>22，故C正确；
对于D，因为m+n>n+1+n=2n+1>3，所以lg3m+n>1，故D正确.
故选：ACD.
15．已知a，b∈R，满足ea+eb=1，则（ ）
A．a+b≤−2ln2B．ea+b0，则ea+b=1+b−eb且a,b∈(−∞,0)，
令f(x)=ex−x且x∈(−∞,0)，则f'(x)=ex−1f(0)=1，ex>x+1，即ea+b=1+b−eb22，
故答案为：(22,+∞)
17．已知x>0，y>0，x+y−3x−3y=4.则x+y的取值范围为__________.
【答案】[6,+∞)
【解析】
因为x+y−3x−3y=4，x>0 , y>0，
所以x+y−4=3(x+y)xy≥3(x+y)x+y22=12x+y，当且仅当x=y时等号成立，
即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，
解得x+y≥6或x+y≤−2（舍去）
所以x+y的取值范围为[6,+∞).
故答案为：[6,+∞)
18．已知关于x的方程x2+bx+c=0b,c∈R在−1,1上有实数根，且满足0≤3b+c≤3，则b的最大值是___________.
【答案】2
【解析】
由x2+bx+c=0可得c=−x2−bx，0≤3b+c≤3⇔0≤3b−x2+bx≤3，
整理得x23−x≤b≤x2+33−x，令t=3−x，因为x∈−1,1，所以t∈2,4，不等式x23−x≤b≤x2+33−x等价于t−32t≤b≤t−32+3t，即t+9t−6≤b≤t+12t−6，结合对勾函数性质可知，t+9tmin=6（t=3时取到），t+12tmax=8（t=2时取到），所以0≤b≤2，则b的最大值是2.
故答案为：2
19．不等式13x1−x0,b>0,a+b=1，
所以4a+1b=4a+1ba+b=5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=9，
当且仅当4ba=ab，即a=23,b=13时，等号成立，
所以(4a+1b)(c+1)+1c+2≥9(c+1)+1c+2，
=9(c+2)+1c+2−9，
令t=c+2≥1，
因为y=9t+1t−9在[1,+∞)上递增，
所以ymin=1，
故答案为：1
23．已知a>b>0，当4a+42a+b+12a−b取到最小值时，a=___________．
【答案】34##0.75
【解析】
知a>b>0，当4a+42a+b+12a−b取到最小值时，a=
由题意知：4a+42a+b+12a−b=2a+b+42a+b+2a−b+12a−b
≥22a+b⋅42a+b+22a−b⋅12a−b
=6，
当且仅当2a+b=42a+b,2a−b=12a−b，即a=34,b=12时取等，
故当4a+42a+b+12a−b取到最小值时，a=34.
故答案为：34.
24．在直角△ABC中，∠A为直角，AB=1,AC=2，M是△ABC内一点，且AM=12，若AM=λAB+μAC，则2λ+3μ的最大值为_________．
【答案】54##1.25
【解析】
∵∠A=π2，AB=1，AC=2，AM=λAB+μAC，则AB⋅AC=0，且AM=12，
则AM2=λAB+μAC2=λ2AB2+2λμAB⋅AC+μ2AC2=λ2+4μ2=14，
∵点M在△ABC内，则λ>0，μ>0，设λ=12csθ，μ=14sinθ 0