苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)第6章平面图形的认识(一)(提优卷)特训（学生版+解析）

这是一份苏科版数学七年级上册全程通关培优(专项卷+章节复习+期中期末备考)第6章平面图形的认识(一)(提优卷)特训（学生版+解析），共33页。试卷主要包含了56，5，等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.56
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），则下列结论一定成立的是（ ）
A．∠BAD≠∠EACB．∠DAC﹣∠BAE＝45°
C．∠DAC+∠BAE＝180°D．∠DAC﹣∠BAE＝90°
2．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点P，只能画一条直线
3．（2分）（2022秋•连云港期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D在点C的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且AB＝3CD，则CD的长度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
4．（2分）（2022秋•海安市期末）将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）（2022秋•常州期末）已知线段AB＝15cm，C是线段AB上的一点．若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，且，则线段AC的长度是（ ）
A．5cmB．3，5cmC．9cmD．5，9cm
6．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
7．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
8．（2分）（2021秋•秦淮区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH＝（AH﹣HB）；③MN＝（AC+HB）；④HN＝（HC+HB），其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： ．（结果形如6点分）
12．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，C为线段AB上一点，点E、F分别是线段AC、CB的中点，AB＝8，则线段EF的长为 ．
13．（2分）（2017秋•滨海县期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 同学的说法是正确的．
14．（2分）（2020秋•邗江区校级月考）3：30时钟表上的时针与分针的夹角是 度．
15．（2分）（2022秋•高新区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 ．
16．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是 度．
17．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ ．
18．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是： ．
19．（2分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝ 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．
20．（2分）（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝ 度．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠NOD的度数；
（2）如果ON与CD互相垂直，那么∠1＝∠2吗？请说明理由．
22．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，点D是线段AB的中点，若AB＝10cm，BC＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且BE＝2cm，点F是BE的中点，求线段DF的长．
23．（8分）（2022秋•赣榆区校级月考）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线AB；
（2）画射线AC；
（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；
（4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．
24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
25．（8分）（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．
（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号）
（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
26．（8分）（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 ；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 ．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
28．（8分）（2018秋•盱眙县期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t＝ （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC＝36°？请说明理由．
2023-2024学年苏科版数学七年级上册章节真题汇编检测卷（提优）
第6章 平面图形的认识（一）
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.56
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），则下列结论一定成立的是（ ）
A．∠BAD≠∠EACB．∠DAC﹣∠BAE＝45°
C．∠DAC+∠BAE＝180°D．∠DAC﹣∠BAE＝90°
解：∵是直角三角板，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，①不成立；
∠DAC﹣∠BAE的值不固定，②不成立；
∵是直角三角板，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAE+∠BAE+∠EAC＝180°，
即∠BAE+∠DAC＝180°，③成立；
∠DAC与∠BAE的大小不确定，④不成立；
故选：C．
2．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）下列说法错误的是（ ）
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点P，只能画一条直线
解：A、对顶角相等，此选项正确，不符合题意；
B、两点之间所有连线中，线段最短，此选项正确，不符合题意；
C、等角的补角相等，此选项正确，不符合题意；
D、过任意一点P，能画无数条直线，此选项错误，符合题意；
故选：D．
3．（2分）（2022秋•连云港期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D在点C的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且AB＝3CD，则CD的长度是（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
解：∵图中所有线段的和等于60cm，
∴AC+AD+AB+CD+CB+DB＝60cm，
∴AB+AB+AB+CD＝60cm．
∵AB＝3CD，
∴10CD＝60cm，
解得：CD＝6cm．
故选：A．
4．（2分）（2022秋•海安市期末）将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、∠α+∠β＝90°，
故此选项不符合题意；
B、∠α+∠β＜180°，
故此选项不符合题意；
C、如图：
∵∠α＝∠1＝45°，∠1+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝180°，
故此选项符合题意；
D、如图：
∵∠D＝45°，∠2＝∠1＝60°，
∴∠β＝45°+60°＝105°，
∵∠α＝60°，
∴∠α+∠β＝165°，
故此选项不符合题意，
故选：C．
5．（2分）（2022秋•常州期末）已知线段AB＝15cm，C是线段AB上的一点．若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，且，则线段AC的长度是（ ）
A．5cmB．3，5cmC．9cmD．5，9cm
解：当D在B的右侧，如图（1），
设DB＝xcm，
∵BD＝BC，
∴BC＝2xcm，
∴CD＝CB+BD＝3xcm，
∵C是AD的中点，
∴AC＝CD＝3xcm，
∴AB＝AC+CB＝5x＝15，
∴x＝3，
∴AC＝3x＝9（cm）；
当D在B的左侧，如图（2），
∵BD＝BC，
∴CD＝BD，
∵C是AD中点，
∴AC＝CD，
∴AB＝3AC＝15cm，
∴AC＝5（cm），
∴AC的长是9cm或5cm．
故选：D．
6．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（ ）
A．x+3yB．2x+2yC．3x+yD．3y﹣x
解：∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠COD
＝（∠AOB+∠BOD）+（∠AOC+∠COD）+∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠AOD+∠AOD+∠BOC
＝3∠AOD+∠BOC
＝3y+x，
故选：A．
7．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点
B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”
C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6
D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC
解：A：漏掉A、B、C三点在同一直线上，
∴不符合题意；
B：原理应该是：“两点之间线段最短”，
∴不符合题意；
C：分两种情况①图
AC＝6，
②图
AC＝2，
∴不符合题意；
D：①图
②图
这两种情况都能满足AC＝BD，则AD＝BC，
∴符合题意；
故选：D．
8．（2分）（2021秋•秦淮区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH＝（AH﹣HB）；③MN＝（AC+HB）；④HN＝（HC+HB），其中正确的是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④
解：∵H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，
∴AH＝CH＝AC，AM＝BM＝AB，BN＝CN＝BC，
∴MN＝MB+BN＝（AB+BC）＝AC，
∴MN＝HC，①正确；
（AH﹣HB）＝（AB﹣BH﹣BH）＝MB﹣HB＝MH，②正确；
MN＝AC，③错误；
（HC+HB）＝（BC+HB+HB）＝BN+HB＝HN，④正确，
故选：B．
9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40°B．45°C．56°D．37°
解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝16°，
∴∠DAF＝16°+β，
∠BAE＝16°+α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴16°+β+β+16°+16°+α+α＝90°，
∴α+β＝21°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
＝16°+α+β
＝16°+21°
＝37°．
则∠EAF的度数为37°．
故选：D．
10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（ ）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻： 6点分或6点分 ．（结果形如6点分）
解：设6点m分时，时针与分针所成钟面角为100°，时针每分钟转，分针每分钟转6°，六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°，
依题意得：分时针与分针重合前，0.5m+180﹣6m＝100，
解得：，
分时针与分针重合后，6m﹣（0.5m+180）＝100，
解得：，
故答案为：6点分或6点分．
12．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，C为线段AB上一点，点E、F分别是线段AC、CB的中点，AB＝8，则线段EF的长为 4 ．
解：∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴，，
∵AB＝8，
∴，
故答案为：4．
13．（2分）（2017秋•滨海县期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为 甲 同学的说法是正确的．
解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，应该是两点确定一条直线，而不是两点之间线段最短．
故答案为：甲．
14．（2分）（2020秋•邗江区校级月考）3：30时钟表上的时针与分针的夹角是 75 度．
解：下午3：30时时针与分针相距2+＝份，
每份之间相距30°，
下午3：30时，钟表上的时针与分针间的夹角是30°×＝75°．
故答案为：75．
15．（2分）（2022秋•高新区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为 8或4 ．
解：如图（1），
∵E为线AC的中点，CE＝3，
∴AC＝2CE＝6，
∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝AC+CD＝6+1＝7，
∴BC＝BD+CD＝7+1＝8；
∴如图（2）
∵E为线AC的中点，CE＝3，
∴AC＝2CE＝6，
∴AD＝AC﹣CD＝6﹣1＝5，
∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BC+CD＝AD＝5，
∴BC＝5﹣CD＝5﹣1＝4．
∴BC的长是8或4．
故答案为：8或4．
16．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是 60 度．
解：设这个角为x度，则：180﹣x＝4（90﹣x）．
解得：x＝60．
故这个角的度数为60度．
17．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝ 25° ．
解：∵∠AOB＝130°，OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOB＝65°，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOD＝25°，
故答案为：25°．
18．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是： 两点之间线段最短． ．
解：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
19．（2分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝ 105°或75° 时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．
解：当AB⊥直线CD时，AB，BO分别交DC的延长线于M，N点，如图，
∴∠BMN＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠CNO＝∠BNM＝45°，
∵∠DCO＝60°，∠DCO＝∠CNO+∠BOC，
∴∠BOC＝60°﹣45°＝15°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+15°＝105°；
当AB⊥CD时，AB，AO分别交CD于点E，F，
∴∠AEC＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠CFO＝∠AFE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠CFO＝∠AOD+∠D，∠D＝30°，
∴∠AOD＝45°﹣30°＝15°，
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣15°＝75°．
综上，∠AOC的度数为105°或75°．
20．（2分）（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝ 105 度．
解：如图1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°+∠BOD），
∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°+∠BOD），
∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD＝（45°+60°），
如图2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON＝∠BOC＝（45°﹣∠BOD），
∠MOD＝∠MOA＝∠AOD＝（60°﹣∠BOD），
∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD＝（45°+60°），
∴α+β＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠NOD的度数；
（2）如果ON与CD互相垂直，那么∠1＝∠2吗？请说明理由．
解：（1）∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∵∠1＝40°，
∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AOC﹣∠2＝180°﹣50°﹣30°＝100°；
（2）∠1＝∠2，理由如下：
如果ON与CD互相垂直，
则∠CON＝90°，
∴∠COA+∠2＝90°，
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠COA+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2．
22．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，点D是线段AB的中点，若AB＝10cm，BC＝3cm．
（1）求线段CD的长；
（2）若点E是直线AB上一点，且BE＝2cm，点F是BE的中点，求线段DF的长．
解：（1）∵点D是线段AB的中点，AB＝10cm，
∴，
∵BC＝3cm，
∴CD＝BD﹣BC＝2cm；
（2）当点E在AB的延长线上时，如图，
∵BE＝2cm，点F是BE的中点，
∴，
∴DF＝BD+BF＝5+1＝6cm；
当点E在线段AB上时，如图，
∵BE＝2cm，点F是BE的中点，
∴，
∴DF＝BD﹣BF＝5﹣1＝4cm；
综上所述，线段DF的长为6cm或4cm．
23．（8分）（2022秋•赣榆区校级月考）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
（1）画直线AB；
（2）画射线AC；
（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；
（4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．
解：如图所画：
（1）
（2）
（3）
（4）．
24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：
（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；
（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：
（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠AOB，
∴
∵OE分别平分∠AOC，∠AOC＝40°．
∴
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝60°﹣20°
＝40°．
（2）若射线OC在∠AOB的内部，如图2
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE
＝
＝（m﹣n）°．
所以当射线OC在∠AOB的内部时，∠DOE＝（n﹣m）°．
若射线OC在∠AOB外部时，如图3
∵∠AOB＝m°，∠AOC＝n°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE
＝
＝（n+m）°．
所以当射线OC在∠AOB的外部时，∠DOE＝（n+m）°．
25．（8分）（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．
（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ③ ；（填序号）
（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？
（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．
解：（1）①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部．
②当这个角是直角时，它的补线只有1条；
③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条；
故答案为：③；
（2）OC是∠AOD关于边OD的补线；
理由：∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，
又∵OC不与OA重合，
∴OC是∠AOD关于边OD的补线．
（3）∠AOP＝α﹣90°或∠AOP＝α+90°或90°﹣α．
理由：
①如图，当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB内部时，
∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OP是∠BOC的平分线．
∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝α﹣（90°﹣α）＝α﹣90°．
②如图，当∠AOB为钝角，且OC在∠AOB外部时，∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∵∠AOB＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OP是∠BOC的平分线．
∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠AOP＝∠AOC﹣∠BOP＝180﹣（90°﹣α）＝α+90°．
③如图，当∠AOB为锐角，且OC在∠AOB下方时，∵射线OC为∠AOB关于边OB的补线，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180﹣α，
∵OP平分∠BOC，
∴∠BOP＝∠BOC＝90°﹣α，
∴∠AOP＝∠BOP﹣∠AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣α．
26．（8分）（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．
（1）若点D表示的数为﹣7，则
d1（点D，线段AB）＝ 2 ，d2（点D，线段AB）＝ 9 ；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为 ﹣8或5 ；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为 ﹣10或7 ．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
解：（1）∵点D表示的数为﹣7，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，
d2（点D，线段AB）＝DB＝2﹣（﹣7）＝9，
故答案为：2，9．
（2）①当点M在点A的左侧：
有AM＝3，
∴m＝﹣8；
当点M在点B的右侧：
有BM＝3，
∴m＝5，
∴m的值为﹣8或5．
②当点N在点A的左侧：
有BN＝12，
∴n＝﹣10；
当点N在点B的右侧：
有AN＝12，
∴n＝7，
∴n的值为﹣10或7．
（3）分三种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴﹣x＝3（﹣5﹣x），
∴x＝﹣7.5，
当点E在线段AB上时，d1（点E，线段AB）＝0，不合题意舍去，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴x+7＝3（x﹣2），
∴x＝6.5，
综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．
27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．
（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；
（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；
（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD三者之间的数量关系，并说明理由．
解（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BOD＝30°，
∴∠AOC＝60°﹣30°＝30°；
（2）∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∵∠EOD＝∠COD﹣∠COE，∠COD＝60°，
∴∠EOD＝60°﹣∠BOC，
∵∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝120°﹣∠BOC，
∴∠AOC＝2∠EOD；
（3）∵∠AOP+∠AOC＝90°，
∴∠AOP＝90°﹣∠AOC，
∵∠BOQ+∠BOD＝90°，
∴∠BOQ＝90°﹣∠BOD，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（∠AOC+∠BOD）＝180°﹣（∠AOB﹣∠COD），
∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝180°﹣（120°﹣60°）＝120°＝2×60°，
∴∠AOP+∠BOQ＝2∠COD．
28．（8分）（2018秋•盱眙县期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t＝ 5秒 （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC＝36°？请说明理由．
解：（1）∵∠AON+∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝2∠COM＝150°，
∴∠COM＝75°，
∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝30°﹣15°＝15°，
解得：t＝15°÷3°＝5秒；
（2）5秒或115秒时，OC平分角MON，理由如下：
当OC运动时，
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠CON＝∠COM，
∵∠MON＝90°，
∴∠CON＝∠COM＝45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
∵∠AOC﹣∠AON＝45°，
可得：6t﹣3t＝15°，
解得：t＝5秒；
OC停止运动，OM运动345°时，此时，OC也平分∠MON，
t＝345÷3＝115（秒）；
（3）当OC运动时，
如图：OC平分∠MOB
OC可能在∠MOB内侧也可能在外侧，由题意得：
6t﹣3t＝54°﹣30°＝24°或6t﹣3t＝126°﹣30°＝96°，
解得：t＝8或32秒；
当OC停止运动时，
MO运动到AO下方36°时，∠MON＝36°，
t＝（270﹣6）÷3＝88（秒），
MO运动到AO下方36°时，∠MOC＝36°，
t＝（270+30+36）÷3＝112（秒）
答：经过8或32秒或112秒或88秒
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分