高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第1讲正弦定理和余弦定理(知识点串讲)特训（学生版+解析），共13页。试卷主要包含了正弦定理，三角形中常用的面积公式等内容，欢迎下载使用。
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
考点1：利用正弦定理解三角形
例1．(2019·辽宁沈阳模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
练习1．(2019·山东烟台模拟)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝eq \r(3)b，则角A＝________.
利用正弦定理可解决两类问题
考点2：利用余弦定理解三角形
例2．(2019·山东济南期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cs C＝( )
A．eq \f(\r(2),4)B．－eq \f(\r(2),4)
C．eq \f(3,4)D．－eq \f(3,4)
练习2．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcs B＝acs C＋ccs A，则B＝________.
利用余弦定理可解决两类问题
考点3：判断三角形的形状
例3、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
[变式探究1] 本题1中，若将条件变为2sin Acs B＝sin C，判断△ABC的形状．
[变式探究2] 本题1中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cs Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
判定三角形形状的2种常用途径
二、三角形中常用的面积公式
1.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)absin C；
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
2.在△ABC中常用结论
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sinC；cs(A＋B)＝－csC；tan(A＋B)＝－tanC；sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；cs eq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cs A0，
∴cs A＝eq \f(\r(3),2)，bc＝eq \f(4,cs A)＝eq \f(8\r(3),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).]
考点5 求解几何计算问题
例5、如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足．
(1)若△BCD的面积为eq \f(\r(3),3)，求AB的长；
(2)若DE＝eq \f(\r(6),2)，求角A的大小．
解 (1)∵△BCD的面积为eq \f(\r(3),3)，B＝eq \f(π,3)，BC＝2，
∴eq \f(1,2)×2×BD×sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),3)，∴BD＝eq \f(2,3).
在△BCD中，由余弦定理可得
CD＝eq \r(BC2＋BD2－2BC·BD·cs B)
＝eq \r(4＋\f(4,9)－2×2×\f(2,3)×\f(1,2))＝eq \f(2\r(7),3).
∴AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝eq \f(2\r(7),3)＋eq \f(2,3)＝eq \f(2\r(7)＋2,3).
(2)∵DE＝eq \f(\r(6),2)，∴CD＝AD＝eq \f(DE,sin A)＝eq \f(\r(6),2sin A).
在△BCD中，由正弦定理可得eq \f(BC,sin ∠BDC)＝eq \f(CD,sin B).
∵∠BDC＝2∠A，∴eq \f(2,sin 2A)＝eq \f(\r(6),2sin Asin \f(π,3))，∴cs A＝eq \f(\r(2),2).∴A＝eq \f(π,4).
练习5、 (2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cs B＝－eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高．
解 (1)在△ABC中，因为cs B＝－eq \f(1,7)，
所以sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝eq \f(4\r(3),7).
由正弦定理得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(3),2).
由题设知eq \f(π,2)