高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲等比数列及其前n项和(专题测试)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第4讲等比数列及其前n项和(专题测试)特训（学生版+解析），共13页。
1．（2020•黑龙江模拟）设等比数列{an}的前6项和为6，且公比q＝2，则a1＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2020•昆明一模）在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝a2+2，Sn为其前n项的和，则＝（ ）
A．6B．9C．12D．15
3．（2020•江西模拟）在等比数列{an}中，a1＝1，，则a6的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2019秋•惠州月考）已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（ ）
A．1B．﹣1C．D．
5．（2019秋•南阳期末）在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣2an＝0，则a5＝（ ）
A．16B．32C．64D．128
6．（2020•天津模拟）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）
A．4天B．5天C．6天D．7天
7．（2020•长春二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，，则Sn＝（ ）
A．2n﹣1+1B．n•2nC．3n﹣1D．2n•3n﹣1
8．（2020•四川模拟）若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，则＝（ ）
A．B．﹣2C．2D．
9．（2020春•上饶月考）已知正项等比数列{an}满足a7＝2a6+3a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（ ）
A．16B．C．5D．4
10．（2020•香坊区校级二模）有限数列A＝{a1，a2，…，an}，Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，如有504项的数列a1，a2，…，a504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a1，a2，…，a504的“凯森和”为（ ）
A．2014B．2016C．2018D．2020
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•浙江模拟）在数列{an}中，Sn为它的前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则an＝ Sn＝ ．
12．（2020•青浦区一模）我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为an，则an＝ ．
13．（2020•湘潭三模）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．令bn＝，则数列{bn}的前50项和T50＝ ．
14．（2020•盐城三模）已知数列{an}、{bn}满足bn＝lg2an，且数列{bn}是等差数列．若b3＝2，b10＝9，则数列{an}的前n项和Sn＝ ．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•日照一模）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，若 _______，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn+1＝nbn﹣bn+1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（2019春•博望区校级期中）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
（Ⅰ）证明{an}是等比数列；
（Ⅱ）求a1+a2+…+an的值．
17．（2020•罗湖区校级模拟）已知递增等差数列{an}满足a1+a5＝10，a2•a4＝21，数列{bn}满足2lg2bn＝an﹣1，n∈N*．
（Ⅰ）求{bn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）若Tn＝nb1+（n﹣1）b2+……+bn，求数列{Tn}的通项公式．
评卷人
得 分


必修5 第4讲 等比数列及其前n项和（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020•黑龙江模拟）设等比数列{an}的前6项和为6，且公比q＝2，则a1＝（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：由题意可得，
即．
故选：A．
【点睛】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2020•昆明一模）在正项等比数列{an}中，若a1＝1，a3＝a2+2，Sn为其前n项的和，则＝（ ）
A．6B．9C．12D．15
【解析】解：设正项等比数列{an}的公比为q，则 q＞0．∵a1＝1，a3＝a2+2，∴q2＝q+2⇒q＝2．
∴＝＝1+q3＝9，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题．
3．（2020•江西模拟）在等比数列{an}中，a1＝1，，则a6的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：设等比数列{an}公比为q，由，所以．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题．
4．（2019秋•惠州月考）已知数列{an}是等比数列，函数y＝x2﹣5x+3的两个零点是a1、a5，则a3＝（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【解析】角：由韦达定理可知a1+a5＝5，a1•a5＝3，
则a1＞0，a5＞0，从而a3＞0，
且，
故选：D．
【点睛】本题考查等比数列中第3项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2019秋•南阳期末）在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣2an＝0，则a5＝（ ）
A．16B．32C．64D．128
【解析】解：在数列{an}中，a1＝1，an+1﹣2an＝0，即an+1＝2an，
则数列{an}以a1＝1，公比为2的等比数列，
则a5＝1×24＝16，
故选：A．
【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式，属于基础题．
6．（2020•天津模拟）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）
A．4天B．5天C．6天D．7天
【解析】解：根据题意，设蒲的长度组成数列{an}，莞的长度组成数列{bn}，第t天莞的长度是蒲的长度的4倍，
则数列{an}为等比数列，其首项a1＝4，公比为，其前n项和为An，则An＝＝8×（1﹣），
数列{bn}为等比数列，其首项b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn，则Bn＝＝2n﹣1，
若第t天莞的长度是蒲的长度的4倍，则有4×[8×（1﹣）]＝2t﹣1；
解可得：t＝5，
故选：B．
【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
7．（2020•长春二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，，则Sn＝（ ）
A．2n﹣1+1B．n•2nC．3n﹣1D．2n•3n﹣1
【解析】解：法一：排除法：a2＝6，a3＝16，验证知B对．
法二：∵，
∴，
∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，an与Sn的关系是解决本题的关键．
8．（2020•四川模拟）若不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，则＝（ ）
A．B．﹣2C．2D．
【解析】解：不相等的非零实数x，y，z成等差数列，且x，z，y成等比数列，
可得x+z＝2y，z2＝xy，消去z可得（x﹣2y）2＝xy，
化为x2﹣5xy+4y2＝0，解得x＝4y（x＝y舍去），
即有z＝﹣2y，
则＝＝﹣，
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算求解能力，属于基础题．
9．（2020春•上饶月考）已知正项等比数列{an}满足a7＝2a6+3a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（ ）
A．16B．C．5D．4
【解析】解：正项等比数列{an}满足a7＝2a6+3a5，
可得a1q6＝2a1q5+3a1q4，可得q2＝2q+3，解得q＝3（q＝﹣1舍去），
存在两项am，an，使得＝a22，所以m+n＝4，
则＝（）（m+n）＝≥＝4，当且仅当n＝3m＝3时，取等号，
所以的最小值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的应用，等比数列的性质以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
10．（2020•香坊区校级二模）有限数列A＝{a1，a2，…，an}，Sn为其前n项和，定义为A的“凯森和”，如有504项的数列a1，a2，…，a504的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，a1，a2，…，a504的“凯森和”为（ ）
A．2014B．2016C．2018D．2020
【解析】解：由题意，可知
对于504项的数列a1，a2，…，a504，根据“凯森和”的定义，有
＝＝2020，
则a1+（a1+a2）…+（a1+a2+…+an）＝2020×504，
对于505项的数列2，a1，a2，…，a504，根据“凯森和”的定义，有
＝
＝
＝
＝2018．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解及运用的问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•浙江模拟）在数列{an}中，Sn为它的前n项和，已知a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，则an＝ 3n﹣1﹣n Sn＝ ．
【解析】解：∵a2＝1，a3＝6，且数列{an+n}是等比数列，
∴a2+2＝3，a3+3＝9，q＝3，
由等比数列的通项公式可得，an+n＝3×3n﹣2＝3n﹣1，
所以，
，
＝＝．
故答案为：3n﹣1﹣n，．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式及分组求和方法的应用，属于中档试题．
12．（2020•青浦区一模）我国古代庄周所著的《庄子•天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰．日取其半，万世不竭．”其含义是：一根尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去，若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第n天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为an，则an＝ ．
【解析】解：依题意，第1天“日取其半”后a1＝；
第2天“日取其半”后a2＝＝；
第3天“日取其半”后a3＝＝；、
……
∴第n天“日取其半”后an＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查归纳法求数列的通项公式，考查归纳推理的能力，属于基础题．
13．（2020•湘潭三模）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．令bn＝，则数列{bn}的前50项和T50＝ ．
【解析】解：因为S1＝a1，，，
由题意得，解得a1＝1，所以an＝2n﹣1，
则，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．（2020•盐城三模）已知数列{an}、{bn}满足bn＝lg2an，且数列{bn}是等差数列．若b3＝2，b10＝9，则数列{an}的前n项和Sn＝ 2n﹣1 ．
【解析】解：由题意，设等差数列{bn}的公差为d，则
，解得，
∴bn＝0+1•（n﹣1）＝n﹣1，n∈N*，
∵bn＝lg2an，即lg2an＝bn＝n﹣1，
∴an＝2n﹣1＝1•2n﹣1，n∈N*，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn＝＝2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的计算，判别，以及等比数列的求和问题．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•日照一模）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，若 _______，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn+1＝nbn﹣bn+1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{bn}的前n项和Tn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】解：若选①：
（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴当n＝1时，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．
又∵a2+a3＝a5﹣b1，∴d＝3，
∴an＝3n﹣1；
（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴b，Tn＝＝．
若选②：
（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴当n＝1时，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．
又∵a2•a3＝2a7，∴（2+d）（2+2d）＝2（2+6d），∵d＞0，∴d＝3，
∴an＝3n﹣1；
（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴b，Tn＝＝．
若选③：
（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴当n＝1时，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．
又∵S3＝15，∴d＝3，
∴an＝3n﹣1；
（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴b，Tn＝＝．
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式的求法及公式法求前n项和，属于基础题．
16．（2019春•博望区校级期中）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
（Ⅰ）证明{an}是等比数列；
（Ⅱ）求a1+a2+…+an的值．
【解析】解：（Ⅰ）证明：记a1为圆On的半径，则a1＝tan30°＝，
又＝sin30°＝，∴an＝an﹣1 （n≥2），所以{an}是首项为，公比为的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝×（）n﹣1＝，
所以a1+a2+…+an＝＝[1﹣（）n]．
【点睛】本题主要考查由实际问题转化为等比数列问题的建模能力及等比数列通项公式、前n项和的求法，属于基础题．
17．（2020•罗湖区校级模拟）已知递增等差数列{an}满足a1+a5＝10，a2•a4＝21，数列{bn}满足2lg2bn＝an﹣1，n∈N*．
（Ⅰ）求{bn}的前n项和Sn；
（Ⅱ）若Tn＝nb1+（n﹣1）b2+……+bn，求数列{Tn}的通项公式．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{an}公差为d（d＞0），则
，
解得（舍去），或，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∵2lg2bn＝an﹣1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴lg2bn＝n﹣1，即bn＝2n﹣1＝1•2n﹣1，n∈N*．
故数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
则Sn＝＝2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知
Tn＝nb1+（n﹣1）b2+…+bn
＝b1+（b1+b2）+（b1+b2+b3）+…+（b1+b2+…+bn）
＝S1+S2+S3+…+Sn
＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）
＝（2+22+23+…+2n）﹣n
＝﹣n
＝2n+1﹣n﹣2．
【点睛】本题祝要考查等差数列基本量的计算，等比数列的判定及求和，以及运用分组求和法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．