5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题03方程与方程组(真题5个考点模拟23个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题03方程与方程组(真题5个考点模拟23个考点)特训（学生版+解析），共54页。试卷主要包含了某超市有线上和线下两种销售方式，2＝4等内容，欢迎下载使用。
一．一元一次方程的应用（共2小题）
1．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
2．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
3．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
4．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
三．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
5．（2019•安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．
四．根的判别式（共2小题）
6．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3B．x2+1＝0C．x2+1＝2xD．x2﹣2x＝0
7．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
一．解一元一次方程（共2小题）
1．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（ ）
A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1
C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6
2．（2023•六安三模）关于x的一元一次方程的解为 ．
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）
3．（2023•花山区一模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客较少，随着国内疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人数比2020年上半年增加了40%，预计2021年上半年游客人数将达到2020年上半年的2倍，设2021年上半年，与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（ ）
A．（1+40%）（1+x）＝2B．（1+40%）（1+x）2＝2
C．1+40%+x＝2D．1+40%（1+x）＝2
4．（2023•固镇县一模）本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程 ．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）
5．（2023•蒙城县三模）小刚从家出发去上学，若跑步去学校，每小时跑10km会迟到5分钟：若同一时刻沿着同一路线，骑自行车去学校，每小时骑15km则可早到12分钟，设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
三．一元一次方程的应用（共7小题）
6．（2023•合肥三模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工队计划8天完成任务，在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米，最后完成任务共用了10天，问施工队共需完成修建灌溉水渠多少米？
7．（2023•淮南二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关：初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程．
8．（2023•瑶海区二模）列方程或方程组解应用题：2022年卡塔尔世界杯小组赛中，A组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如表（不完整）：注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
根据以上信息，求：
（1）荷兰队胜场数、平场数各是多少？
（2）塞内加尔队最后的积分是多少？
9．（2023•萧县三模）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱．
（1）若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为 钱（用含x的式子表示）；
（2）计算购买3个该物品所需的钱数．
10．（2023•蚌山区三模）在举办“智慧大阅读”的某一项比赛现场，组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？
11．（2023•庐江县三模）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄穴发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
12．（2023•砀山县一模）A，B两个超市同时促销某款笔记本，已知两个超市的标价都是每本10元，A超市的优惠条件是：不超过10本按标价销售，从第11本开始每本按标价的70%销售；B超市的优惠条件是：每本均按标价的80%销售．
（1）小明要购买x本（x＞10）笔记本时，到A超市需要付款 元，到B超市需要付款 元；
（2）购买多少本时，两个超市付款一样多？
四．二元一次方程的定义（共1小题）
13．（2023•禹会区二模）若方程7x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 ．
五．解二元一次方程组（共1小题）
14．（2023•庐阳区校级模拟）方程组的解为 ．
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）
15．（2023•包河区三模）2022年某地区参加养老保险的妇女人数共165万人，比2010年增加120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，设2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为x万人和y万人，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023•雨山区校级模拟）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
七．二元一次方程组的应用（共4小题）
17．（2023•庐阳区校级三模）在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克：谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如图所示）．
设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克．
（1）请补全表格（用含有x，y的代数式表示）；
（2）求出x，y的值．
18．（2023•合肥模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
19．（2023•宿州模拟）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
（1）求x，y的值；
（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
20．（2023•安徽模拟）某工厂安排100名工人生产A、B、C三种产品，每人每天可以生产1件A产品或2件B产品或1件C产品，生产1件A产品可获利50元，生产1件B产品可获利30元，要求每天生产的B产品数和C产品数相等，且生产A产品的获利比生产B产品的获利多800元，则应安排多少人生产B产品？
八．一元二次方程的定义（共2小题）
21．（2023•庐江县模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1B．x＝3x3﹣2C．x2﹣2＝0D．3x＝1
22．（2023•砀山县一模）方程+（5+m）x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
九．一元二次方程的解（共3小题）
23．（2023•定远县校级模拟）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．
24．（2023•阜阳三模）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3
25．（2023•萧县三模）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，则k＝ ．
一十．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
26．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0
一十一．解一元二次方程-配方法（共2小题）
27．（2023•芜湖模拟）若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，则b，k的值分别为（ ）
A．0，4B．0，5C．﹣6，5D．﹣6，4
28．（2023•庐阳区校级三模）解方程：x（x﹣6）＝6．
一十二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
29．（2023•芜湖模拟）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
30．（2023•庐江县一模）等腰三角形的两边长为方程x2﹣4x+3＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为 ．
一十三．根的判别式（共5小题）
31．（2023•霍邱县一模）关于x的一元二次方程x2﹣2023x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
32．（2023•蜀山区三模）若关于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有实数根，则m的值有可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
33．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠﹣1B．且k≠﹣1
C．D．
34．（2023•庐阳区校级三模）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，+c的值等于（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
35．（2023•金安区一模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．x2＝xC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣3x﹣3＝0
一十四．根与系数的关系（共3小题）
36．（2023•庐江县一模）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣4B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝﹣1，x2＝4D．x1＝2，x2＝3
37．（2023•花山区二模）关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
38．（2023•蜀山区校级模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则﹣的值是（ ）
A．2B．C．D．﹣2
一十五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
39．（2023•凤台县校级二模）某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（ ）
A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
C．200+200×2x＝1000
D．200（1+x）2＝800
40．（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（ ）
A．（1+x）2＝4B．x（1+2x+4x）＝4
C．2x（1+x）＝4D．（1+x）（1+2x）＝4
一十六．一元二次方程的应用（共7小题）
41．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
42．（2023•庐江县一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（ s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
43．（2023•芜湖模拟）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
44．（2023•金安区校级二模）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，则该矩形荒地的长为 ．
45．（2023•安徽模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
46．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
47．（2023•定远县校级一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
一十七．配方法的应用（共2小题）
48．（2023•庐阳区校级一模）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代数式﹣ax2+bx+2015取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
49．（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．
∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；
∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．
（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为 ．
②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为 ．
（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
一十八．高次方程（共2小题）
50．（2023•蚌埠一模）已知是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，该数满足：x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5，…
（1）依次规律，写出x7关于x的一次表达式；
（2）若xn＝αx+β，请用关于x的一次表达式表示xn+1（含α，β），并证明你的结论．
51．（2023•蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中a1，a2，…，an为整数） 这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2，代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解为 ．
一十九．分式方程的解（共2小题）
52．（2023•凤阳县二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
53．（2023•滁州二模）关于x的方程＝﹣2的解为正数，则a的取值范围为 ．
二十．解分式方程（共2小题）
54．（2023•蜀山区校级三模）解方程：＝2．
55．（2023•亳州三模）解分式方程：．
二十一．分式方程的增根（共1小题）
56．（2023•合肥模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二十二．由实际问题抽象出分式方程（共2小题）
57．（2023•蚌埠一模）如图，蚌埠市某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是13：8，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
58．（2023•泗县校级模拟）甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造x米公路，则下列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2
B．﹣＝2
C．＝
D．＝
二十三．分式方程的应用（共2小题）
59．（2023•包河区二模）某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍．经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时，一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？
60．（2023•利辛县模拟）为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路xkm，请用含a，x的代数式填表；
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
专题03 方程与方程组（真题5个考点模拟23个考点）
一．一元一次方程的应用（共2小题）
1．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），
解得：x＝a，
∴＝＝＝0.2．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
二．二元一次方程组的应用（共2小题）
3．（2023•安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．
【分析】设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，根据销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：调整前甲地该商品的销售单价40元，乙地该商品的销售单价为50元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）由题意可得，
，
解得，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．
三．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
5．（2019•安徽）解方程：（x﹣1）2＝4．
【分析】利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．
【解答】解：两边直接开平方得：x﹣1＝±2，
∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
四．根的判别式（共2小题）
6．（2020•安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2﹣2x＝3B．x2+1＝0C．x2+1＝2xD．x2﹣2x＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义对各方程的根的情况进行判断，从而得到正确选项．
【解答】解：A．原方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C．原方程化为x2﹣2x+1＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数解，所以C选项符合题意；
D．Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．
7．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．
一．解一元一次方程（共2小题）
1．（2023•怀远县二模）方程＝1去分母正确的是（ ）
A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1
C．9x﹣3﹣4x+2＝6D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6
【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以6，去括号，选出正确的选项即可．
【解答】解：﹣＝1，
方程两边同时乘以6得：3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6，
去括号得：9x﹣3﹣4x﹣2＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握等式的性质是解题的关键．
2．（2023•六安三模）关于x的一元一次方程的解为 x＝﹣1 ．
【分析】方程去分母，移项即可求出解．
【解答】解：去分母得：x+1＝0，
移项得：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
二．由实际问题抽象出一元一次方程（共3小题）
3．（2023•花山区一模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客较少，随着国内疫情逐步得到控制，2020年下半年游客人数比2020年上半年增加了40%，预计2021年上半年游客人数将达到2020年上半年的2倍，设2021年上半年，与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（ ）
A．（1+40%）（1+x）＝2B．（1+40%）（1+x）2＝2
C．1+40%+x＝2D．1+40%（1+x）＝2
【分析】利用2021年上半年游客人数＝2020年下半年游客人数×（1+增长率），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：（1+40%）（1+x）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2023•固镇县一模）本人三年前存了一份3000元的教育储蓄，今年到期时的本利和为3243元，请你帮我算一算这种储蓄的年利率．若年利率为x%，则可列方程 3000+3000×3×x%＝3243 ．（年存储利息＝本金×年利率×年数，不计利息税）
【分析】本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×年数，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵本金为3000元，年利率为x%，存了3年．
∴利息为3000×x%×3，
∴可列方程为3000+3000×3×x%＝3243，
故答案为：3000+3000×3×x%＝3243．
【点评】本题考查了列一元一次方程解决实际问题，明确关系式：本利和＝本金+利息是解题的关键．
5．（2023•蒙城县三模）小刚从家出发去上学，若跑步去学校，每小时跑10km会迟到5分钟：若同一时刻沿着同一路线，骑自行车去学校，每小时骑15km则可早到12分钟，设他家到学校的路程是xkm，则根据题意列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设他家到学校的路程是xkm，根据时间＝路程÷速度结合上课时间不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设他家到学校的路程是xkm，
依题意，得：﹣＝+．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三．一元一次方程的应用（共7小题）
6．（2023•合肥三模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建若干米灌溉水渠，某施工队计划8天完成任务，在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米，最后完成任务共用了10天，问施工队共需完成修建灌溉水渠多少米？
【分析】设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，利用工作效率＝工作效率÷工作时间，结合“在完成一半任务后，遭遇了持续的恶劣天气，每天比原来少修建20米”，即可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设施工队共需完成修建灌溉水渠x米，
根据题意得：﹣＝20，
解得：x＝480．
答：施工队共需完成修建灌溉水渠480米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2023•淮南二模）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关：初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，求此人第一和第六这两天共走的路程．
【分析】设此人第六天走的路程为x里，则前五天走的路程分别为2x，4x，8x，16x，32x里，由此人六天一共走了378里，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设此人第六天走的路程为x里，则前五天走的路程分别为2x，4x，8x，16x，32x里，
依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378．
解得：x＝6，
32x＝192，
答：此人第六天走的路程为6里，第一天走的路程为192里．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2023•瑶海区二模）列方程或方程组解应用题：2022年卡塔尔世界杯小组赛中，A组四个球队之间进行单循环比赛，每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，各队胜负场数及得分如表（不完整）：注：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．
根据以上信息，求：
（1）荷兰队胜场数、平场数各是多少？
（2）塞内加尔队最后的积分是多少？
【分析】（1）设荷兰队胜场数为x，平场数为3﹣x，根据题目可列出一元一次方程，解方程即可得到结论；
（2）根据各队的平场数可推出塞内加尔也没有平场，从而得到塞内加尔队胜2场、平0场，从而计算得塞内加尔队最后的积分是6．
【解答】解：（1）设荷兰队胜场数为x，平场数为3﹣x，
根据题意，3x+3﹣x＝7，
解得，x＝2，3﹣x＝1，
答：荷兰队胜场数为2，平场数为1．
（2）∵每个队都要赛3场，本小组一共赛6场，
∴由荷兰和厄瓜多尔各自平1场，卡塔尔没有平场可知，塞内加尔也没有平场，而已知塞内加尔输了1场，每队均赛3场，故塞内加尔赢了2场，
∴塞内加尔队最后的积分是3×2+1×0+0×1＝6（分）．
答：塞内加尔队最后的积分是6分．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
9．（2023•萧县三模）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．其意思可以理解为现在有一些人共同买一个物品，如果每人出8钱，还多出3钱；如果每人出7钱，则还差4钱．
（1）若共同买这一物品的人数为x人，则根据每人出8钱，还多出3钱，表示该物品的价格为 （8x﹣3） 钱（用含x的式子表示）；
（2）计算购买3个该物品所需的钱数．
【分析】（1）利用物品的钱数＝每人出的钱数×人数﹣3，即可用含x的代数式表示出物品的价格；
（2）根据物品的价格不变，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，将其代入（8x﹣3）中，可求出物品的价格，再×3，即可求出购买3个该物品所需的钱数．
【解答】解：（1）根据题意得：该物品的价格为（8x﹣3）钱．
故答案为：（8x﹣3）；
（2）根据题意得：8x﹣3＝7x+4，
解得：x＝7，
∴8x﹣3＝8×7﹣3＝56﹣3＝53，
∴53×3＝159（钱）．
答：购买3个该物晶需159钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数学常识以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出物品的价格；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
10．（2023•蚌山区三模）在举办“智慧大阅读”的某一项比赛现场，组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？
【分析】首先根据题意，设有x张桌子，则有（12﹣x）条凳子，然后根据：桌子腿数+凳子腿数＝40，列出方程，求出桌子的数量，进而求出凳子的数量即可．
【解答】解：设有x张桌子，则有（12﹣x）条凳子，
依题意得：4x+3（12﹣x）＝40，
解得：x＝4，
∴12﹣x＝12﹣4＝8，
答：每个比赛场地有4张桌子和8条凳子．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键．
11．（2023•庐江县三模）受连日暴雨影响，某地甲乙两个村庄穴发泥石流灾害，急需从市中心东．西两个储备仓库调运救灾物资．已知这两个储备仓库均有救灾物资15吨，其中A村需要18吨，B村需要12吨．从东仓库运往A、B两村的运费分别为60元/吨和20元/吨，从西仓库运往A、B两村的运费分别为40元/吨和30元/吨．
（1）设从东仓调运x吨救灾物资去A村，完成下列表格：
（2）调运结束之后，结算运费时发现，支付给东西两个仓库的运费相差220元，求x的值．
【分析】（1）根据已知填表即可；
（2）求出东西两个仓库的运费，分两种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）填表如下：
故答案为：15﹣x，18﹣x，x﹣3；
（2）由题意知：支付给东仓库的运费为：60x+20（15﹣x）＝40x+300，
支付给西仓库的运费为：40（18﹣x）+30（x﹣3）＝630﹣10x，
若40x+300﹣（630﹣10x）＝220，
解得x＝11，
若630﹣10x﹣（40x+300）＝220，
解得：x＝2.2＜3，不符合题意，舍去．
答：x的值为11．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出相关的代数式和方程解决问题．
12．（2023•砀山县一模）A，B两个超市同时促销某款笔记本，已知两个超市的标价都是每本10元，A超市的优惠条件是：不超过10本按标价销售，从第11本开始每本按标价的70%销售；B超市的优惠条件是：每本均按标价的80%销售．
（1）小明要购买x本（x＞10）笔记本时，到A超市需要付款 （7x+30） 元，到B超市需要付款 8x 元；
（2）购买多少本时，两个超市付款一样多？
【分析】（1）根据题意，可以分别写出到两家超市的付款情况；
（2）根据到两个超市付款一样多和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
小明要购买x本（x＞10）练习本时，到甲超市需要付款10×10+（x﹣10）×10×70%＝（7x+30）元，
到乙超市需要付款10×80%x＝8x（元），
故答案为：（7x+30），8x；
（2）由题意可得，
7x+30＝8x，
解得x＝30，
答：购买30本时，两个超市付款一样多．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程和代数式．
四．二元一次方程的定义（共1小题）
13．（2023•禹会区二模）若方程7x|m|+（m+1）y＝6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 1 ．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得
，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查的是二元一次方程的定义及绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
五．解二元一次方程组（共1小题）
14．（2023•庐阳区校级模拟）方程组的解为 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：4x＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题）
15．（2023•包河区三模）2022年某地区参加养老保险的妇女人数共165万人，比2010年增加120万人，其中参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，设2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别为x万人和y万人，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据2022年某地区参加养老保险的妇女人数及2010年该地区参加养老保险的妇女人数间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵2022年某地区参加养老保险的妇女人数共165万人，
∴x+y＝165；
∵2022年某地区参加养老保险的妇女人数比2010年增加120万人，且2022年参加城镇职工养老保险和城乡居民养老保险的人数分别是2010年的1.5倍和8倍，
∴+＝162﹣120．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2023•雨山区校级模拟）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“甲+9＝2（乙﹣9）”、“乙+9＝甲﹣9”可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根号题意得，．
故选：B．
【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．
七．二元一次方程组的应用（共4小题）
17．（2023•庐阳区校级三模）在某学校食堂为学生提供的400克早餐套餐中，蛋白质总含量为10%，包括一个谷物面包，一盒牛奶和一个去壳鸡蛋（一个去壳鸡蛋的质量约为50克，其中蛋白质含量为11克：谷物面包和牛奶的部分主要营养成分如图所示）．
设该份早餐中谷物面包为x克，牛奶为y克．
（1）请补全表格（用含有x，y的代数式表示）；
（2）求出x，y的值．
【分析】（1）根据谷物面包、牛奶的质量及两种食物中蛋白质的含量，即可用含x（y）的代数式表示出该食物中蛋白质的含量；
（2）根据“早餐套装的总质量为400克，且蛋白质总含量为10%”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：谷物面包中蛋白质的含量为10%x克，牛奶中蛋白质的含量为7%y克．
故答案为：10%x；7%y；
（2）根据题意得：，
解得：．
答：x的值为150，y的值为200．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（2023•合肥模拟）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋，已知购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，求每支毛笔和每副围棋的单价各多少元．
【分析】设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，由题意：购买5支毛笔和12副围棋共花费315元，购买8支毛笔和6副围棋共花费240元，即可列出关于x、y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结论．
【解答】解：设每副围棋的单价是y元，每支毛笔的单价是x元，
依题意得：，
解得：，
答：每支毛笔的单价是15元，每副围棋的单价是20元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（2023•宿州模拟）为了丰富同学们的课余生活、拓展同学们的视野，学校书店准备购进甲、乙两类中学生书刊，已知甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，其中甲、乙两类书刊的进价和售价如表：
（1）求x，y的值；
（2）第二次学校书店购进了1000本甲书刊和500本乙书刊，为了扩大销量，小卖部准备对甲书刊进行打折出售，乙书刊价格不变，全部售完后总利润为8500元，求甲书刊打了几折？
【分析】（1）由题意：甲类书刊比乙类书刊每本贵2元，若购买500本甲类书刊和400本乙类书刊共需要8200元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设甲书刊打了m折，由题意：全部售完后总利润为8500元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】（1）由题意得：，
解得：，
答：x＝10，y＝8；
（2）由题意得：两类书刊进价共为（1000×10+500×8）＝14000（元），
设甲书刊打了m折，
则两类书刊售价为：1000×20×0.1m+500×13＝2000m+6500（元），
由题意得：2000m+6500﹣14000＝8500，
解得：m＝8，
答：甲书刊打了8折．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20．（2023•安徽模拟）某工厂安排100名工人生产A、B、C三种产品，每人每天可以生产1件A产品或2件B产品或1件C产品，生产1件A产品可获利50元，生产1件B产品可获利30元，要求每天生产的B产品数和C产品数相等，且生产A产品的获利比生产B产品的获利多800元，则应安排多少人生产B产品？
【分析】设应安排x人生产A产品，y人生产B产品，则应安排（100﹣x﹣y）人生产C产品，由题意：每天生产的B产品数和C产品数相等，且生产A产品的获利比生产B产品的获利多800元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设应安排x人生产A产品，y人生产B产品，则应安排（100﹣x﹣y）人生产C产品，
由题意得：，
解得：，
答：应安排20人生产B产品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
八．一元二次方程的定义（共2小题）
21．（2023•庐江县模拟）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+y＝1B．x＝3x3﹣2C．x2﹣2＝0D．3x＝1
【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、2x+y＝1，是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、x＝3x3﹣2，是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C、x2﹣2＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、此方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．
22．（2023•砀山县一模）方程+（5+m）x+3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义知，m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，据此可以求得m的值．
【解答】解：∵方程+（5+m）x+3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2；
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．
九．一元二次方程的解（共3小题）
23．（2023•定远县校级模拟）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+的值．
【分析】把方程x2﹣3x+1＝0两边除以x可得到x+＝3，则利用完全平方公式得到x2+＝（x+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+＝0，
∴x+＝3，
∴x2+＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决本题的关键是把方程x2﹣3x+1＝0变形得到x+＝3．
24．（2023•阜阳三模）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．0C．﹣3D．﹣3或3
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的一个根为0，
∴m﹣3≠0且m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）．
25．（2023•萧县三模）若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，则k＝ 2 ．
【分析】直接把x＝2代入一元二次方程得到4﹣4k+3k﹣2＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0得4﹣4k+3k﹣2＝0，
解得k＝2，
即k的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
一十．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
26．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝0
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝4或x＝﹣2；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
一十一．解一元二次方程-配方法（共2小题）
27．（2023•芜湖模拟）若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，则b，k的值分别为（ ）
A．0，4B．0，5C．﹣6，5D．﹣6，4
【分析】先把（x﹣3）2＝k化成x2﹣6x+9﹣k＝0，再根据一元二次方程x2+bx+5＝0得出b＝﹣6，9﹣k＝5，然后求解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）2＝k，
∴x2﹣6x+9﹣k＝0，
∵一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣3）2＝k，
∴b＝﹣6，9﹣k＝5，
∴k＝4，
∴b，k的值分别为﹣6、4；
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
28．（2023•庐阳区校级三模）解方程：x（x﹣6）＝6．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
【解答】解：原方程变形为：x2﹣6x＝6，
则x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
一十二．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
29．（2023•芜湖模拟）解方程：x2﹣6x﹣7＝0．
【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
【解答】解：原方程可化为：（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0；
解得：x1＝7，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
30．（2023•庐江县一模）等腰三角形的两边长为方程x2﹣4x+3＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为 7 ．
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
因式分解，得（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝3，∵等腰三角形的边长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴这个等腰三角形的两边长为1，3，
（1）当边长为1的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1，1，3，
此时1+1＜3，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
（2）当边长为3的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为1，3，3，
此时1+3＞3，满足三角形的三边关系定理，
则这个等腰三角形的周长为1+3+3＝7；
综上，这个等腰三角形的周长为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
一十三．根的判别式（共5小题）
31．（2023•霍邱县一模）关于x的一元二次方程x2﹣2023x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
【分析】先计算出Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝＞0，然后根据判别式Δ＝b2﹣4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝（﹣2023）2﹣4×1×（﹣1）＝20232+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
32．（2023•蜀山区三模）若关于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有实数根，则m的值有可能是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x＝x2+2有实数根，
整理得（m﹣1）x2+4x﹣2＝0，
∴Δ＝42﹣4（m﹣1）×（﹣2）≥0且m﹣1≠0，
∴m≥﹣1且m≠1，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
33．（2023•怀远县校级模拟）若关于x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且k≠﹣1B．且k≠﹣1
C．D．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关x的一元二次方程（k+1）2x2﹣（2k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且k≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的不等式组是解题的关键．
34．（2023•庐阳区校级三模）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，+c的值等于（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于a与c的等式，即可求出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
∴1﹣2a+ac＝0，
∵a≠0，
∴+c＝2．
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
35．（2023•金安区一模）下列一元二次方程中，没有实数解的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．x2＝xC．x2﹣x+1＝0D．x2﹣3x﹣3＝0
【分析】根据解方程可对A、B进行判断；根据根的判别式的意义可对C、D进行判断．
【解答】解：A、（x+2）2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，所以A选项不合题意；
B、x2＝x，即x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以B选项不合题意；
C、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数解，所以C选项符合题意；
D、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，所以D选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
一十四．根与系数的关系（共3小题）
36．（2023•庐江县一模）王刚同学在解关于x的方程x2﹣3x+c＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣4B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝﹣1，x2＝4D．x1＝2，x2＝3
【分析】利用根与系数的关系求得c的值；然后利用因式分解法解原方程即可．
【解答】解：依题意得 关于x的方程x2+3x+c＝0的两根是：x1＝1，x2＝﹣4．
则c＝1×（﹣4）＝﹣4，
则原方程为x2﹣3x﹣4＝0，
整理，得
（x+1）（x﹣4）＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．此题解得c的值是解题的关键．
37．（2023•花山区二模）关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值为（ ）
A．4B．﹣2C．2D．﹣4
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2＝1，x1+x2＝﹣3，
∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣3﹣1＝﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
38．（2023•蜀山区校级模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，则﹣的值是（ ）
A．2B．C．D．﹣2
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝2，ab＝﹣2，再化简分式可得，最后将a+b＝2整体代入即可解答．
【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两根，
∴a+b＝2，
∴＝＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的加减运算，正确对分式进行化简是解答本题的关键．
一十五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
39．（2023•凤台县校级二模）某超市1月份的营业额为200万元，2月份、3月份的营业额共800万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程正确的为（ ）
A．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
C．200+200×2x＝1000
D．200（1+x）2＝800
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，然后变形，即可解答本题．
【解答】解：由题意可得，
200+200（1+x）+200（1+x）2＝200+800，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
40．（2023•庐阳区校级三模）某工厂计划用两年时间使产值增加到目前的4倍，并且使第二年增长率是第一年增长率的2倍，设第一年增长率为x，则可列方程得（ ）
A．（1+x）2＝4B．x（1+2x+4x）＝4
C．2x（1+x）＝4D．（1+x）（1+2x）＝4
【分析】由增长率间的关系，可得出第二年增长率为2x，设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，利用两年后产值＝原产值×（1+第一年增长率）×（1+第二年增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵第二年增长率是第一年增长率的2倍，且第一年增长率为x，
∴第二年增长率为2x．
设该工厂原产值为a，则两年后产值为4a，
根据题意得：a（1+x）（1+2x）＝4a，
即（1+x）（1+2x）＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
一十六．一元二次方程的应用（共7小题）
41．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，
根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，
即4（1+x）2＝256，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：每轮每人传染的人数为7人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
42．（2023•庐江县一模）已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（ s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可；
（2）先用△ABC的面积﹣△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，然后根据题意四边形APQC的面积等于三角形ABC面积的，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
【解答】解：（1）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
在△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
在△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，，
即秒），
当∠BPQ＝90°时，，秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
在△BPM中，，
∴，
∴，
∴＝，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则，
∴，∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、解一元二次方程，解直角三角形与三角形面积公式，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
43．（2023•芜湖模拟）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【分析】（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2021年投入资金金额＝2019年投入资金金额×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
44．（2023•金安区校级二模）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，则该矩形荒地的长为 26m ．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【解答】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
故答案为：26m．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
45．（2023•安徽模拟）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2，3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？
【分析】（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为x，利用三月份的销售量＝一月份的销售量×（1+月均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）解法一：设每台降价y元，则每台的销售利润为（40﹣y﹣30）元，四月份可售出（576+12y）台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
解法二：设每台售价定为y元，则每台的销售利润为（y﹣30）元，四月份可售出[576+12（40﹣y）]台，利用总利润＝每台的销售利润×四月份的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：400（1+x）2＝576，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．
（2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，
整理，得：y2+38y﹣80＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去），
当y＝2时，40﹣y＝38．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，
整理，得y2﹣118y+3040＝0，
解得y1＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．本题运用了一题多解的思路．
46．（2023•萧县一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
（3）若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【分析】（1）观察函数图象，根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论；
（3）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合要让顾客获得更大实惠，即可得出这种干果每千克应降价7元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+60（0＜x＜20）．
故答案为：y＝20x+60（0＜x＜20）．
（2）（60﹣4﹣40）×（20×4+60）
＝16×140
＝2240（元）．
答：当每千克干果降价4元时，超市获利2240元．
（3）根据题意得：（60﹣x﹣40）（20x+60）＝2400，
整理得：x2﹣17x+60＝0，
解得：x1＝5，x2＝12，
又∵要让顾客获得更大实惠，
∴x＝12．
答：这种干果每千克应降价12元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
47．（2023•定远县校级一模）平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．
（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？
（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且1≤m≤5），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值．
【分析】（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，根据每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定x的值；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，利用每周销售头盔获得的利润＝每顶头盔的销售利润×平均每周的销售量，即可得出w关于a的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合1≤m＜5且m为整数，即可得出m的值．
【解答】解：（1）设每顶头盔应降价x元，则每顶头盔的销售利润为（68﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（100+20x）顶，
依题意得：（68﹣x﹣40）（100+20x）＝4000，
整理得：x2﹣23x+60＝0，
解得：x1＝3，x2＝20，
∵68﹣x≤58，
∴x≥10，
∴x＝20．
答：每顶头盔应降价20元；
（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w元，每顶头盔售价为a元，
依题意得：w＝[100+20（68﹣a）]（a﹣40﹣m）＝﹣20a2+（20m+2260）a﹣1460（40+m）．
∵抛物线的对称轴为a＝，开口向下，当a≤58时，利润仍随售价的增大而增大，
∴≥58，
解得：m≥3，
又∵1≤m≤5，且m为整数，
∴m＝3或m＝4或m＝5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
一十七．配方法的应用（共2小题）
48．（2023•庐阳区校级一模）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x﹣m）2+n＝0与a2（x﹣m）2+n＝0，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．那么代数式﹣ax2+bx+2015取的最大值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【解答】解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得，
∴﹣ax2+bx+2015
＝﹣5x2﹣10x+2015
＝﹣5（x+1）2+2020，
则代数式﹣ax2+bx+2015能取的最大值是2020．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
49．（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．
∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；
∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．
（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为 ﹣7 ．
②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为 11 ．
（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？
【分析】（1）①仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
②利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可；
（2）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，根据矩形的面积公式得到S＝x（60﹣2x），再利用配方法把原式进行变形，根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝（m﹣2）2﹣7，
由（m﹣2）2≥0，
得（m﹣2）2﹣7≥﹣7；
∴代数式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7．
故答案为：﹣7；
②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣（x+2）2+11，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+11≤11，
∴代数式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值为11．
故答案为：11；
（2）设AB＝xm，则BC＝（60﹣2x）m，
根据题意得，S＝x（60﹣2x）＝60x﹣2x2＝﹣2（x2﹣30x）＝﹣2（x2﹣30x+225）+450＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，S有最大值450，
即当AB，BC分别为15m，30m时，羊圈的面积最大，最大值是450m2．
【点评】本题考查的是配方法的应用，偶次方的非负性，二次函数的性质，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
一十八．高次方程（共2小题）
50．（2023•蚌埠一模）已知是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，该数满足：x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5，…
（1）依次规律，写出x7关于x的一次表达式；
（2）若xn＝αx+β，请用关于x的一次表达式表示xn+1（含α，β），并证明你的结论．
【分析】（1）根据等式左边系数及常数的变化规律求解即可；
（2）结合（1）的规律可得xn+1＝（α+β）x+α，利用xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，再代入x2＝x+1变形即可证得结论．
【解答】解：（1）观察x2＝x+1，x3＝2x+1，x4＝3x+2，x5＝5x+3，x6＝8x+5每项的系数变化可得：一次项系数为上一个式子的一次项系数与常数项之和，常数项为上一个式子的一次项系数；
即：x7＝13x+8；
（2）由规律可得：xn+1＝（α+β）x+α；
证明：∵xn＝αx+β，
∴xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx，
又∵x2＝x+1，
∴xn+1＝x⋅xn＝x（αx+β）＝αx2+βx＝α（x+1）+β＝αx+α+βx＝（α+β）x+α，
即：xn+1＝（α+β）x+α．
【点评】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键．还考查了整式的乘法．
51．（2023•蚌山区模拟）代数基本定理告诉我们对于形如（其中a1，a2，…，an为整数） 这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2＝0的整数根只可能为±1，±2，代入检验得x＝1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：（x﹣1）（x2+9x﹣2）＝0，进而可求得方程的所有解．请你仿照上述解法，解方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0得到的解为 x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣ ．
【分析】本题通过题干分析，按照题干的方法可得方程：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只能是±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，得到x＝3，然后根据方法转化原方程，得到对应的解．
【解答】解：x3+x2﹣11x﹣3＝0的整数根只可能为±1，±3，代入检验得x＝3时等式成立，
故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣3，
x3+8x2﹣11x+2＝0，
（x﹣3）（x2+4x+1）＝0，
∴x﹣3＝0，或x2+4x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2+，x3＝﹣2﹣，
故答案为：x＝3或x＝﹣2+或x＝﹣2﹣．
【点评】本题考查高阶次幂的一元方程的解法，通过判断整数解来进行因式分解，从而求出对应的解．
一十九．分式方程的解（共2小题）
52．（2023•凤阳县二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ﹣1、5或 ．
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】解：去分母得：x+5+m（x﹣5）＝m+5，
可得：（m+1）x＝6m，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝±5时，分式方程也无解，
即＝±5，
解得：m＝5或，
综上所述：m的值为：﹣1、5或，
故答案为：﹣1、5或．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
53．（2023•滁州二模）关于x的方程＝﹣2的解为正数，则a的取值范围为 a＜5且a≠3 ．
【分析】解分式方程，用含a的代数式表示出x，根据解为正数得不等式，求解后确定a的取值范围．
【解答】解：去分母，得2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1），
去括号，得2﹣5+a＝﹣2x+2，
整理，得2x＝5﹣a，
∴x＝．
若方程的解为正数，则＞0且≠1．
∴a＜5且a≠3．
【点评】本题考查了分式方程和不等式，掌握分式方程的解法和不等式的解法是解决本题的关键．
二十．解分式方程（共2小题）
54．（2023•蜀山区校级三模）解方程：＝2．
【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：﹣＝2，
整理得：，
两边同乘x，去分母得：110﹣100＝2x，
即2x＝10，
系数化为1得：x＝5，
检验：x＝5是分式方程的解，
故原分式方程的解为：x＝5．
【点评】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
55．（2023•亳州三模）解分式方程：．
【分析】首先按照去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，然后检验即可．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得 x﹣2（x﹣3）＝﹣5，
去括号，得 x﹣2x+6＝﹣5，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣11，
系数化为1，得 x＝11，
检验：当x＝11时，x﹣3＝11﹣3＝8≠0，
∴x＝11是该分式方程的解．
【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．
二十一．分式方程的增根（共1小题）
56．（2023•合肥模拟）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意可得：x﹣3＝0，从而可得x＝3，然后把x＝3代入整式方程x＝7﹣m中，进行计算即可解答．
【解答】解：，
x﹣2（x﹣3）＝m﹣1，
解得：x＝7﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝7﹣m中得：
3＝7﹣m，
解得：m＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
二十二．由实际问题抽象出分式方程（共2小题）
57．（2023•蚌埠一模）如图，蚌埠市某书画家作品的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是13：8，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
【分析】设边衬的宽度为x米，根据题意可知，装裱后的长为（2.4+2x）米，宽为（1.4+2x）米，再根据整幅图画长与宽的比是13：8，即可得到相应的方程进行求解即可．
【解答】解：设边衬的宽度为x米，则装裱后的长为（2.4+2x）米，宽为（1.4+2x）米，
由题意可得：，
解得x＝0.1，
经检验，x＝0.1是原分式方程的解，
答：边衬的宽度为0.1米．
【点评】本题考查分式方程解决实际问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
58．（2023•泗县校级模拟）甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务．设甲队每天能改造x米公路，则下列方程正确的是（ ）
A．﹣＝2
B．﹣＝2
C．＝
D．＝
【分析】根据题意列出分式方程求解即可．
【解答】解：根据题意，得：，
变形：．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．
二十三．分式方程的应用（共2小题）
59．（2023•包河区二模）某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍．经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时，一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？
【分析】设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时”，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出人工每小时包装药品的盒数，再将其代入5x中，即可求出一台智能机器人每小时包装药品的盒数．
【解答】解：设人工每小时包装x盒药品，则每台智能机器人每小时包装5x盒药品，
根据题意得：﹣＝4，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴5x＝5×20＝100．
答：一台智能机器人每小时可以包装100盒药品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
60．（2023•利辛县模拟）为进一步推进美丽乡村建设，某县准备修建一条县级公路．开工时政府部门要求工程队每天的平均进度要比原计划提高20%，结果提前20天完成了任务．
（1）设这条县级公路长为akm，该工程队原计划平均每天修建公路xkm，请用含a，x的代数式填表；
（2）若这条要修建的公路长度为50km，该工程队实际平均每天修建公路多少千米？
【分析】（1）实际每天铺设管廊（1+20%）x米，根据工作时间＝总工作量÷工作效率可得完成全部工程所需天数；
（2）根据时间比原计划提前20天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）如下表；
故答案为：（1+20%）x，；
（ 2）由题意可列方程，
﹣＝20，
解得x＝
经检验：x＝是原分式方程的解，
∴（1+20%）x＝×1.2＝0.5，
．
答：该工程队实际平均每天修建公路0.5km．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
1.04（a﹣x）
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
1.25x+1.3y
球队名称
胜场
平场
负场数
积分
荷兰
0
7
塞内加尔
1
厄瓜多尔
1
1
1
4
卡塔尔
0
0
3
0
运往A村的物资/吨
运往B村的物资/吨
东仓库
x

西仓库


项目
面包（含量）
牛奶（含量）
蛋白质
10%
7%
脂肪
30%
3.4%
碳水化合物
45%
5.8%
谷物面包
牛奶
去壳鸡蛋
总量
质量/克
x
y
50
400
蛋白质含量/克


11
400×10%
甲
乙
进价/（元/本）
x
y
售价/（元/本）
20
13
平均每天修建公路/km
完成全部工程所需天数/天
原计划
x
实际


时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
1.04（a﹣x）
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
1.25x+1.3y
球队名称
胜场
平场
负场数
积分
荷兰
0
7
塞内加尔
1
厄瓜多尔
1
1
1
4
卡塔尔
0
0
3
0
运往A村的物资/吨
运往B村的物资/吨
东仓库
x
15﹣x
西仓库
18﹣x
x﹣3
运往A村的物资/吨
运往B村的物资/吨
东仓库
x
15﹣x
西仓库
18﹣x
x﹣3
项目
面包（含量）
牛奶（含量）
蛋白质
10%
7%
脂肪
30%
3.4%
碳水化合物
45%
5.8%
谷物面包
牛奶
去壳鸡蛋
总量
质量/克
x
y
50
400
蛋白质含量/克
10%x
7%y
11
400×10%
甲
乙
进价/（元/本）
x
y
售价/（元/本）
20
13
平均每天修建公路/km
完成全部工程所需天数/天
原计划
x
实际
（1+20%）x

平均每天修建公路/km
完成全部工程所需天数/天
原计划
x
实际
（1+20%）x