5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题05函数及其图像(真题7个考点模拟21个考点)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题05函数及其图像(真题7个考点模拟21个考点)特训（学生版+解析），共73页。试卷主要包含了的图象经过斜边OB的中点C等内容，欢迎下载使用。
一．一次函数的图象（共1小题）
1．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•安徽）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cmB．24cmC．25cmD．26cm
四．反比例函数的性质（共1小题）
4．（2023•安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
5．（2019•安徽）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
6．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 ．
六．二次函数的性质（共1小题）
7．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 ．
一．点的坐标（共2小题）
1．（2023•瑶海区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，m2+1）（m是实数）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023•裕安区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′＝，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点P（x，y）的友好点Q坐标为（﹣3，﹣5），则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣3，﹣1）或（﹣3，﹣4）D．（﹣3，﹣1）或（﹣3，﹣11）
二．规律型：点的坐标（共1小题）
3．（2023•凤阳县二模）如图所示，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为，点A3的坐标为（0，0），点A4的坐标为，…，按此规律排下去，则点A100的坐标为（ ）
A．B．C．D．
三．函数的图象（共2小题）
4．（2023•六安三模）某班甲、乙、丙、丁四位同学同时从教室步行去操场锻炼，他们步行的路程s和时间t的大致图象如图所示，则步行最快的是（ ）
​
A．甲B．乙C．丙D．丁
5．（2023•庐江县三模）图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图象，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．丙和甲D．丙和乙
四．一次函数的图象（共1小题）
6．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b 和 l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
五．正比例函数的图象（共1小题）
7．（2023•安徽二模）已知：抛物线与关于直线x＝h（h＞0）对称，则直线y＝ax和y＝bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
六．一次函数的性质（共3小题）
8．（2023•定远县二模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2023•黄山一模）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，y1），（﹣2，y2），且y1＞y2，则该一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023•庐阳区校级一模）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．﹣1＜m＜1C．1＜m＜2D．﹣1＜m＜2
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
11．（2023•金安区校级模拟）已知一次函数y＝kx+4经过（1，y1），（2，y2），且y1＜y2，它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023•安徽模拟）已知一次函数y＝ax﹣4（a≠0），y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣（﹣1）C．0D．﹣|﹣3|
13．（2023•太和县二模）如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．B．k≥﹣3
C．k≤﹣3或D．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共5小题）
14．（2023•安徽模拟）一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，5）C．（4，6）D．（5，6）
15．（2023•池州三模）已知A（x1，y1）B（x2，y2）为直线y＝﹣2x+3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
16．（2023•烈山区一模）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（ ）
A．B．（1，﹣1）C．D．（0，﹣2）
17．（2023•全椒县三模）已知一次函数y＝2bx+（a+c）的图象经过点（﹣1，0），且当x＝1时，y＞0．则下列结论正确的是（ ）
A．a，c都为正，且b2﹣ac≥0
B．a，c都为正，且b2﹣ac＞0
C．a，c至少有一项为正，且b2﹣ac≥0
D．a，c至少有一项为正，且b2﹣ac＞0
18．（2023•雨山区校级一模）若点A在一次函数y＝﹣5x+3的图象上，则点A一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
九．一次函数图象与几何变换（共1小题）
19．（2023•砀山县二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向下平移4个单位长度后经过点（2，3），则b的值为（ ）
A．4B．3C．2D．﹣5
一十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
20．（2023•合肥三模）已知点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1上，且2m﹣3n≤0，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2023•怀远县校级模拟）如图，直线l1：y＝x+a与直线l2：y＝bx﹣2交于点M（﹣3，1），则关于x的不等式x+a≤bx﹣2的解集为（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＜﹣3D．x≤﹣3
一十一．一次函数的应用（共3小题）
22．（2023•雨山区校级一模）如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如表．据此可知，摄氏温度为15时，对应华氏温度应为（ ）
A．15B．59C．﹣9.4D．54
23．（2023•庐阳区二模）某登山队大本营所在地的气温为8℃．海拔每升高1km，气温下降6℃．队员由大本营向上登高xkm，气温为y℃，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝8+6xB．y＝8﹣6xC．y＝6﹣xD．y＝8﹣x
24．（2023•安徽二模）雅乐登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温为y℃，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝5+6xB．y＝5﹣6xC．D．
一十二．反比例函数的图象（共3小题）
25．（2023•蜀山区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
26．（2023•瑶海区三模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2023•南陵县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
一十三．反比例函数系数k的几何意义（共6小题）
28．（2023•亳州模拟）如图，已知点A为反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
29．（2023•迎江区校级三模）如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，2）D．（3，2）
30．（2023•岳西县校级模拟）如图，面积为6的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数y＝的图象恰好经过点A，则k的值为（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
31．（2023•阜阳三模）如图，点A、C为反比例函数（k≠0）图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为6时，k的值为（ ）
A．﹣16B．8C．﹣8D．﹣12
32．（2023•霍邱县二模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为（ ）
​
A．B．2C．3D．6
33．（2023•肥东县模拟）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，△OAB的面积为4，则k的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
一十四．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）
34．（2023•利辛县模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
​
A．（1，3）B．（2，3）C．（2，2）D．（3，2）
35．（2023•迎江区校级二模）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
36．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点C为线段OB的中点，点B的坐标为（6，8），反比例函数的图象恰好穿过线段BC，则k的值可能为（ ）
A．9B．11C．D．50
37．（2023•利辛县模拟）已知点（﹣1，a），（2，b），（3，c）均在反比例函数的图象上，且b＞c，则下列判断正确的是（ ）
A．k＞0，且a＞b＞cB．k＜0，且a＞b＞c
C．k＞0，且b＞c＞aD．k＜0，且b＞c＞a
38．（2023•淮南一模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣9C．﹣12D．﹣14
39．（2023•安徽二模）已知两点A（2m，p），B（m，q）都在反比例函数的图象上，则下列结论成立的是（ ）
A．p＝2qB．q＝2pC．p＝mD．q＝2m
40．（2023•定远县校级三模）如图，点P（12，a）在反比例函数的图象上，PH⊥x轴于点H，则cs∠OPH的值为（ ）
A．B．C．D．
一十五．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
41．（2023•安徽模拟）若函数y＝与y＝x+1的图象交于点A（a，b），则的值为（ ）
A．6B．﹣6C．D．
42．（2023•淮南二模）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述：①k1+k2≤0；②k1k2＜0；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④或|k1+k2|＜|k2|．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
43．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y＝，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
​
A．3B．C．D．2
44．（2023•砀山县二模）若一次函数y＝2x﹣5的图象与反比例函数的图象交于点（1，m），则k的值为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
一十六．反比例函数的应用（共1小题）
45．（2023•阜阳模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为I＝B．蓄电池的电压是18V
C．当R＝6Ω时，I＝4AD．当I≤10A时，R≥3.6Ω
一十七．二次函数的图象（共3小题）
46．（2023•凤台县校级三模）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
47．（2023•肥东县模拟）已知二次函数y＝ax2（a≠0）和一次函数y＝bx+c（b≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
48．（2023•庐江县二模）已知一次函数y＝﹣x+a（a为常数）的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣2x+的图象是（ ）
A．B．
C．D．
一十八．二次函数的性质（共3小题）
49．（2023•舒城县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣8a（a为常数）经过点C（0，2），图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），连接BC，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作PQ⊥BC交于点Q，若PQ取得最大值，则此时点P的横坐标为（ ）
A．B．C．1D．2
50．（2023•瑶海区校级一模）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（ ）
A．若1＜m＜n，则a1＜a2B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2D．若m＜n＜1，则a2＜a1
51．（2023•芜湖模拟）二次函数y＝a（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
一十九．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
52．（2023•包河区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c，若a﹣b+c＝1，则下列结论错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0B．b2﹣4ac＞0
C．b2﹣4ac＞﹣4aD．
53．（2023•黟县校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过第一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①ck＞0；②c＝7a；③4a+2b+c﹣5k＞0；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，k＝﹣2a；⑤若m为任意实数，则m（am+b）≥9a+3b．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
54．（2023•蜀山区校级三模）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0）和（0，﹣2），且对称轴在y轴的左侧，若t＝a﹣b，则t的取值范围是（ ）
A．﹣2＜t＜2B．﹣2＜t＜0C．﹣4＜t＜0D．﹣4＜t＜2
55．（2023•定远县一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根
C．x（ax+b）≤a+b
D．点P到直线AB的最大距离
二十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
56．（2023•合肥模拟）如图，直线x＝1与抛物线和抛物线分别交于点（1，4）、（1，1），直线AB∥x轴，与抛物线 交于C、D两点，与抛物线交于A、B两点，则 ＝（ ）
​
A．4B．C．D．2
二十一．二次函数图象与几何变换（共4小题）
57．（2023•凤阳县二模）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t，将其图象在直线x＝1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，则s的取值范围是（ ）
A．s≤0B．0≤s≤2C．s≤2D．s≥2
58．（2023•蜀山区三模）已知，二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+1的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（﹣1≤x≤1）部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则OM长度的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
59．（2023•凤台县校级二模）要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
60．（2023•蜀山区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤1B．﹣1≤t≤1C．﹣2≤t≤0D．﹣1≤t≤0
专题05 函数及其图像（真题7个考点模拟21个考点）
一．一次函数的图象（共1小题）
1．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
2．（2020•安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．
【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝2，
解得：k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；
B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，
解得：k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；
C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，
解得：k＝0，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，
解得：k＝＞0，
∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2021•安徽）某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ ）
A．23cmB．24cmC．25cmD．26cm
【分析】先设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再把x＝38代入求出y即可．
【解答】解：∵鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，
∴设函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
由题意知，x＝22时，y＝16，x＝44时，y＝27，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：y＝x+5，
当x＝38时，y＝×38+5＝24（cm），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键．
四．反比例函数的性质（共1小题）
4．（2023•安徽）已知反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象，可知k＞0，b＞0，所以函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，根据两个交点为（1，k）和（k，1），可得k﹣b＝﹣1，b＝k+1，可得函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），不过原点，即可判断函数y＝x2﹣bx+k﹣1的大致图象．
【解答】解：∵一次函数函数y＝﹣x+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则b＞0，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，则k＞0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0，
由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴对于函数y＝x2﹣bx+k﹣1，当x＝1时，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象过点（1，﹣1），
∵反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x+b的图象有两个交点，
∴方程＝﹣x+b有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴当x＝0时，y＝k﹣1≠0，
∴函数y＝x2﹣bx+k﹣1的图象不过原点，
∴符合以上条件的只有A选项．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数、反比例函数和二次函数在不同情况下所在的象限．
五．反比例函数图象上点的坐标特征（共2小题）
5．（2019•安徽）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
6．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C．
（1）k＝ ；
（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2﹣BD2的值为 4 ．
【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出A、B两点坐标，作出辅助线，证得△OPC≌△APC（HL），利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
（2）求出AC、BD的解析式，再联立方程组，求得点D的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴，
∴，
∵C是OB的中点，
∴OC＝BC＝AC＝2，
如图，过点C作CP⊥OA于P，
∴△OPC≌△APC（HL），
∴，
在Rt△OPC中，PC＝，
∴C（，1）．
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过斜边OB的中点C，
∴，
解得k＝．
故答案为：．
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵AC∥BD，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4，
∵点D既在反比例函数图象上，又在直线BD上，
∴联立得，
解得，，
当D的坐标为（2+3，）时，
BD2＝＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
当D的坐标为（2﹣3，）时，
BD2＝+＝9+3＝12，
∴OB2﹣BD2＝16﹣12＝4；
综上，OB2﹣BD2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形的性质及勾股定理的应用．
六．二次函数的性质（共1小题）
7．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【分析】根据各函数解析式可得y随x的增大而减小时x的取值范围．
【解答】解：选项A中，函数y＝x2+1，x＜0时，y随x的增大而减小；故A不符合题意；
选项B中，函数y＝﹣x2+1，x＞0时，y随x的增大而减小；故B不符合题意；
选项C中，函数y＝2x+1，y随x的增大而增大；故C不符合题意；
选项D中，函数y＝﹣2x+1，y随x的增大而减小．故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，一次函数的性质，解题关键是掌握二次函数，一次函数图象与系数的关系．
七．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
8．（2019•安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x﹣a+1和y＝x2﹣2ax的图象相交于P，Q两点．若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是 a＜﹣1或a＞1 ．
【分析】令y＝x﹣a+1＜0，x＜﹣1+a；当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1；当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；即可求解．
【解答】解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，
令y＝x﹣a+1＜0，
∴x＜﹣1+a，
令y＝x2﹣2ax＜0，
当a＞0时，0＜x＜2a；当a＜0时，2a＜x＜0；
①当a＞0时，x＜﹣1+a与0＜x＜2a有解，则a＞1，
②当a＜0时，x＜﹣1+a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；
∴a＜﹣1；
故答案为a＜﹣1或a＞1；
【点评】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质以及函数与不等式的关系；数形结合的分析问题，将问题转化为不等式的解是解题的关键．
一．点的坐标（共2小题）
1．（2023•瑶海区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，m2+1）（m是实数）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平方数非负数判断出纵坐标为正数，再根据各象限内点的坐标的特点解答．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴点P（﹣2，m2+1）在第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，判断出纵坐标是正数是解题的关键．
2．（2023•裕安区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′＝，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点P（x，y）的友好点Q坐标为（﹣3，﹣5），则点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，﹣4）
C．（﹣3，﹣1）或（﹣3，﹣4）D．（﹣3，﹣1）或（﹣3，﹣11）
【分析】根据“友好点”的定义，可得答案．
【解答】解：当x≥y，即﹣3≥y时，2y﹣（﹣3）＝﹣5，
解得y＝﹣4，
∴P（﹣3，﹣4）；
当x＜y，即﹣3＜y时，2x（﹣3）﹣y＝﹣5，
解得y＝﹣1，
∴P（﹣3，﹣1），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，﹣4）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了点的坐标，理清“友好点”的定义是解答本题的关键．
二．规律型：点的坐标（共1小题）
3．（2023•凤阳县二模）如图所示，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，⋯都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，⋯其中点A1的坐标为（2，0），点A2的坐标为，点A3的坐标为（0，0），点A4的坐标为，…，按此规律排下去，则点A100的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，确定点A100在x轴上方，分别求出点A4的坐标为（2，2），点A8的坐标为（2，4），……，点A4n的坐标为（2，2n），即可求解．
【解答】解：观察所给图形，发现x轴上方的点是4的倍数，
∵100÷4＝25，
∴点A100在x轴上方，
∵A3A4＝4，
∴A5（4，0），
∵A5A7＝6，
∴A7（﹣2，0），
∵A8A7＝8，
∴点A8的坐标为（2，4），
同理可知，点A4n的坐标为（2，2n），
∴点A100的坐标为（2，50）．
故选：C．
【点评】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
三．函数的图象（共2小题）
4．（2023•六安三模）某班甲、乙、丙、丁四位同学同时从教室步行去操场锻炼，他们步行的路程s和时间t的大致图象如图所示，则步行最快的是（ ）
​
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据“速度＝路程÷时间”分析可知，当路程相同时，所用时间越短，速度越快，以此即可判断．
【解答】解：由图象可知，甲、乙、丙、丁四位同学所走路程相同，而甲所用时间最少，
根据“速度＝路程÷时间”可得，甲同学的步行速度最快．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象，熟知路程、时间和速度之间的关系是解题关键．
5．（2023•庐江县三模）图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图象，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（ ）
A．甲和乙B．甲和丙C．丙和甲D．丙和乙
【分析】由图象可直接得出结论．
【解答】解：由题意得，表示丙的直线倾斜度最大，故丙的速度最快．
甲用时最小，故甲最先到达终点．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．
四．一次函数的图象（共1小题）
6．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b 和 l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据各选项中的函数图象判断出k、b异号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．
【解答】解：∵直线l1：经过第一、三象限，
∴k＞0，
∴﹣k＜0．
又∵该直线与y轴交于正半轴，
∴b＞0．
∴直线l2经过第一、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．
五．正比例函数的图象（共1小题）
7．（2023•安徽二模）已知：抛物线与关于直线x＝h（h＞0）对称，则直线y＝ax和y＝bx+c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据抛物线与关于直线x＝h（h＞0）对称，可得﹣＞0，b2﹣4ac＝0，所以a，b异号，a，c同号，再根据图象逐项分析即可．
【解答】解：∵抛物线与关于直线x＝h（h＞0）对称，
∴﹣＞0，b2﹣4ac＝0，
∴a，b异号，a，c同号，
A、由图象可知a＞0，b＞0，故不符合题意；
B、由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，故不符合题意；
C、由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故不符合题意；
D、由图象可知a＜0，b＞0，c＜0，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．
六．一次函数的性质（共3小题）
8．（2023•定远县二模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，
∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
9．（2023•黄山一模）已知一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，y1），（﹣2，y2），且y1＞y2，则该一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可知：y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，结合b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象经过点（﹣1，y1），（﹣2，y2），且y1＞y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0．
又∵k＞0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
10．（2023•庐阳区校级一模）已知直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，且点（3，1）在该直线上，设m＝3k﹣b，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．﹣1＜m＜1C．1＜m＜2D．﹣1＜m＜2
【分析】先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b＝﹣3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k＞0，b＞0，则k的范围为，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围．
【解答】解：把（3，1）代入y＝kx+b得3k+b＝1，b＝﹣3k+1，
因为直线y＝kx+b经过第一、二、三象限，
所以k＞0，b＞0，即﹣3k+1＞0，
所以k的范围为，
因为m＝3k﹣b＝3k﹣（﹣3k+1）＝6k﹣1，
所以m的范围为﹣1＜m＜1．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用k表示出m的值．
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
11．（2023•金安区校级模拟）已知一次函数y＝kx+4经过（1，y1），（2，y2），且y1＜y2，它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由1＜2且y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出k＞0，结合4＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝kx+4的图象经过第一、二、三象限，再观察四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+4经过（1，y1），（2，y2），且y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，
又∵4＞0，
∴一次函数y＝kx+4的图象经过第一、二、三象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
12．（2023•安徽模拟）已知一次函数y＝ax﹣4（a≠0），y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A．﹣2B．﹣（﹣1）C．0D．﹣|﹣3|
【分析】根据一次函数的性质可得a＞0，分别判断各选项中实数的符号即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax﹣4（a≠0），y随x的增大而增大，
∴a＞0，
因为﹣2＜0，
所以A不符合题意；
因为﹣（﹣1）＝1＞0，
所以B符合题意；
因为a≠0，
所以C不符合题意，
因为﹣|﹣3|＝﹣3＜0，
所以D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．
13．（2023•太和县二模）如图，点A（﹣2，6），B（﹣4，2），当直线y＝kx（k≠0）与线段AB有交点时，k的取值范围是（ ）
A．B．k≥﹣3
C．k≤﹣3或D．
【分析】分别求出直线OA和直线OB的比例系数k，即可求解．
【解答】解：将A（﹣2，6）代入y＝kx中得：6＝﹣2k，
解得k＝﹣3，
当直线刚好过点B时，将B（﹣4，2）代入y＝kx中得：2＝﹣4k，
解得，
∴当直线y＝kx与线段AB有交点时，k的取值范围为：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法求出临界值是解题的关键．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共5小题）
14．（2023•安徽模拟）一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，5）C．（4，6）D．（5，6）
【分析】根据一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，可知k＜0，然后将各个选项中的点的横纵坐标代入解析式求出k的值，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣2）+4的图象上y随x的增大而减小，
∴k＜0，
当x＝3，y＝﹣1时，﹣1＝k（3﹣2）+4，得k＝﹣5，故选项A符合题意；
当x＝2，y＝5时，5＝k（2﹣2）+4不成立，故选项B不符合题意；
当x＝4，y＝6时，6＝k（4﹣2）+4，得k＝1，故选项C不符合题意；
当x＝5，y＝6时，6＝k（5﹣2）+4，得k＝，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出k的正负情况．
15．（2023•池州三模）已知A（x1，y1）B（x2，y2）为直线y＝﹣2x+3上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0B．（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0
C．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0D．（x1﹣x2）（y1﹣y2）≤0
【分析】将两个点代入直线方程整理判断即可．
【解答】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得y1＝﹣2x1+3，y2＝﹣2x2+3，则y1﹣y2＝﹣2（x1﹣x2）．
（x1﹣x2）（y1﹣y2）＝﹣2（x1﹣x2）2≤0．
∵A、B两点不相同，
∴x1﹣x2≠0，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，比较简单，分别代入计算整理即可．
16．（2023•烈山区一模）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（ ）
A．B．（1，﹣1）C．D．（0，﹣2）
【分析】当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，联立方程组求出点的坐标．
【解答】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，
∵直线BC为y＝x﹣2，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AB的解析式为 y＝﹣x﹣1
解 ，得，
∴B（，﹣）．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段AB最短时，是AB垂直于CD．
17．（2023•全椒县三模）已知一次函数y＝2bx+（a+c）的图象经过点（﹣1，0），且当x＝1时，y＞0．则下列结论正确的是（ ）
A．a，c都为正，且b2﹣ac≥0
B．a，c都为正，且b2﹣ac＞0
C．a，c至少有一项为正，且b2﹣ac≥0
D．a，c至少有一项为正，且b2﹣ac＞0
【分析】将（﹣1，0）代入y＝2bx+（a+c）可得，再由x＝1时，y＞0，得a+c＞0，可知a，c至少有一项为正，再利用完全平方公式将变形，可知b2﹣ac≥0．
【解答】解：∵一次函数y＝2bx+（a+c）的图象经过点（﹣1，0），
∴﹣2b+（a+c）＝0，
∴．
∵当x＝1时，y＞0，
∴2b+（a+c）＝2（a+c）＞0，即a+c＞0，
∴a，c至少有一项为正，排除选项A和选项B．
∵，
∴排除选项D，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数、完全平方公式，找出b与（a+c）之间的数量关系是解题的关键．
18．（2023•雨山区校级一模）若点A在一次函数y＝﹣5x+3的图象上，则点A一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数经过的象限与系数的关系进行求解即可．
【解答】解；∵一次函数解析式为 y＝﹣5x+3，k＝﹣5＜0，b＝3＞0，
∴一次函数y＝﹣5x+3经过第一、二、四象限，
∵点A在一次函数图象上，
∴点A一定不在第三象限，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数y＝kx+b，当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限是解题的关键．
九．一次函数图象与几何变换（共1小题）
19．（2023•砀山县二模）在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+b的图象向下平移4个单位长度后经过点（2，3），则b的值为（ ）
A．4B．3C．2D．﹣5
【分析】根据题目先求得一次函数平移后的解析式是y＝2x+b﹣4，将点（2，3）代入即可求出答案．
【解答】解：∵将一次函数y＝2x+b的图象向下平移4个单位得到y＝2x+b﹣4，且经过点（2，3），
∴把点（2，3）代入y＝2x+b﹣4中得，3＝2×2+b﹣4，
∴b＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
一十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
20．（2023•合肥三模）已知点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1上，且2m﹣3n≤0，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及2m﹣3n≤0，可得出n≥，在不等式2m﹣3n≤0的两边同时除以n可得出，化简后即可得出≤．
【解答】解：∵点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1上，
∴n＝﹣2m+1，
∴2m＝1﹣n，
∵2m﹣3n≤0，即1﹣n﹣3n≤0，
∴n≥，
在不等式2m﹣3n≤0的两边同时除以n得：，
∴≤．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用一次函数图象上点的坐标特征及2m﹣3n≤0，求出n为正值是解题的关键．
21．（2023•怀远县校级模拟）如图，直线l1：y＝x+a与直线l2：y＝bx﹣2交于点M（﹣3，1），则关于x的不等式x+a≤bx﹣2的解集为（ ）
A．x＜1B．x≤1C．x＜﹣3D．x≤﹣3
【分析】观察函数图象得到当x≤﹣3时，直线l2：y＝bx﹣2的图象在直线l1：y＝x+a的图象上方，据此可得不等式x+a≤bx﹣2的解集．
【解答】解：当x≤﹣3时，直线l2：y＝bx﹣2的图象在直线l1：y＝x+a的图象上方，
∴不等式x+a≤bx﹣2的解集为x≤﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．运用数形结合的思想是解题的关键．
一十一．一次函数的应用（共3小题）
22．（2023•雨山区校级一模）如图是温度计的示意图，图中左边的温度表示摄氏温度，右边的温度表示华氏温度．小明观察温度计发现，两个刻度x，y之间的关系如表．据此可知，摄氏温度为15时，对应华氏温度应为（ ）
A．15B．59C．﹣9.4D．54
【分析】根据题意和表格中的数据可以求得相应的函数解析式，将x＝15代入求出的函数解析式，即可求得相应的华氏温度．
【解答】解：设该一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵经过点（10，50）和（20，68），
∴，
解得，
∴y＝1.8x+32，
当x＝15时，y＝1.8×15+32＝27+32＝59，
即摄氏温度为15时，对应的华氏温度应为59．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
23．（2023•庐阳区二模）某登山队大本营所在地的气温为8℃．海拔每升高1km，气温下降6℃．队员由大本营向上登高xkm，气温为y℃，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝8+6xB．y＝8﹣6xC．y＝6﹣xD．y＝8﹣x
【分析】登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在地的气温为y℃，根据登山队大本营所在地的气温为8℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．
【解答】解：根据题意得：y＝8﹣6x．
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，解题的关键是读懂题意，理解气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．
24．（2023•安徽二模）雅乐登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温为y℃，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝5+6xB．y＝5﹣6xC．D．
【分析】登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在地的气温为y℃，根据登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式．
【解答】解：根据题意得：y＝5﹣6x．
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数式，解题的关键是读懂题意，理解气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．
一十二．反比例函数的图象（共3小题）
25．（2023•蜀山区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象可得出a＞0、b＜0、c＞0，由此即可得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0．
∴反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象找出a＞0、b＜0、c＞0是解题的关键．
26．（2023•瑶海区三模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一坐标内的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据图象发现当x＝1时y＝a+b+c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∵当x＝1时y＝a+b+c＜0，
∴y＝bx+a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，
反比例函数y＝图象在第二、四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
27．（2023•南陵县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数的图象可得出a＞0、b＜0、c＞0，由此即可得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象可得出：a＞0，﹣＞0，c＞0，
∴b＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象得出a＞0、b＜0、c＞0是解决问题的关键．
一十三．反比例函数系数k的几何意义（共6小题）
28．（2023•亳州模拟）如图，已知点A为反比例函数y＝（k≠0，x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为1，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝1，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝1，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．熟记反比例函数的比例系数k的几何意义是解答本题的关键．
29．（2023•迎江区校级三模）如图，▱ABCD的顶点B，C在坐标轴上，点A的坐标为（﹣1，2）．将▱ABCD沿x轴向右平移得到▱A'B'C'D'，使点A′落在函数y＝的图象上，若线段BC扫过的面积为9，则点B′的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（3，3）C．（2，2）D．（3，2）
【分析】根据平移的性质可求出点A′的坐标进而求出平移的距离，由线段BC所扫过的面积为9，可求出OB，得出点B坐标，进而求出点B′的坐标即可．
【解答】解：由平移的性质可知，点A与点A′的纵坐标相同，
当y＝2时，即2＝，
解得x＝2，
∴点A′的坐标为（2，），
∴矩形平移的距离AA′＝2+1＝3＝BB′，
又∵线段BC扫过的面积为9，
∴OB＝9÷3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴点B′的坐标为（3，3），
故选：B．
【点评】本题考查平移，反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移的性质是解决问题的关键．
30．（2023•岳西县校级模拟）如图，面积为6的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数y＝的图象恰好经过点A，则k的值为（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
【分析】作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA＝OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数y＝的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：作AD⊥OB于D，
∵Rt△OAB中，∠ABO＝30°，
∴OA＝OB，
∵∠ADO＝∠OAB＝90°，∠AOD＝∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴＝（）2＝，
∴S△AOD＝S△BOA＝×6＝，
∵S△AOD＝|k|，
∴|k|＝3，
∵反比例函数y＝图象在二、四象限，
∴k＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．
31．（2023•阜阳三模）如图，点A、C为反比例函数（k≠0）图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为6时，k的值为（ ）
A．﹣16B．8C．﹣8D．﹣12
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝8，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝6，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝6，
∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，
∴EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴，
∴S△OCD＝8，
∵|k|＝2S△OCD，
∴|k|＝16，
∴k＜0，
∴k＝﹣16．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
32．（2023•霍邱县二模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为，则k的值为（ ）
​
A．B．2C．3D．6
【分析】证明△ABO和△CBD全等，求出S△CBD，再根据等底同高的性质，求出S△CBO，即求出S△COD，就可利用几何意义解答．
【解答】解：作CD⊥y轴于D，
∴∠CDB＝∠AOB，
∵点B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∵∠DBC＝∠ABO，
∴△ABO≌△CBD（ASA），
∴S△CBD＝S△AOB＝，
∵AB＝BC，
∴S△CBO＝S△AOB＝，
∴S△COD＝3，
∴＝3，
∵k＞0，
∴k＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及性质的应用，几何意义及三角形面积性质的应用是解题关键．
33．（2023•肥东县模拟）如图，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y＝的图象上，△OAB的面积为4，则k的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣4D．4
【分析】过点A分别作AN⊥x轴于N点，根据等腰三角形三线合一的性质可得ON＝BN，利用三角形中线的性质可得S△ANO＝S△AOB，然后再利用把反比例函数系数的几何意义可得k的值．
【解答】解：过点A分别作AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴ON＝BN，
∴S△ANO＝S△AOB＝×4＝2，
∵顶点A在反比例函数y＝的图象上，
∴|k|＝2，k＜0，
∴k＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积是关键．
一十四．反比例函数图象上点的坐标特征（共7小题）
34．（2023•利辛县模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
​
A．（1，3）B．（2，3）C．（2，2）D．（3，2）
【分析】设AD与y轴交于点P，由反比例函数中k的几何意义可知S正方形ABCD＝S矩形ABOP+S矩形DCOP＝3+6＝9，从而可求出yD＝3．再将yD＝3代入y＝（x＞0），可求得 x＝2，即D（2，3）．
【解答】解：如图，设AD与y轴交于点P，
∵正方形ABCD的顶点A，D分别在函数y＝﹣（x＜0）和y＝（x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，
∴S矩形ABOP＝|﹣3|＝3，S矩形DCOP＝|6|＝6，
∴S正方形ABCD＝S矩形ABOP+S矩形DCOP＝3+6＝9．
∴正方形的边长为3，即CD＝3，
∴yD＝3．
将yD＝4代入y＝，
3＝，
解得：x＝2，
∴D（2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义．掌握过反比例函数y＝图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为|k|是解题关键．
35．（2023•迎江区校级二模）从1，2，3这三个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图可得所有mn的积的等可能结果，由点（m，n）在反比例函数图象上可得mn＝6，进而求解．
【解答】解：画树状图如下，
2×3＝6，3×2＝6，
∵共有6种等可能的结果，点P在反比例函数y＝的图象上的有2种情况，
∴点（m，n）在反比例函数图象上的概率为＝，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与概率的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握画树状图求概率的方法．
36．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，点C为线段OB的中点，点B的坐标为（6，8），反比例函数的图象恰好穿过线段BC，则k的值可能为（ ）
A．9B．11C．D．50
【分析】先根据点C为线段OB的中点，点B的坐标为（6，8）求出点C的坐标，再根据反比例函数过点C求出k的值，根据反比例函数过点B求出k的值，从而得到k的取值范围，最后进行判断得出答案．
【解答】解：∵点B的坐标为（6，8），
又∵点C为线段OB的中点，
∴点C的坐标为（3，4），
当反比例函数过点C时，k＝3×4＝12，
当反比例函数过点B时，k＝6×8＝48，
∴k的取值范围是12≤k≤48，
∵，
∴，
∴k的值可能是，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，同时也需要掌握无理数的估算．
37．（2023•利辛县模拟）已知点（﹣1，a），（2，b），（3，c）均在反比例函数的图象上，且b＞c，则下列判断正确的是（ ）
A．k＞0，且a＞b＞cB．k＜0，且a＞b＞c
C．k＞0，且b＞c＞aD．k＜0，且b＞c＞a
【分析】根据b＞c，可知反比例函数在同一象限内递减，则k＞0即反比例函数的图象在第一、三象限，由此可得b＞0，c＞0，a＜0．
【解答】解：∵点（2，b），（3，c）均在反比例函数的图象上，且b＞c，
∴k＞0，即反比例函数的图象在第一、三象限，
∴b＞0，c＞0，a＜0．
综上所述，k＞0，且b＞c＞a，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质：当k＞0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
38．（2023•淮南一模）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣9C．﹣12D．﹣14
【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出＝，即BC•EO＝AB•CO，求得ab的值即可．
【解答】解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是6，
∴×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，
∵AB∥OE，
∴＝，即BC•EO＝AB•CO，
∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，
∴k＝﹣12，
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
39．（2023•安徽二模）已知两点A（2m，p），B（m，q）都在反比例函数的图象上，则下列结论成立的是（ ）
A．p＝2qB．q＝2pC．p＝mD．q＝2m
【分析】把点A（2m，p），B（m，q）代入反比例函数可得2mp＝mq，再进行化简即可．
【解答】解：把点A（2m，p），B（m，q）代入反比例函数可得，
2mp＝mq，
又∵m≠0，
∴q＝2p，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
40．（2023•定远县校级三模）如图，点P（12，a）在反比例函数的图象上，PH⊥x轴于点H，则cs∠OPH的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数解析式可求出a的值，由点P的坐标可得到PH、OH的长，再由勾股定理可得到OP的长，利用三角函数对应边的比值即可求解．
【解答】解：∵点P（12，a）在反比例函数的图象上，
∴．
∵PH⊥x轴于H
∴∠PHO＝90°，PH＝5，OH＝12．
∴．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解此题的关键．
一十五．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
41．（2023•安徽模拟）若函数y＝与y＝x+1的图象交于点A（a，b），则的值为（ ）
A．6B．﹣6C．D．
【分析】先把A（a，b）分别代入两个解析式，求出a、b之间的关系，再由＝即可求解．
【解答】解：把A（a，b）代入y＝，y＝x+1得ab＝6，b＝a+1，即ab＝6，a﹣b＝﹣1，
所以＝＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．
42．（2023•淮南二模）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述：①k1+k2≤0；②k1k2＜0；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④或|k1+k2|＜|k2|．正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据题意得出k1和k2异号，再分别判断各项即可．
【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，
则k2＜0，
若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，
则k2＞0，
综上：k1和k2异号，
①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；
②∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故②正确；
③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；
④|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故④正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象，绝对值的意义，解题的关键是得到k1和k2异号．
43．（2023•庐阳区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y＝，现将正方形ABCD向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
​
A．3B．C．D．2
【分析】先求出点A（1，0），B（0，3），过点D作DE⊥x轴于E；过点C作CF⊥x轴于F，CH⊥y轴于H，可证△ABO和△DAE全等从而得OA＝DE＝1，OB＝AE＝3，据此可求出点D（4，1），同理可求出点C（3，4），据此可求出双曲线的解析式，设CF与双曲线交于点M，则CM＝a，据此可得点M（3，4﹣a），最后将点M代入双曲线的解析式即可求出a的值．
【解答】解：对于y＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝1，
∴点A（1，0），点B（0，3），
∴OA＝1，OB＝3，
过点D作DE⊥x轴于E；过点C作CF⊥x轴于F，CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAO+∠DAE＝90°，
又∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠DAE，
在△ABO和△DAE中，
，
∴△ABO≌△DAE（AAS），
∴OA＝DE＝1，OB＝AE＝3，
∴OE＝OA+AE＝4，
∴点D的坐标为（4，1），
同理可证：△ABO≌△BCH（AAS），
∴BH＝OA＝1，CH＝OB＝3，
∴OH＝CF＝OB+BH＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
∵点D在双曲线y＝kx上，
∴k＝4，
∴双曲线的解析式为：，
设CF与双曲线交于点M，
∵将正方形ABCD向下平移a个单位，使顶点C落在双曲线上，
∴点C就落在点M处，即平移后点C与点M重合，
∴CM＝a，
∴MF＝CF﹣CM＝4﹣a，
∴点M的坐标为（3，4﹣a），
∵点M在双曲线上，
∴3（4﹣a）＝4，解得：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定方法，难点是在解答（2）时，理解CF与双曲线交点之间的距离就是向下平移的长度单位a．
44．（2023•砀山县二模）若一次函数y＝2x﹣5的图象与反比例函数的图象交于点（1，m），则k的值为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
【分析】先将点（1，m）代入y＝2x﹣5求出m＝﹣3，把（1，﹣3）代入求出k的值即可．
【解答】解：把（1，m）代入y＝2x﹣5得：m＝2﹣5＝﹣3，
∴一次函数y＝2x﹣5的图象与反比例函数的图象交于点（1，﹣3），
把（1，﹣3）代入得：﹣3＝，
∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，
故A符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求一次函数值，求反比例函数解析式，根据题意求出m＝﹣3是解题的关键．
一十六．反比例函数的应用（共1小题）
45．（2023•阜阳模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为I＝B．蓄电池的电压是18V
C．当R＝6Ω时，I＝4AD．当I≤10A时，R≥3.6Ω
【分析】根据函数图象可设I＝，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，
∴蓄电池的电压是36V，
∴A、B错误，不符合题意；
当R＝6Ω时，I＝＝6（A），
∴C错误，不符合题意；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
一十七．二次函数的图象（共3小题）
46．（2023•凤台县校级三模）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项正确；
B、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，对称轴x＝＝＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2﹣2x﹣1的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y＝ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
47．（2023•肥东县模拟）已知二次函数y＝ax2（a≠0）和一次函数y＝bx+c（b≠0）的图象如图所示，则函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题干中的函数图象，可知a＞0，b＜0，c＞0，然后即可得到函数y＝ax2+bx﹣c的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
二次函数y＝ax2的二次项系数a＞0，
一次函数y＝bx+c（b≠0）中的b＜0，c＞0，
∴函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答．
48．（2023•庐江县二模）已知一次函数y＝﹣x+a（a为常数）的图象如图所示，则函数y＝ax2﹣2x+的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的图象可得a＞0，则二次函数y＝ax2﹣2x+的图象开口朝上，与y轴的交点的纵坐标为，对称轴＞0，以此即可判断．
【解答】解：由一次函数y＝﹣x+a（a为常数）的图象可知a＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣2x+的图象开口朝上，故A选项不符合题意；
∵二次函数y＝ax2﹣2x+的图象与y轴的交点的纵坐标为＞0，
∴二次函数的图象交于y轴正半轴，故D选项不符合题意；
∵二次函数y＝ax2﹣2x+的图象的对称轴＞0，
∴抛物线的对称轴在x轴的正半轴，故B选项不符合题意，C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
一十八．二次函数的性质（共3小题）
49．（2023•舒城县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣8a（a为常数）经过点C（0，2），图象与x轴交于点A、B（A在B的左边），连接BC，点P是抛物线图象在第一象限内的一点，过点P作PQ⊥BC交于点Q，若PQ取得最大值，则此时点P的横坐标为（ ）
A．B．C．1D．2
【分析】作PH⊥x于点H，交BA于D，说明∠PDQ的函数值一定，PD最大时，PQ满足最大，设点P坐标，表示出PD，利用函数求出最值时的坐标即可．
【解答】解：∵图象经过点C（0，2），
∴﹣8a＝2，
∴a＝﹣，
将a代入关系式得，y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，即﹣x2+x+2＝0，
解得，x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴OC＝2，OB＝4，BC＝＝2，
设BC：y＝kx+b，
把点C、B代入得，y＝﹣x+2，
作PH⊥x于点H，交BA于D，
∴∠PDQ＝∠BDH＝∠BCO，
∴sin∠PDQ＝sin∠BCO＝＝，
∴PD最大时，PQ满足最大，
设点P（m，﹣m2+m+2），则点D（m，﹣m+2），
∴PD＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，PQ有最大值，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质的应用，线段最值的计算及三角形边的比例关系是解题关键．
50．（2023•瑶海区校级一模）设函数，，直线x＝1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（ ）
A．若1＜m＜n，则a1＜a2B．若m＜1＜n，则a1＜a2
C．若m＜n＜1，则a1＜a2D．若m＜n＜1，则a2＜a1
【分析】根据题意分别画出y1，y2的图象，继而根据图象即可求解．
【解答】解：如图所示，若1＜m＜n，则a1＞a2，
故A选项错误；
如图所示，若m＜1＜n，则a1＞a2或a1＜a2，
故B选项错误；
如图所示，若m＜n＜1，则a1＜a2，
故C选项正确，D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．
51．（2023•芜湖模拟）二次函数y＝a（x+m）2﹣n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【分析】y＝a（x﹣h）2+k，a≠0，顶点坐标为（h，k），题目中h＝﹣m，k＝﹣n．m＜0，说明一次函数y＝mx+n的图象经过二、四象限．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2﹣n，
∴顶点坐标为（﹣m，﹣n）．
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，﹣n＜0，
∴m＜0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】此题考查的是二次函数的图象与性质、一次函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键．
一十九．二次函数图象与系数的关系（共4小题）
52．（2023•包河区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c，若a﹣b+c＝1，则下列结论错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0B．b2﹣4ac＞0
C．b2﹣4ac＞﹣4aD．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系解答即．
【解答】解：A．y＝ax2+bx+c（a≠0），x＝1时，y＝a+b+c为最大值，即x＝1为对称轴，且开口向下．
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，
∴A正确；
B．b2﹣4ac，即判别式Δ，∵a﹣b+c＝1，即x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝1．
∴最大值a+b+c＞1，即开口向下，最大随在轴上则抛物线与抽必有两个交点．Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴B正确；
C．顶点坐标（），
∴），
又∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴C正确；
D.＝＝，
∵x＝﹣1时，y＝1，对称轴x＝1，则x＝1×2﹣（﹣1）＝3时，y＝1，
此时（﹣1，1）和（﹣3，1）距离为4，则抛物线与x轴两，交点的距离大于4，
∴，
∴D错．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
53．（2023•黟县校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点在第四象限，对称轴是直线x＝3，过第一、二、四象限的直线y＝kx﹣4k（k是常数）与抛物线交于x轴上一点．现有下列结论：①ck＞0；②c＝7a；③4a+2b+c﹣5k＞0；④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，k＝﹣2a；⑤若m为任意实数，则m（am+b）≥9a+3b．其中正确的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】①分别判定出k＜0，c＞0，即可得出ck＜0，得出①错误；
②根据一次函数解析式和抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的一个交点为（2，0），得出4a+2b+c＝0，根据抛物线的对称轴为x＝3，得出，求出b＝﹣6a，得出4a+2×（﹣6a）+c＝0，即可判断②错误；
③根据4a+2b+c＝0，k＜0，得出4a+2b+c﹣5k＞0，判断③正确；
④根据题意得出﹣4k＝c，即，由②得c＝8a，从而得出，判断④正确；
⑤当x＝3时，抛物线取得最小值，最小值为：y＝9a+3b+c，当x＝m时，代入y＝ax2+bx+c得am2+bm+c≥9a+3b+c，整理得出m（am+b）≥9a+3b，判断⑤正确．
【解答】解：①直线y＝kx﹣4k（k是常数）的图象过一、二、四象限，
∴k＜0，
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴ck＜0，故①错误；
②∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4），
令x＝4得y＝0，
∴直线y＝kx﹣4k与x轴交点为（4，0），
∴抛物线与y＝kx﹣4k也交于（4，0），
∵抛物线的对称轴为x＝3，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
把（2，0）代入y＝ax2+bx+c得：4a+2b+c＝0，
∵抛物线的对称轴为x＝3，
∴，
解得：b＝﹣6a，
∴4a+2×（﹣6a）+c＝0，
解得：c＝8a，故②错误；
③由②知，抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵k＜0，
∴4a+2b+c﹣5k＞0，故③正确；
④根据题意知，当x＝0时，直线与抛物线的y值相等，
∴﹣4k＝c，
∴，
由②得c＝8a，
∴，故④正确；
⑤当x＝3时，抛物线取得最小值，最小值为：y＝9a+3b+c，
当x＝m时，代入y＝ax2+bx+c得am2+bm+c≥9a+3b+c，
即am2+bm≥9a+3b
∴m（am+b）≥9a+3b，故⑤正确，
综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
54．（2023•蜀山区校级三模）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0）和（0，﹣2），且对称轴在y轴的左侧，若t＝a﹣b，则t的取值范围是（ ）
A．﹣2＜t＜2B．﹣2＜t＜0C．﹣4＜t＜0D．﹣4＜t＜2
【分析】将点（1，0），（0，﹣2）代入解析式，得到a+b＝2由对称轴﹣，分别得到0＜a＜2，0＜b＜2，即可求t的范围．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点（1，0）和（0，﹣2），
∴a+b+c＝0，c＝﹣2，
∴a+b＝2，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴﹣，
∴a、b同号，
∵a+b＝2，
∴0＜a＜2，0＜b＜2，
∴t＝a﹣b＝a﹣2+a＝2a﹣2＝2（a﹣1），
∴﹣1＜a﹣1＜1，
∴﹣2＜2（a﹣1）＜2，
∴﹣2＜t＜2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用不等式的基本性质解题是关键．
55．（2023•定远县一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0
B．方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根
C．x（ax+b）≤a+b
D．点P到直线AB的最大距离
【分析】根据图象可知a＜0，c＞0，再由对称轴可知b＝﹣2a＞0，可判断①；根据抛物线的顶点可知方程ax2+bx+c＝3有且只有一个实数根，可判断②；当x＝1时函数有最大值a+b+c，由此可判断③；求出函数的解析式和直线AB的解析式，当△PAB的面积最大值时，P点到AB的距离最大．
【解答】解：由图象可知开口向下，
∴a＜0，
∵函数与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，
故A不符合题意；
∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），
∴ax2+bx+c＝3时，方程的解为x＝1，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，
故B不符合题意；
当x＝1时，a+b+c＝3，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，
故C符合题意；
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设抛物线y＝a（x﹣1）2+3，将点B（4，0）代入，
∴9a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+x+，
过P点作PG∥y轴交AB于点G，
设P点坐标为（t，﹣t2+t+），则G（t，﹣t+4），
∴PG＝﹣t2+t++t﹣4＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△ABP的面积有最大值，
∴S＝3×＝3h，
∴h＝，
∴点P到直线AB的最大距离，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键．
二十．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
56．（2023•合肥模拟）如图，直线x＝1与抛物线和抛物线分别交于点（1，4）、（1，1），直线AB∥x轴，与抛物线 交于C、D两点，与抛物线交于A、B两点，则 ＝（ ）
​
A．4B．C．D．2
【分析】利用待定系数法求得y1＝4x2，y2＝x2，设直线AB为y＝a，代入解析式求得即可求得AB＝2，CD＝，从而求得 ＝2．
【解答】解：∵抛物线和抛物线分别交于点（1，4）、（1，1），
∴m＝4，n＝1，
∵y1＝4x2，y2＝x2，
设直线AB为y＝a，则4x2＝a，x2＝a，
由4x2＝a解得x＝，由x2＝a解得x＝±，
∵AB＝2，CD＝，
∴＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质，求得AB、CD的长是解题的关键．
二十一．二次函数图象与几何变换（共4小题）
57．（2023•凤阳县二模）已知二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t，将其图象在直线x＝1左侧部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G．在图形G上任取一点M，点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，则s的取值范围是（ ）
A．s≤0B．0≤s≤2C．s≤2D．s≥2
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，再结合题意可知t≥1，根据图象分别求出m＝t，n＝﹣t2+t﹣1，再求s的范围即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t关于x轴对称后的函数解析式为y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，
∵点M的纵坐标y的取值满足y≥m或y＜n，
∴t≥1，
∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，
∴m＝t，
∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣t，当x＝1时，y＝﹣t2+t﹣1，
∴n＝﹣t2+t﹣1，
∴s＝m﹣n＝t2+1≥2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数的图象变换，数形结合解题是关键．
58．（2023•蜀山区三模）已知，二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+1的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在（﹣1≤x≤1）部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则OM长度的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】由二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+1的对称轴为y轴，利用对称轴公式求得a＝，则二次函数为y＝2+1，将此函数向下平移3个单位，得到y＝2﹣2，即可求得在﹣1≤x≤1范围内的最高点为（﹣1，﹣）或（1，﹣），利用勾股定理即可求得OM值的最小值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+（2a﹣1）x+1的对称轴为y轴，
∴﹣＝0，
∴a＝，
∴二次函数为y＝2+1，
将此函数向下平移3个单位，得到y＝2﹣2，
∴抛物线开口向上，有最小值﹣2，
∴在﹣1≤x≤1范围内的最大值为﹣，最高点为（﹣1，﹣）或（1，﹣），
∴OM的最小值＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求得在﹣1≤x≤1范围内的最高点为（﹣1，﹣）或（1，﹣）是解题的关键．
59．（2023•凤台县校级二模）要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
60．（2023•蜀山区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（ ）
A．0≤t≤1B．﹣1≤t≤1C．﹣2≤t≤0D．﹣1≤t≤0
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【解答】解：如图1所示，当t等于0时，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，
D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，
此时最小值为﹣1，最大值为4．
综上所述：﹣1≤t≤0，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题关键．
x/℃
10
20
25
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y/℉
50
68
77
86
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10
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