5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题08几何最值问题(针对第10题)(真题2题模拟60题)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题08几何最值问题(针对第10题)(真题2题模拟60题)特训（学生版+解析），共90页。

A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
2．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
一．选择题（共60小题）
1．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
2．（2023•宿州模拟）如图，∠A＝∠B＝45°，，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD＝2，点M在边BC上，BM＝2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023•砀山县二模）如图，在▱ABCD中，M是AD上一点，E是BC上一动点，过点E作EF∥CM交BM于点F，若BC＝20，CD＝15，，则S△MEF的最大值为（ ）
A．40B．30C．20D．15
4．（2023•包河区一模）如图，已知线段AB＝6，点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边△PBC，以PC为直角边，∠CPE为直角，在△PBC同侧构造Rt△PCE，点M为EC的中点，连接AM，则AM的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．6
5．（2023•肇源县一模）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．2B．4C．4D．8
6．（2023•庐阳区校级三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且始终保持BF﹣BE＝1，连接AE、CF，则AE+CF的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
7．（2023•天长市校级三模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•安庆模拟）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+B．C．1D．2
9．（2023•迎江区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
10．（2023•瑶海区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
12．（2023•无为市二模）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023•合肥模拟）如图，在△BCP中，，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
14．（2023•铜官区校级一模）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB＝AE＝4，则BG的最小值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•全椒县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
16．（2023•谯城区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
17．（2023•安徽模拟）如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB+PC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023•蚌埠二模）如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
19．（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
20．（2023•贵池区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
21．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
22．（2023•天长市一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
23．（2023•芜湖三模）如图，正方形ABCD的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
24．（2023•迎江区校级二模）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
25．（2023•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
26．（2023•天长市校级二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC 的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．10B．12.5C．25D．15
27．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
​
A．B．C．D．
28．（2023•全椒县三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点O的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
29．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
30．（2023•亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．4
31．（2023•肥西县二模）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4B．2+C．+2D．2+2
32．（2023•瑶海区二模）已知，△ABC内接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点G．则DG的长度的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
33．（2023•蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD＝6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．2
34．（2023•定远县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
35．（2023•蚌山区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）
A．5B．1C．2D．3
36．（2023•包河区校级一模）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在BC边上，连接AE，F为AE中点，连接BF，点G在DE上且BF＝FG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．B．C．D．
37．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
38．（2023•蜀山区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
39．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．3
40．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
41．（2023•合肥二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于点D，P是AB上的一个动点，以P为直角顶点向右作等腰Rt△CPE，连接DE，则DE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
42．（2023•合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DM⊥EF于M点，连接AM、BM，则AM+BM的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
43．（2023•雨山区校级一模）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A．2B．C．D．4
44．（2023•瑶海区三模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
45．（2022•安徽三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A．6B．C．D．
46．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）​
A．B．1C．D．
47．（2023•烈山区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径的第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．D．
48．（2023•无为市三模）如图，点P是边长为6的等边三角形ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，且满足∠ACP＝∠CBP，D为AP的中点，过点P作PE⊥AB，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
49．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．3D．3
50．（2023•六安模拟）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
51．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（ ）
A．2B．C．D．
52．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．10D．34
53．（2023•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
54．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的⊙C半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
55．（2023•无为市四模）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．+1
56．（2023•淮南二模）如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
57．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（ ）
A．6B．4C．4D．6
58．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
59．（2023•太湖县校级三模）矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点M、N分别从顶点A、B同时出发，且分别沿着AD、BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM、CN交于点P，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
60．（2023•惠来县模拟）如图，△ABC，△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝4，F为AC上一动点，E为DF中点，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．4B．8C．2D．4
专题08 几何最值问题（针对第10题）（真题2题模拟60题）
1．（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（ ）
A．PA+PB的最小值为3
B．PE+PF的最小值为2
C．△CDE周长的最小值为6
D．四边形ABCD面积的最小值为3
【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得S四边形ABCD＝（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．
【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，
∴DE∥BM，CE∥AM，
∴四边形DECM是平行四边形，
∵P为CD中点，
∴P为EM中点，
∵E在线段AB上运动，
∴P在直线l上运动，
由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，
∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，
作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，
此时PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；
∵PM＝PE，
∴PE+PF＝PM+PF，
∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，
∵F为AB的中点，
∴MF⊥AB，
∴MF为等边三角形ABM的高，
∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，
∵△ADE和△BCE是等边三角形，
∴KE＝AE，TE＝BE，
∴KT＝KE+TE＝AB＝2，
∴CD≥2，
∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，
∴DE+CE+CD≥6，
∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，
∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，
∴S△ADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣2m+2，S梯形DKTC＝（m+2﹣m）•2＝2，
∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出P的运动轨迹是直线l．
2．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO并延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．
【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，
∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，
∴S1+S0＝S2+S3，
∵S1+S2+S3＝2S0，
∴S1+S1+S0＝2，
∴S1＝S0，
∵△ABC是等边三角形，边长为6，
∴S0＝×62＝9，
∴S1＝，
过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．
∵△PAB的面积是定值，
∴点P的运动轨迹是直线PM，
∵O是△ABC的中心，
∴CT⊥AB，CT⊥PM，
∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，
∴RT＝，
∴OT＝OR+TR＝，
∵OP≥OT，
∴OP的最小值为，
当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，
如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，
∵＜，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△PAB的面积是定值．
一．选择题（共60小题）
1．（2023•蚌埠二模）如图，M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，若∠A＝30°，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【分析】由题意可知A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，过点D作DN⊥AC，可得△DPN∽△BPC，则，则当DN最最大值时，即取最小值，即当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，设BC＝a，利用含30°的直角三角形可得，此时，，即可得的最小值为2．
【解答】解：∵M为Rt△ABC斜边AB上的中点，等腰△MBD的底边BD与AC交于点P，
∴AM＝BM＝DM，∠C＝90°，
∴A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，
过点D作DN⊥AC，则∠DNP＝∠C＝90°，
∵∠DPN＝∠BPC，
∴△DPN∽△BPC，
∴，
由题意可知，BC为长度不发生变化，则当DN最最大值时，即取最小值，
即：当点D在的中点时，亦即DN经过圆心（DM⊥AC）时，点D到弦AC的距离最大，如图，
设BC＝a，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2a，AM＝BM＝DM＝a，
∵DM⊥AC，
∴，则，
此时，，
综上，的最小值为2；
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的相关知识，得到A，D，B，C在以点M为圆心的圆上，且AB为直径，再添加辅助线构造相似是解决问题的关键．
2．（2023•宿州模拟）如图，∠A＝∠B＝45°，，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD＝2，点M在边BC上，BM＝2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长AD，BC，交于点O，作点M关于AB的对称点M'，连接BM'，OM'，OM'交AB于点P'，MM'交AB于点F，则PM＝PM'，所以PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，当O、N、P、M'四点在同一条直线上时，ON+PN+PM'＝OM'最小，即PM+PN＝OM'﹣1最小，利用勾股定理求出OM'＝＝＝2，即求出PM+PN的最小值为2﹣1．
【解答】解：如图，延长AD，BC，交于点O，作点M关于AB的对称点M'，
连接BM'，OM'，OM'交AB于点P'，MM'交AB于点F，则PM＝PM'，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠COD＝90°，
∵CD＝2，N是CD的中点，连接ON，
∴ON＝CD＝1，即点N在以O为圆心，半径为1的圆位于△ABO的内部的弧上运动，
∵PM+PN＝PM'+PN＝PM'+OP﹣1，
∴当O、N、P、M'四点在同一条直线上时，ON+PN+PM'＝OM'最小，
即PM+PN＝OM'﹣1最小，
∵点M、M'关于AB对称，
∴AB垂直平分MM'，
∴BM'＝BM＝2，∠M'BF＝∠MBF＝∠BMM'＝∠BM'M＝45°，
∴∠MBM'＝90°，
∵，
∴OA＝OB＝4，
∴OM＝OB﹣BM＝4﹣2＝2，
∴OM'＝＝＝2．
∴PM+PN的最小值为2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了最短路线问题，熟练运用勾股定理、点与圆的位置关系是解题的关键．
3．（2023•砀山县二模）如图，在▱ABCD中，M是AD上一点，E是BC上一动点，过点E作EF∥CM交BM于点F，若BC＝20，CD＝15，，则S△MEF的最大值为（ ）
A．40B．30C．20D．15
【分析】过点C作CN⊥AD于点N，设BE＝x（0＜x＜20），先解直角三角形可得CN＝12，从而可得S△BCM＝120，S△MBE＝6x，再根据相似三角形的判定可证△BEF∽△BCM，根据相似三角形的性质可得S△BEF＝，从而可得S△MEF＝，然后利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CN⊥AD干点N，
设BE＝x（0＜x＜20），
∴sinD＝，CD＝15，
∴CN＝CD•sinD＝×15＝12，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴S△BCM＝BC•CN＝120，S△MBE＝BE•CN＝6x，
∵EF∥CM，
∴△BEF∽△BCM，
∴＝（）2＝，
∴S△MEF＝S△MBE﹣S△BEF＝6x﹣＝，
由二次函数的性质可知，在0＜x＜20内，当x＝10时，S△MEF取得最大值，最大值为30，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出△MEF的面积的函数表达式是解题关键．
4．（2023•包河区一模）如图，已知线段AB＝6，点P为线段AB上一动点，以PB为边作等边△PBC，以PC为直角边，∠CPE为直角，在△PBC同侧构造Rt△PCE，点M为EC的中点，连接AM，则AM的最小值为（ ）
A．1B．C．3D．6
【分析】连接PM，BM，并延长BM至F，由直角三角形的性质得出PM＝CM＝CE，证明△BCM≌△BPM（SSS），由全等三角形的性质得出∠CBM＝∠PBM＝30°，当AM⊥BF时，AM最小，则可得出答案．
【解答】解：连接PM，BM，并延长BM至F，
∵∠CPE＝90°，M为CE的中点，
∴PM＝CM＝CE，
又∵△PBC是等边三角形，
∴BC＝PB，∠PBC＝60°，
∵BM＝BM，
∴△BCM≌△BPM（SSS），
∴∠CBM＝∠PBM＝30°，
∴M在∠PBC的角平分线BF上运动，
当AM⊥BF时，AM最小，
∴AM＝AB＝＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，证明△BCM≌△BPM是解题的关键．
5．（2023•肇源县一模）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（ ）
A．2B．4C．4D．8
【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理推出△OAB为等腰直角三角形，求得AB＝OA＝2，根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝2，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．（2023•庐阳区校级三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且始终保持BF﹣BE＝1，连接AE、CF，则AE+CF的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【分析】通过证明四边形EFHA是平行四边形，可得AE＝FH，则当点F，点H，点C三点共线时，AE+CF有最小值，由勾股定理可得．
【解答】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝1，连接HF，
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴AE＝FH，
∴AE+CF＝FH+CF，
∴当点F，点H，点C三点共线时，AE+CF有最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝2，
∵AH∥DB，
∴AC⊥CH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△ACH中，CH＝＝＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，即可求解．
7．（2023•天长市校级三模）如图，P为矩形ABCD的边AB的延长线上的动点，AH⊥PC于H，点E在边AD上，若AB＝6，BC＝8，AE＝2，则线段EH的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，当E，O，H三点共线时，EH取最大值，再过O作OF⊥AD于F，根据勾股定理求出，而，即可求出线段EH的最大值．
【解答】解：连接AC，以AC为直径作△ABC的外接圆⊙O，
∵AH⊥PC，
∴点H在⊙O上，
当E，O，H三点共线时，EH取最大值，
过O作OF⊥AD于F，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∵F为AD的中点，
∴，
在Rt△OEF中，，，
∴线段EH的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，作辅助线并判断出 EH最大时的情况是解题的关键．
8．（2023•安庆模拟）如图，菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足BM⊥DM，N为MD中点，连接CN．则当M运动的过程中，CN长度的最大值为（ ）
A．1+B．C．1D．2
【分析】连接AC，交BD于点O，连接ON，易得ON是△BDM的中位线，得到ON∥BM，取OD的中点E，连接CE，NE，得到CN≤CE+NE，得到当C，N，E三点共线时，CN最长，进行求解即可．
【解答】解：连接AC，交BD于点O，连接ON，
∵菱形ABCD的对角线BD长度为4，边长，
∴AC⊥BD，，，
∴，
∵N为MD中点，
∴ON∥BM，
∵BM⊥DM，
∴ON⊥DM，
∴∠OND＝90°，
取OD的中点E，连接CE，NE，
则：，
∵CN≤CE+NE，
∴当C，N，E三点共线时，CN的长度最大为；
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键．
9．（2023•迎江区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【分析】取BC中点G，连接HG，AG，由直角三角形的性质可得HG＝CG＝BG＝BC＝2，由勾股定理可求AG＝2，由三角形的三边关系可得AH≥AG﹣HG，当点H在线段AG上时，可求AH的最小值．
【解答】解：如图，取BC中点G，连接HG，AG，
∵CH⊥DB，点G是BC中点
∴HG＝CG＝BG＝BC＝2，
在Rt△ACG中，AG＝＝2，
在△AHG中，AH≥AG﹣HG，
即当点H在线段AG上时，AH最小值为2﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使AH值最小时点H的位置是本题的关键．
10．（2023•瑶海区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图所示，以AC为斜边，作等腰直角△AOC，过点O作OE⊥AD交DA延长线于E，连接OD，则，∠OAC＝45°，先证明点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（AB右侧），故当点O在线段BD上时，BD最大，再求出OE，DE的长，进而利用勾股定理求出OD的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，以AC为斜边，作等腰直角△AOC，过点O作OE⊥AD交DA延长线于E，连接OD，
∴，∠OAC＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴点B在以O为圆心，为半径的圆周上运动（AB右侧），
∴当点O在线段BD上时，BD最大，
∵△ACD是以AC为边的等腰直角三角形，
∴∠CAD＝90°，AD＝AC＝2，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴，
∴DE＝AE+AD＝3，
在Rt△DOE中，由勾股定理得，
∴BD的最小值＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定点B的运动轨迹是解题的关键．
11．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
【分析】连接AF，AC，利用勾股定理、轴对称的性质可得AC、AF的长．依据AF+CF≥AC，即可得到当C，F，A在同一直线上时，CF存在最小值．
【解答】解：如图所示，连接AF，AC，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AC＝，
∵B，F关于AE成轴对称，
∴AE垂直平分BF，
∴AB＝AF＝5，
∵AF+CF≥AC，
∴当C，F，A在同一直线上时，CF的最小值为AC﹣AF＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断．
12．（2023•无为市二模）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由对称性质可得AF＝AB＝5，由正方形的性质可得AC＝AB＝5，当点F在线段AC上时，CF最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，AF，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AF＝AB＝5，
当点F在AC上时，CF最小，
∵AC﹣AF＝5﹣5，
∴线段CF的最小值为5﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用轴对称的性质．
13．（2023•合肥模拟）如图，在△BCP中，，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，
则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，
∴PE＝BP＝2，
在△CPE中，CE≤PE+CP，
∴CE的最大值为2+4＝6，
即AP的最大值为6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2023•铜官区校级一模）已知∠ABC＝∠EAD＝90°，D是线段AB上的动点且AC⊥ED于G，AB＝AE＝4，则BG的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】取AE中点F，连接BF，GF，由△AGE是直角三角形，F是AE中点，可得FG＝AE＝2＝AF，故G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，而BF＝＝2，当B，F，G构成三角形时，BG＞2﹣2，从而可得B，F，G共线时，BG最小值为2﹣2．
【解答】解：取AE中点F，连接BF，GF，如图：
∵AC⊥ED，
∴△AGE是直角三角形，
∵F是AE中点，
∴FG＝AE＝2＝AF，
∴G的轨迹是以F为圆心，2为半径的弧，
∵∠EAD＝90°，AB＝4，
∴BF＝＝＝2，
当B，F，G构成三角形时，BG＞BF﹣FG，即BG＞2﹣2，
∴当B，F，G共线时，BG取最小值，最小值即为2﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹．
15．（2023•全椒县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，延长BA至点D，连接CD，∠ADC＝45°，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接DP，取DP的中点M，分别连接ME，MF，得点P，F，D，E四点共圆，当MF取最小值时，EF也取最小值，由此解答即可．
【解答】解：如图，连接DP，取DP的中点M，分别连接ME、MF，过C作CH⊥BD交BD于H．
∵PE⊥AB，PF⊥CD，
∴点P，F，D，E四点共圆，
∴．
∵∠ADC＝45°，
∴∠EMF＝90°，
∴当MF取最小值时，EF也取最小值，
∴DP⊥BC时，DP取最小值．
∵BC＝4，
∴，BH＝2，
∴，
∵CH×BD＝DP×BC，
∴，
∴，
∴，
即EF的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形性质，能得出点P，F，D，E四点共圆是解题的关键．
16．（2023•谯城区一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【分析】由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案．
【解答】解：∵PA⊥PD，
∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，
∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OD＝3，DC＝4，
根据勾股定理可得，，
∴CP＝5﹣3＝2，
故选：C．
【点评】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
17．（2023•安徽模拟）如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB+PC的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由“SAS”可证△ABH≌△CBP，可得PC＝AH，则PB+PC＝AP，通过证明点A，点B，点P，点C四点共圆，可得当AP为直径时，BP+PC有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，在AP上截取PH＝BP，连接BH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝PH，∠APB＝60°，
∴△BPH是等边三角形，
∴BP＝BH＝PH，∠PBH＝60°＝∠ABC，
∴∠ABH＝∠PBC，
在△ABH和△CBP中，
，
∴△ABH≌△CBP（SAS），
∴PC＝AH，
∴BP+PC＝AH+PH＝AP，
∵∠APB＝∠ACB＝60°，
∴点A，点B，点P，点C四点共圆，
设过点A，点B，点P，点C的圆的圆心为O，连接CO，AO，并延长AO交BC于E，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠OEC＝∠AOC﹣∠BCO＝90°，
∴EC＝AC＝，AE＝EC＝，OC＝2OE＝OA，
∴AO＝，
∵AP是圆O的弦，
∴当AP为直径时，AP有最大值为，
∴PB+PC的最大值为，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，直角三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．（2023•蚌埠二模）如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAH，可得BD＝CH，由三角形中位线定理可得EF＝CH＝BD，可得当BD为最小值时，EF有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，延长DE至H，使EH＝DE，连接BD，AH，CH，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠AED，AD＝AE＝2，
又∵DE＝EH，
∴AD＝AH，
∴∠ADE＝∠AHE＝45°，
∴∠DAH＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAH，
∴△BAD≌△CAH（SAS），
∴BD＝CH，
∵DE＝EH，点F是CD的中点，
∴EF＝CH＝BD，
∴当BD为最小值时，EF有最小值，
当点D在AB上时，BD有最小值为4﹣2，
∴EF＝2﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19．（2023•合肥三模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴，
∵
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴BC＝8，
∴DC＝BC﹣BD＝4，
∴2AD+DC＝2×4+4＝12，
∴2AD+DC的最小值为12，
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
20．（2023•贵池区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为AC上任意一点，F为AB的中点，连接BD，E在BD上且∠BEC＝90°，连结EF，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据E、F、Q三点共线的时，EF的值最小即可解答．
【解答】解：取BC的中点Q，连接DQ，FQ，
∵F为AB的中点，
∴，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴，
∴，
∵∠BEC＝90°，
∴，
当E、F、Q三点共线的时，EF的值最小，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
21．（2023•合肥一模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB＝2，点E为BD上动点，连接AE，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，由△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，可得EM＝BE，当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，在Rt△ABH中，有AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，故AE+BE最小值为．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M，过H作AH⊥BC于H，交BD于E'，如图：
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠EBM＝30°，
∴EM＝BE，
∴AE+BE＝AE+EM，
当AE+BE最小时，AE+EM最小，此时E与E'重合，M与H重合，AE+BE的最小值为AH的长度，
在Rt△ABH中，
AH＝AB•sin∠ABH＝2×sin60°＝，
∴AE+BE最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．
22．（2023•天长市一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值是（ ）
A．B．2C．3D．
【分析】利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再说明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，
∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM＝＝＝2，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值为2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（2023•芜湖三模）如图，正方形ABCD的边长是4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】设EF交BD与点O，证明BO＝OD．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【解答】解：设EF交BD与点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠∠BEO＝∠DFO，
∵∠EOB＝∠DOF，
∴△BEO≌△DFO（AAS），
∴BO＝OD，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，
∴MA＝，MG＝OB＝，AG≥AM﹣MG＝﹣，
当A，M，G三点共线时，AG最小值＝（﹣）cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
24．（2023•迎江区校级二模）如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线AO上任意一点，过点P作PM⊥AC，交AC于点M，连接PC，若AC＝2，BC＝，则PM+PC长度的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作CR⊥AB于R．证明PM+PC＝PC+PT≥CR，利用面积法求出CR即可．
【解答】解：如图，过点P作PT⊥AB于T，过点C作CR⊥AB于R．
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，
∴AB＝＝＝，
∵CR⊥AB，
∴•AB•CR＝•AC•BC，
∴CR＝，
由作图可知，AO平分∠CAB，
∵PM⊥AC，PT⊥AB，
∴PM＝PT，
∴PM+PB＝PC+PM，
∵PC+PT≥CR，
∴PM+PC≥，
∴PM+PC的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明PM＝PT，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（2023•蜀山区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为（ ）
A．B．5C．D．9
【分析】由线段垂直平分线的判定可知：直线AP为线段BC的垂直平分线，即可判定当DP⊥AP时，PD有最小值，此时BC∥PD，再证明△AEB∽△APD，列比例式可求解PD 的最小值．
【解答】解：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，
∴直线AP为线段BC的垂直平分线，
当DP⊥AP时，PD有最小值，此时BC∥PD，
∴∠ABC＝∠D，∠AEB＝∠APD，
∴△AEB∽△APD，
∴，
∵AP垂直平分BC，BC＝6，
∴BE＝3，
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝5，
∴AD＝AB+BD＝15，
∴，
解得PD＝，
即PD的最小值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，确定P点位置是解题的关键．
26．（2023•天长市校级二模）已知△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝5，AD是∠BAC 的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC的最大值为（ ）
A．10B．12.5C．25D．15
【分析】延长AB，CD交点于E，可证△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，则S△BDC＝S△BCE，当BE⊥BC时，S△BEC最大面积为20，即S△BDC最大面积为10
【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴AC＝AE，DE＝CD；
∵AC﹣AB＝5，
∴AE﹣AB＝5，即BE＝5；
∵DE＝DC，
∴S△BDC＝S△BEC，
∵S△BEC最大时，S△BDC面积最大，
∴当BE⊥BC时，S△BDC面积最大，
即S△BDC最大面积＝××10×5＝12.5．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S△BDC＝S△BEC是解题的关键．
27．（2023•金安区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
​
A．B．C．D．
【分析】连接MP，根据矩形的判定和性质得出EF＝AP，根据当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：连接MP．
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴AM＝AP，
∵AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当AM最短时，AM＝AP＝2.4．
即AM的最小值为2.4．
故选：B．
【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质得出EF＝AP解答．
28．（2023•全椒县三模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，则点B到原点O的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】作AC的中点D，连接OD、BD、OB，求出OD与BD的长度，根据三角形三边关系可得BD+OD≥OB，即可解答．
【解答】解：如图，作AC的中点D，连接OD、BD、OB，
∵AC＝2，点D是AC的中点，∠AOC＝90°，
∴，
∵∠C＝90°，BC＝1，
∴，
结合图形，可得BD+OD≥OB，即，
故点B到原点O的最大距离是，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，作出正确的辅助线是解题的关键．
29．（2023•金安区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A．10﹣B．﹣3C．2﹣6D．3
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得CN＝＝，CM＝＝3，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值为：﹣3．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，
∴AB＝＝2，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝＝，CM＝＝3，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
30．（2023•亳州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，记AP＝x，点D到直线AP的距离DE为y，则y的最小值是（ ）
A．6B．C．5D．4
【分析】根据题意和图形可知，当点P在AB段时，y的值是定值8，当点P在BC段时，y随x的变化而变化，然后根据相似三角形的判定和性质，可以得到y和x的关系，再根据题意，可以得到x的取值范围，从而可以得到y的最小值．
【解答】解：连接AC，
当点B在AB上运动时，y的值恒为8，
当点P在BC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝8，
∴∠BAP+∠DAE＝90°，∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠DAE＝∠APB，
∵DE⊥AP，
∴∠DEA＝90°，
∴∠B＝∠DEA，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
即，
∴y＝，
∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AC＝10，
∴6＜x≤10，
∴当x＝10时，y取得最小值＝，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
31．（2023•肥西县二模）如图，在等边△ABC中，点 A、C分别在x轴、y轴上，AC＝4，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．4B．2+C．+2D．2+2
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，先根据等边三角形的性质求出BM，再根据直角三角形的性质求出OM，即可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OM，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴M是AC的中点，
∵AC＝4，
∴BC＝4，MC＝2，
根据勾股定理，得BM＝，
根据题意，得∠AOC＝90°，
∴OM＝＝2，
∴OM+MB＝2+，
∴点B到原点的最大距离是2+，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形与直角三角形的综合，涉及等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，最大值问题等，综合性较强．
32．（2023•瑶海区二模）已知，△ABC内接于⊙O，且∠BAC＝60°，，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD、BE相交于点G．则DG的长度的最大值为（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】当AD经过圆心时，AD取得最大值，DG的长度也取得最大值，此时，△ABC是等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，
∴当AD取得最大值，DG的长度也取得最大值，
∵弦BC＝4是定值，
∴当AD经过圆心时，AD取得最大值，
由垂径定理得，BD＝CD＝2，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAD＝BAC＝30°，
∵BE⊥AC，
∴，
在Rt△AGE中，AG＝，
在Rt△ACD中，AD＝＝6，
∴DG的长度的最大值为6﹣4＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
33．（2023•蚌埠模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知BC＝5，AD＝6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．4B．5C．D．2
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC，然后根据S△ABC＝•BC•AD＝•AC•BH，可得BH＝．作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，可得M′H＝M′N，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M′，
由作图可知，AD平分∠BAC，BM⊥AC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝，
∵AD＝6．
∴AC＝＝＝，
∵S△ABC＝•BC•AD＝•AC•BH，
∴5×6＝BH，
∴BH＝．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
作点H关于AD的对称点交AB于点N，连接M′N，
∴M′H＝M′N，
∴BH＝BM′+M′H＝BM′+M′N，
则BM+MN的最小值为．
故选C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
34．（2023•定远县二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝2.4，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．
35．（2023•蚌山区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（ ）
A．5B．1C．2D．3
【分析】先证明∠BPC＝90°，则利用圆周角定理可判断点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，由于PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），然后求出DP′即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的⊙O上，
连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，
∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），
即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，
在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，
∴OD＝＝5，
∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，
∴线段PD的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
36．（2023•包河区校级一模）四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在BC边上，连接AE，F为AE中点，连接BF，点G在DE上且BF＝FG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AG，可得G点在⊙F上，取AD的中点H，则DH＝AH＝2＝HG，得出G在⊙H上，进而根据两点之间线段最短，当H，G，C三点共线时，CG取得最小值，勾股定理求得HC的长，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝90°，
∵F是AE的中点，
∴，
又∵FB＝FG，
∴G点在半径为FG的⊙F上，
∴AG⊥FD，
取AD的中点H，则DH＝AH＝2＝HG，
∴G在⊙H上，
∴当H，G，C三点共线时，CG取得最小值，
最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
37．（2023•贵池区二模）如图，在等边△ABC中，点A、C分别在x轴、y轴上，AC＝6，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）
A．6B．3C．+3D．9
【分析】作BH⊥CA于H，连接OB，OH，由等边三角形的性质，锐角的正切求出BH的长，由直角三角形的性质求出OH的长，由OB≤BH+OH，即可解决问题．
【解答】解：作BH⊥CA于H，连接OB，OH，
∵△ABC是等边三角形，∠BCH＝60°，
∴CH＝AH＝AC＝×6＝3，
∵tan∠BCH＝，
∴BH＝3×tan60°＝9，
∵∠AOC＝90°，
∴OH＝AC＝3，
∵OB≤BH+OH＝9+3，
∴点B到原点的最大距离是9+3．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形、直角三角形的性质，三角形的三边关系，坐标与图形性质，关键是通过作辅助线得到OB≤BH+OH．
38．（2023•蜀山区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．2.4D．2
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．
39．（2023•庐江县模拟）如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．3
【分析】取AC中点M，连接MB，EM，BC，由勾股定理求出BC，MB的长，由直角三角形的性质求出ME的长，由ME+BE≥BM，即可解决问题．
【解答】解：取AC中点M，连接MB，EM，BC，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵MC＝AC＝×4＝2，
∴MB＝＝＝，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴ME＝AC＝2，
∵ME+BE≥BM，
∴BE≥MB﹣ME＝﹣2，
∴BE的最小值是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查求线段的最小值，关键是掌握圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．
40．（2023•庐阳区校级三模）已知正方形EFGH的边EF在△ABC的边BC上，点G、H分别在AB和AC上，BC＝6，S正方形EFGH＝4，则AB+AC的最小值为（ ）
A．B．C．D．10
【分析】过点A作AM⊥BC，根据相似三角形的判定和性质得出AM＝3，作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，根据两点之间线段最短及勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A作AM⊥BC，
∵S正方形EFGH＝4，
∴EF＝GF＝HG＝HE＝2，GH∥BC，
∴△AHG∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，
∵GF∥AM，
∴△BGF∽△BAM，
∴＝＝，
∴AM＝3，
作直线l∥BC，作点C关于直线l的对称点D，连接BD交直线l于点A，
此时AB+AC＝AB+AD＝BD取得最小值，
∴CD＝2AM＝6，
∴BD＝＝6，
∴AB+AC的最小值为6，
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
41．（2023•合肥二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB于点D，P是AB上的一个动点，以P为直角顶点向右作等腰Rt△CPE，连接DE，则DE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【分析】利用等腰直角三角形的性质求得BD的长度，得到∠PEC＝∠B＝45°，从而点P，E，B，C四点共圆；利用圆的内接四边形的性质求得∠CBE＝90°，则BE∥AC，可得点E的运动轨迹为过点B且平行于AC的直线，再利用垂线段最短的性质得到当DE⊥BE时，DE取得最小值，利用等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接BE，如图
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠ABC＝∠A＝45°，AD＝BD＝AB，AB＝AC＝4，
∴AD＝BD＝2，
∵Rt△CPE是等腰三角形，
∴∠PEC＝∠PCE＝45°，
∴∠PEC＝∠B＝45°，
∴点P，E，B，C四点共圆，
即四边形PEBC为圆的内接四边形，
∴∠CPE+∠CBE＝180°，
∵∠CPE＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴∠ACB+∠CBE＝180°，
∴AC∥BE，
∴点E的运动轨迹为过点B且平行于AC的直线，
∴当DE⊥BE时，DE取得最小值．
∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝45°，
∵DE⊥BE，
∴△DBE为等腰直角三角形，
∴DE＝DB＝＝2，
∴DE的最小值为2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆的判定与性质，平行线的判定与性质点轨迹，垂线段最短，利用已知条件找出点E的关键是解题的关键．
42．（2023•合肥二模）矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，∠DEB的角平分线EF交CD边于点F，若DM⊥EF于M点，连接AM、BM，则AM+BM的最小值是（ ）
A．B．C．D．5
【分析】作MG⊥DE，MH⊥AB，证明△MAH≌△MDG（AAS），推出MA＝MD，当D、M、B三点共线时，AM+BM有最小值，最小值是BD的长，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：作MG⊥DE，MH⊥AB，
∵EF是∠DEB的平分线，
∴MG＝MH，
∵∠DAE＝∠DME＝90°，
∴A、D、M、E四点共圆，
∴∠MAH＝∠MDG，
∴△MAH≌△MDG（AAS），
∴MA＝MD，
∴AM+BM＝DM+BM，
当D、M、B三点共线时，AM+BM有最小值，最小值是BD的长，
∴AM+BM的最小值是，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明△MAH≌△MDG是解题的关键．
43．（2023•雨山区校级一模）如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（ ）
A．2B．C．D．4
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN，
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，
∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC，
∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BE＝AE，
∴∠BED＝∠CEF，
在△BDE和△NFE中，
，
∴△BDE≌△NFE（SAS），
∴∠N＝∠CBE＝30°，
∴点F在与AN成30°的直线上运动，
∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，
∴AF'＝AN，
∴+1＝（AE+AE），
∴AE＝2，
∴AC＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键．
44．（2023•瑶海区三模）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．2B．2C．3D．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点为P，此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴P′D＝P′B，
∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故选：A．
【点评】此题主要考查轴对称﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
45．（2022•安徽三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A．6B．C．D．
【分析】连接AQ，CP，根据正方形的性质可得AD＝DC，∠ADC＝90°，根据旋转的性质可得DP＝DQ，∠QDP＝90°，从而可得∠ADQ＝∠CDP，然后可证△ADQ≌△CDP，从而利用全等三角形的性质可得AQ＝CP＝2，进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆上，最后可得当点Q在BA的延长线时，BQ的值最大，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AQ，CP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
由旋转得：
DP＝DQ，∠QDP＝90°，
∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，
∴∠ADQ＝∠CDP，
∴△ADQ≌△CDP（SAS），
∴AQ＝CP＝2，
∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆上，
∴当点Q在BA的延长线时，BQ的值最大，如图所示：
∴BQ的最大值＝AB+AQ＝4+2＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
46．（2023•明光市二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是射线AD上一个动点，点Q在BP上，且满足∠BCQ＝∠BPC，则线段CQ的最小值为（ ）​
A．B．1C．D．
【分析】根据已知证明△BCQ∽△BPC，再证出△ABQ∽△PBA，∠AQB＝90°，说明点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵∠BCQ＝∠BPC，且∠CBQ＝∠PBC，
∴△BCQ∽△BPC，
∴BQ：BC＝BC：BP，
∵AB＝BC，
∴BQ：AB＝AB：BP，
∵∠ABQ＝∠PBA，
∴△ABQ∽△PBA，
∴∠AQB＝∠BAP＝90°，
∴点Q的运动轨迹是在以AB为直径的圆上，
如图，取AB中点O，连接OC交⊙O于Q，则CQ此时最小，
∵BC＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝，
∵OQ＝1，
∴CQ＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，点圆关系取最值的应用是解题关键．
47．（2023•烈山区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径的第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．D．
【分析】过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，当GF时，EF的值最大，利用sin∠OAB＝＝，求出OM，MG，再利用勾股定理求出FM即可求解．
【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF＝2FM＝2＝2，
当GM的值最小时，EF的值最小，
根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，
∵A（6，0），B（0，8），
∴AB＝10，
∵sin∠OAB＝＝，
∴OM＝4.8，
∵CD＝6，
∴OG＝3，
∴GM＝1.8，
∴FM＝2.4，
∴EF＝4.8；
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定EF最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．
48．（2023•无为市三模）如图，点P是边长为6的等边三角形ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，且满足∠ACP＝∠CBP，D为AP的中点，过点P作PE⊥AB，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值是（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】首先利用已知条件和等边三角形的性质求出∠PCB＝120°，然后确定P在△PBC的外接圆的上，当AP⊥BC时，AF最小．最后利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】解：如图，P在△PBC的外接圆的上，
∴当AP⊥BC时，AF最小，AP同时也最小，
∵∠BPC＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC，
而∠ACP＝∠CBP，
∴∠BPC＝180°﹣∠ACB﹣∠PCB＝180°﹣（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠ACB，
又△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BPC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，A、P、O三点共线，
∵AP⊥BC，
∴∠CPO＝60°，BF＝CF，
∴∠CFO＝60°，
∵BC＝6，
∴CF＝3，
∴OF＝，OC＝OP＝2，
在等边三角形ABC中，AF＝3，
∴PF＝，
∴AP＝AF﹣PF＝2，
当AF最小时，AP最小，
此时AP＝2，
又∵D为AP的中点，PE⊥AB，
∴DE＝AP，
∴DE长的最小值为AP＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，也利用了垂径定理及其推论，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．
49．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，A（6，0）、B（0，8），点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD＝6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于E、F，则线段EF的最大值为（ ）
A．3.6B．4.8C．3D．3
【分析】过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，当GF时，EF的值最大，利用sin∠OAB＝＝，求出OM，MG，再利用勾股定理求出FM即可求解．
【解答】解：过CD的中点作EF的垂线与AB交于点M，连接GF，
∵GM⊥EF，
∴EF＝2FM＝2＝2，
当GM的值最小时，EF的值最大，
根据垂线段最短可知，当直线过O点时，EF的值最大，
∵A（6，0），B（0，8），
∴AB＝10，
∵sin∠OAB＝＝，
∴OM＝4.8，
∵CD＝6，
∴OG＝3，
∴GM＝1.8，
∴FM＝2.4，
∴EF＝4.8；
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，能够确定EF最大时的位置，利用直角三角函数求边是解题的关键．
50．（2023•六安模拟）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【分析】如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．求出JK，MK，根据PJ+PM+MK≥JK＝3，推出PN+PM≥3﹣1＝2，可得结论．
【解答】解：如图，取EF，AB的中点J，K，连接PJ，JK，MK，JK交CF于点Q，则△FJQ是等边三角形，四边形FQKA是平行四边形．
∴JQ＝JF＝1，QK＝AF＝2，
∴JK＝JQ+QK＝1+2＝3，
∵FN＝AN＝1，FJ＝JE＝1，
∴FJ＝FN，
∵∠PFJ＝∠PFN＝60°，FP＝FP，
∴△PFJ≌△PFN（SAS），
∴PN＝PJ，
∵∠AMB＝90°，AK＝KB，
∴MK＝AB＝1，
∵PJ+PM+MK≥JK＝3，
∴PN+PM≥3﹣1＝2，
∴PN+PM的最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．
51．（2023•合肥模拟）动点P在等边△ABC的边AC上，AB＝2，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠AEC＝∠ADB＝90°，CE＝BD；证明△BDF≌△CGF，则BF＝FC，利用等腰三角形的三线合一性质得到∠AFC＝90°，从而得到A，F，C，E四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当EF取最大值时，则EF等于直径AC，利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：如图，分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，
∵AD⊥PB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEC＝90°．
∵∠AED＝60°，
∴∠CED＝30°，
∵CG∥BD，
∴∠G＝∠FDB＝30°，
∴∠G＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE，
∴BD＝CG．
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
∵AB＝AC，
∴点F为BC中点，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴∠AFC+∠AEC＝180°，
∴A，F，C，E四点共圆，
∴当EF取最大值时，则EF等于直径AC，
∵EF为直径，
∴∠FAE＝∠FCE＝90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∵∠FAC＝30°，
∴∠CAE＝60°，
∴点D在AC上，
∵AD⊥PB于D，
∴P，D两点重合，
此时P为AC中点，BP⊥AC，
∴AP＝PC＝1．
∵AB＝2，
∴PB＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
52．（2023•黄山一模）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．10D．34
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2＝2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，
∵PG2+PF2＝2PN2+2FN2，
∴当PN最小时，PF2+PG2的值最小，此时点P在MN上，
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝DE＝2，
∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，
∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
53．（2023•庐阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°且AB＝10，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．判断出点P的运动轨迹，求出DK，PK，可得结论．
【解答】解：在AB的下方作等腰直角三角形AKB，使得∠AKB＝90°，AK＝BK．连接DK，PK，过点K作KT⊥DB交DB的延长线于点T．
∵点P是△ACB的内心，∠C＝90°，
∴∠PAB＝∠CAB，∠PBA＝∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴点P在以K为圆心，KA为半径的圆上运动，
∵AB＝10，AK＝BK，∠AKB＝90°，
∴AK＝BK＝KP＝5，∠ABK＝45°，
∵∠ABT＝90°，
∴∠KBT＝45°，
∴KT＝BT＝5，
∵OA＝OB＝BD＝5，
∴DT＝10，
∴DK＝＝5，
∴DP≥DK﹣PK＝5﹣5，
∴DP的最小值为5﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的内心，解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
54．（2023•怀宁县一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的⊙C半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值与最小值和为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】P为AG中点，D为AB中点，所以PD是△ABG的中位线，则DP＝BG，当BG最大时，则DP最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大或最小．
【解答】解：如图，连接BG．
因为P为AG中点，D为AB中点，
所以PD是△ABG的中位线，则DP＝BG，当BG最大时，则DP最大．
由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，BG最大．
∵C（5，3），B（9，0），
∴BC＝＝5，
∴BG的最大值为2+5＝7，BG的最小值＝5﹣2＝3，
∴DP的最大值为．DP的最小值为，
∴DP的最大值与最小值的和为5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题．
55．（2023•无为市四模）如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．+1
【分析】作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE'的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【解答】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，
∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，
在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM
＝PE'+PM
＝ME'
＝OE'﹣OM
＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
56．（2023•淮南二模）如图，在△BCP 中，BP＝2，PC＝4，现以BC为边在BC的下方作正方形ABCD并连接AP，则AP的最大值为（ ）
​
A．B．6C．D．
【分析】将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，再利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得△BCE，连接PE，
则△BPE是等腰直角三角形，AP＝CE，
∴PE＝BP＝2，
在△CPE中，CE≤PE+CP，
∴CE的最大值为2+4，
即AP的最大值为2+4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形三边关系等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
57．（2023•安徽模拟）如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（ ）
A．6B．4C．4D．6
【分析】如图，当点E运动到点E′时，在AD边上取AH＝2，证明△DAE′∽△E′AH，根据EF+ED的最小值为HF的值，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，当点E运动到点E′时，EF+ED的值最小，最小值为EF+DE'，
在AD边上取AH＝2，
∵AE′＝AE＝4，
∴＝2，
∵AD＝8，
∴＝2，
∴，
∵∠DAE′＝∠E′AH，
∴△DAE′∽△E′AH，
∴＝2，
∴E′H＝DE'，
∴EF+ED＝EF+E′D＝EF+E′H＝HF，
∴EF+ED的最小值为HF的值，
∵DH＝AD﹣AH＝6，
DF＝DC﹣CF＝6，
在Rt△DHF中，根据勾股定理，得
HF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出E'H＝DE'是解本题的关键．
58．（2023•瑶海区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝30°，AC＝6，D为AB边上一动点（不与点A重合），△AED为等边三角形，过点D作DE的垂线，F为垂线上任意一点，连接EF，G为EF的中点，连接BG，则BG的最小值是（ ）
A．2B．6C．3D．9
【分析】连接DG，AG，设AG交DE于点H，先判定AG为线段DE的垂直平分线，从而可判定△BAC≌△BAG'（AAS），然后由全等三角形的性质可得答案．
【解答】解：如图，连接DG，AG，设AG交DE于点H，
∵DE⊥DF，G为EF的中点，
∴DG＝GE，
∴点G在线段DE的垂直平分线上，
∵△AED为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∴AG为线段DE的垂直平分线，
∴AG⊥DE，∠DAG＝∠DAE＝30°，
∴点G在射线AH上，当BG⊥AH时，BG的值最小，如图所示，设点G'为垂足，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠AG'B，∠CAB＝∠BAG'，
则在△BAC和△BAG'中，
，
∴△BAC≌△BAG'（AAS）．
∴BG'＝BC，
在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，AC＝6，
∴AB＝2BC，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴（2BC）2＝BC2+（6）2，
解得：BC＝6，
∴BG'＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了含30°的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
59．（2023•太湖县校级三模）矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点M、N分别从顶点A、B同时出发，且分别沿着AD、BA运动，点N的速度是点M的2倍，点N到达顶点A时，则两点同时停止运动，连接BM、CN交于点P，过点P分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（ ）
A．B．﹣1C．D．
【分析】如图，取BC的中点O，连接OA，OP，PA．首先证明∠CPB＝90°，求出OA，OP．利用三角形的三边关系即可解决问题．
【解答】解：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，PA．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝2，
∴OB＝OC＝1，
∴OA＝＝，
∵BN＝2t，AM＝t，
∴＝＝2，
∵∠CBN＝∠BAM，
∴△CBN∽△ABM，
∴∠ABM＝∠BCN，
∵∠ABM+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠BCN＝90°，
∴∠CPB＝90°，
∵OB＝OC，
∴OP＝BC＝1，
∵PA≥OA﹣OP，
∴PA≥﹣1，
∴PA的最小值为﹣1，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝PA，
∴EF的最小值为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的三边关系，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
60．（2023•惠来县模拟）如图，△ABC，△ACD都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝4，F为AC上一动点，E为DF中点，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．4B．8C．2D．4
【分析】连接CE，利用三角形的外角的性质和直角三角形斜边上的中线的性质得出∠ECB的范围，从而得出当点F与A重合时，BE取得最小值，再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：连接CE，如图，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵△ACD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∵E为DF中点，
∴CE＝DF＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵F为AC上一动点，
∴∠EFC≥∠CAD，
∴∠EFC≥45°，
∴∠ECF≥45°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ECF≥90°．
∴当∠ECB＝90°时，BE取得最小值，
当∠ECB＝90°时，点F与A重合，此时CE＝BA＝4，
∴BE＝＝4，
∴BE的最小值是4，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，勾股定理，分析得到BE取得最小值的情形是解题的关键．