5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题11关于二次函数综合题(针对第22、23题)(真题5题模拟60题)特训（学生版+解析）

这是一份5年(2019-2023)中考1年模拟数学真题分项汇编(安徽专用)专题11关于二次函数综合题(针对第22、23题)(真题5题模拟60题)特训（学生版+解析），共157页。试卷主要包含了，对称轴为直线x＝2，是抛物线的顶点，的对称轴为直线x＝1，，连接AC，BC等内容，欢迎下载使用。
1．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．
2．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
3．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
4．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
5．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
1．（2023•安徽二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于A（﹣3，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线，交AB于点E．连接CE，求△CDE面积的最大值．
2．（2023•明光市一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润＝总租金﹣总支出）
3．（2023•六安三模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l交于A，B两点，坐标分别为A（1，2），B（5，﹣2）．
（1）求b，c的值；
（2）若将直线l沿着y轴向上平移m（m＞0）个单位，平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，求m的值；
（3）如图，若点C是位于直线AB上方抛物线上一点，过点C作直线l′∥直线l，求直线l′与直线l之间距离的最大值．
4．（2023•包河区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于C，D两点，其中点C的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A（，﹣5），B（4，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接AB，若抛物线y＝x2+bx+c向下平移k（k＞0）个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值范围．
5．（2023•安庆一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化．据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示．
（1）求该产品在六月份的单件生产成本；
（2）该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
（3）结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益＝单件售价﹣单件成本）
6．（2023•贵池区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b，c的值；
（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
7．（2023•泗县二模）已知点（0，1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求b和c的值；
（2）当时，求函数值y的取值范围，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝x2+bx+c交于点A，B，与抛物线y＝4（x+3）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
8．（2023•金安区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣3时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上的情况），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，当△ABO的面积最大时，求m的值．
9．（2023•庐阳区校级三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式；
②求矩形ABCD的面积y（m2）的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
10．（2023•肥东县模拟）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价y1与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P＝20x；乙种水果每月售价y2与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
（1）求y1与x之间的函数关系式；
（2）求y2与x之间的函数关系式；
（3）若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
11．（2023•肥西县二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
12．（2023•池州三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的解析式；
（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．
①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A′B′，若线段A′B′与抛物线有交点，直接写出点A′的横坐标x的取值范围．
13．（2023•蜀山区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于不同的两点A、B，且该抛物线的顶点E在矩形ABCD的边CD上，AD＝4．
（1）若点A坐标为（1，0）．
①求该抛物线的关系式；
②若点P（m，y1），Q（n，y2）都在此抛物线上，且﹣2≤m＜﹣1，．试比较y1与y2大小，并说明理由；
（2）求边AB的长度．
14．（2023•金安区校级三模）某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示．图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线．
（1）在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
（2）从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？
15．（2023•庐阳区校级三模）直线y1＝x+b经过点A（1，0），抛物线经过点B（2，m），其中a和b为实数．设抛物线y2＝x2﹣2ax+4a﹣6的顶点为M，过M作y轴的平行线交直线y1＝x+b于点N．
（1）求b和m的值；
（2）当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；
（3）求线段MN的最小值．
16．（2023•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx与直线l：y＝﹣ax交于点A（3，﹣3），交x轴正半轴于点B．
（1）求抛物线C1的函数表达式和点B的坐标；
（2）将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线C2，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作PQ∥y轴交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PQ的长；
②连接DP，DQ，当m为何值时，△DPQ的面积最大，并求出最大值．
​
17．（2023•全椒县二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣2，5）和（﹣6，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）向右平移m（m＞0）个单位长度得到一个新的抛物线，若新的抛物线的顶点关于原点O对称的点也在抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）上，求m的值．
18．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线y＝x2﹣2ax与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线上一点，PM∥y轴交直线于点M，求PM的最小值．
19．（2023•包河区一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）
（1）若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润wA元，wB元与x之间的函数关系式；
（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？
20．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
21．（2023•定远县一模）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△AA1B1．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
22．（2023•怀宁县一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数解析式为y1＝；栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣32x+33400（0≤x≤1000）．
（1）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，帮社区求出W的最大值；
（2）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，请求出W的最小值．
23．（2023•庐阳区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，点B，与y轴相交于点C，AO＝BO＝2，C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为CO上一点（不与C，O重合），过点P作CO的垂线，与抛物线相交于点E，点F（点E在点F的左侧），设PF＝m，PC＝d，求d与m的函数解析式．
24．（2023•蜀山区校级模拟）“春节”前10周，某品牌儿童服装的逐步进入销售旺季，这种儿童服装初始的售价为每件100元，第1周至第10周售价y（元）与周次x之间的函数关系如图1所示，每件这种儿童服装的进价z（元）与周次x的关系如图2中抛物线所示．
（1）①求出y与x之间的函数关系式；
②求出z与x之间的函数关系式；
（2）某儿童服装专卖店，每周购进这种儿童服装120件，当周销售完毕，那么第几周该专卖店销售这种儿童服装能获得最大利润？最大利润是多少？
25．（2023•蜀山区校级模拟）某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为200元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示：
（1）若甲，乙两地月销售利润分别为w1、w2元，分别求出w1与x和w2与x之间的函数关系式；
（2）若甲、乙两地每月共销售1000台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？
26．（2023•蜀山区校级模拟）已知抛物线y＝x2与直线l：y＝kx+8相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段AB下方抛物线上一动点，过点M作MG∥y轴交AB于点G．
（1）当AB∥x轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；
（2）当k＝2时， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
27．（2023•烈山区一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
28．（2023•合肥二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．
29．（2023•烈山区三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．
（1）每件商品在第50天出售时的利润是 元；
（2）直接写出图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系；
（3）若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？
30．（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度h（m）与小球抛出后经过的时间t（s）满足表达式：h＝10t﹣5t2，其图象如图1所示．
（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v（m/s），发现小球上升高度h（m）与小球抛出后水平距离x（m）满足如图2所示的抛物线，其中x＝vt，而小球上升高度h（m）与时间t（s）仍满足t．
①当v＝6m/s时，求小球上升到最高点时的水平距离x；
②在小球正前方8m处的挡板上有一空隙MN，其上沿M的高度HM为3.75m，下沿N的高度HN为3.2m，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围．
31．（2023•贵池区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）﹣3≤x≤2，求y的最大值与最小值的差；
（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．
32．（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
33．（2023•怀远县二模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
34．（2023•金安区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．
（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；
（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．
①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；
②求点P到直线BC距离的最大值．
35．（2023•定远县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
36．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过点A（4，0），交y轴于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）观察函数图象，写出不等式．﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
37．（2023•蜀山区校级模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围．
38．（2023•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
39．（2023•蜀山区校级三模）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx的图象经过A（4，4）与B（6，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）已知四边形MNPQ为平行四边形，其中M、N两点在线段OA上，P、Q两点在直线为B上方的抛物线上．
①若QM∥y轴，求线段QM的取值范围；
②若MN＝，求点P的坐标．
​
40．（2023•蜀山区一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
41．（2023•合肥模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过B（10，5）、C（0，5）两点，
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图2，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB沿OB翻折使点A落在点D处，求出点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CA和DA，其中CA与OB交于点P，试直接写出tan∠CAD的值．
42．（2023•庐江县三模）如图，抛物线经过点A（1，1），B（﹣3，﹣3），点Q是抛物线的对称轴上一点，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若﹣3≤m≤1，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
43．（2023•雨山区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2023•合肥一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+k与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于直线AB上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线AB于点D，以PQ、PD为边作矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标．
45．（2023•雨山区校级一模）已知直线y＝kx+1经过点（2，3），与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴交于点（n，）．
（1）求k，b的值；
（2）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（x1，0）（x2，0），且3≤x2﹣x1＜9，若p＝x12﹣3x22，求P的最大值；
（3）当﹣1＜x＜2时，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx+1有且只有一个公共点，直接写出c的取值范围．
46．（2023•花山区一模）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
47．（2023•安徽模拟）某重工机械公司为用户提供矿山机械设备，该设备每件的售价为18万元，每件的成本为y（万元）与月需求量x（件/月）满足关系式为常数），其中x＞0．经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12）符合关系式x＝2n2﹣26n+144，且得到了下表中的部分数据．
（1）求y与x满足的关系式，并求表中b的值；
（2）试推断是否存在某个月既无盈利也不亏损，请说明理由；
（3）设第n个月的利润为w（万元），请求出w与n的函数关系式，并求在这一年的前9个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？
48．（2023•蚌山区校级模拟）如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．
49．（2023•禹会区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，M为线段BC下方抛物线上一动点，连接AM，BM和CM，线段AM和BC交于点D．设△BCM的面积为S1，△ACM的面积为S2，且S＝S1﹣S2．当S最大时，求点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点M作y轴的平行线交x轴于点N，P是直线MN上的一点，Q是直线MN右侧抛物线上的一点，当△BPQ为等边三角形时，请直接写出点Q的坐标．
50．（2023•怀远县校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，P是第一象限内抛物线上的点，连接OP交BC于点M，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得S△PCM：S△CMO＝2：3？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，抛物线的对称轴与BC交于点D，连接OD，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
51．（2023•凤阳县二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M，且PM＝AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，AD＝2，DE＝3，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形A′D′E′F′，直线A′D′与直线E′F′分别交抛物线于点G、H，在平移过程中，是否存在以点D′、F′、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由．
​
52．（2023•定远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A（﹣2，0），C（0，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上一动点，连接CP，CP的延长线与x轴交于点Q，过点P作PE⊥y轴于点E，以PE为轴，翻折直线CP，与抛物线相交于另一点R．设P点横坐标为t，R点横坐标为s，求出s与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接RC，点G在RP上，且RG＝RC，连接CG，若∠OCG＝45°，求点Q坐标．
53．（2023•庐阳区模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
54．（2023•铜官区校级一模）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
（1）若抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），求b、c的值；
（2）当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
（3）当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为 ．
55．（2023•杜集区校级模拟）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的负半轴交于点C，D、E为直线AB上的动点，且点D一直在点E的左侧，DE＝，FE⊥AC，GD⊥AC，FG⊥OB，GD＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，当四边形DEFG与抛物线有公共点时，求点D横坐标m的取值范围；
（3）当以A，E，F为顶点的三角形为等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．
​​
56．（2023•来安县二模）如图1，一块钢板截面的一边为线段AB，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，现沿线段BC将这块钢板分成①、②两部分，以AB边所在直线为x轴，经过点C且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代表1米．已知：OA＝2米，OB＝8米，OC＝6米．
（1）求曲线ACB所在抛物线的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）如图2，在该钢板第①部分中截取一个矩形DEFG，其中D为BC的中点，E，F均在线段AB上，G在曲线AC上，求EF的长；
（3）如图3，在该钢板第②部分中截取一个△PBC，其中点P在曲线BC上，记△PBC的面积为S，求S的最大值．
57．（2023•迎江区校级三模）如图，直线y＝x﹣3与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，与抛物线对称轴交于点M，且点A，B分别在x轴，y轴上，抛物线的顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；
（2）点N是线段CM上的动点，NP⊥CM交B，C两点之间的抛物线于点P，点P的坐标为P（x，n），m＝MP2．
①求NP2（用含n的代数式表示）；
②求m与n之间的函数关系式，并求出m的最小值．
58．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
59．（2023•太和县二模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为y轴上一点，当MB+MD的值最小时，求点M的坐标；
（3）如图2，若P是第一象限内抛物线上的一个动点，求△BPC的面积的最大值．
60．（2023•安徽模拟）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
专题11 关于二次函数综合题（针对第22、23题）（真题5题模拟60题）
1．（2023•安徽）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2．
（1）求a，b的值；
（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1．过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E．
（i）当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和；
（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3），对称轴为直线x＝2，
∴，
解得：；
（2）由（1）得：y＝﹣x2+4x，
∴当x＝t时，y＝﹣t2+4t，
当x＝t+1时，y＝﹣（t+1）2+4（t+1），即y＝﹣t2+2t+3，
∴B（t，﹣t2+4t），C（t+1，﹣t2+2t+3），
设OA的解析式为y＝kx，将A（3，3）代入，得：3＝3k，
∴k＝1，
∴OA的解析式为y＝x，
∴D（t，t），E（t+1，t+1），
（i）设BD与x轴交于点M，过点A作AN⊥CE，如图，
则M（t，0），N（t+1，3），
∴S△OBD+S△ACE＝BD•OM+AN•CE＝（﹣t2+4t﹣t）•t+（﹣t2+2t+3﹣t﹣1）•（3﹣t﹣1）＝（﹣t3+3t2）+（t3﹣3t2+4）＝﹣t3+t2+t3﹣t2+2＝2；
（ii）①当2＜t＜3时，过点D作DH⊥CE于H，如图，
则H（t+1，t），BD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t，CE＝t+1﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，DH＝t+1﹣t＝1，
∴S四边形DCEB＝（BD+CE）•DH，
即＝（﹣t2+3t+t2﹣t﹣2）×1，
解得：t＝；
②当t＞3时，如图，过点D作DH⊥CE于H，
则BD＝t﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣3t，CE＝t2﹣t﹣2，
∴S四边形DBCE＝（BD+CE）•DH，
即＝（t2﹣3t+t2﹣t﹣2）×1，
解得：t1＝+1（舍去），t2＝﹣+1（舍去）；
综上所述，t的值为．
2．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤x≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤x≤．
3．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴C（1+，m），D（1﹣，m）
∴CD＝2×＝，
∴＝．
4．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【解答】解：（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1经过点B（2，3），直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），点（0，1），A（1，2），B（2，3）在直线上，点（0，1），A（1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
∵B（2，3），C（2，1）两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+px+q，其顶点坐标为（，+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴+q＝+1，
∴q＝﹣++1，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q＝﹣++1＝﹣（p﹣1）2+，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
（3）另解
∵平移抛物线y＝﹣x2+2x+1，其顶点仍在直线为y＝x+1上，
设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+h+1，
∴y＝﹣x2+2hx﹣h2+h+1，
设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c，则c＝﹣h2+h+1＝﹣（h﹣）2+
∴当h＝时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．
5．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，
∴一次函数为y＝﹣2x+4，
又∵二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是另一个交点，代入y＝﹣2x+4得：c＝4，
把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2．
（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2，
∴W＝OA2+BC2＝
∴当m＝1时，W取得最小值7．
1．（2023•安徽二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+9与x轴交于A（﹣3，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是线段AC上一点（点D与点A、C不重合），过点D作BC的平行线，交AB于点E．连接CE，求△CDE面积的最大值．
【分析】（1）将A（﹣3，0）、B（6，0）代入y＝ax2+bx+9之中得到关于a，b的方程组，然后解方程组求出a，b即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为（0，9），由此可得出：OC＝AB＝9，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据△ADF和△ACO相似得：AD：AC＝DF：OC，△ADE和△ACB相似得：AD：AC＝AE：AB，再根据OC＝AB＝9可得出DF＝AE，设点E的坐标为（t，0），△CDE的面积为S，则AE＝DF＝t+3，然后可根据S＝S△ACE﹣S△ADE得到S关于t的二次函数，最后求出这个二次函数的最大值即可．
【解答】将A（﹣3，0）、B（6，0）代入y＝ax2+bx+9得：9a﹣3b+9＝0，36a+6b+9＝0，
解得：a＝﹣1/2，b＝3/2，
∴抛物线的解析式为：．
（2）对于抛物线，当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，9），
∴OC＝9，
∵A（﹣3，0）、B（6，0），
∴OA＝3，OB＝6，
∴AB＝OA+OB＝9，
∴OC＝AB＝9，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∴DE∥OC，
∴△ADF∽△ACO，
∴AD：AC＝DF：OC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴DF：OC＝AE：AB，
∵OC＝AB＝9，
∴DF＝AE，
设点E的坐标为（t，0），△CDE的面积为S，
则AE＝t﹣（﹣3）＝t+3，
∴DF＝AE＝t+3，
，
即：，
∴当时，S为最大，
此时．
∴△CDE面积的最大值为．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最大值，相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、以及求二次函数的最大值的方法，难点是根据相似三角形的性质证明DF＝AE．
2．（2023•明光市一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润＝总租金﹣总支出）
【分析】（1）设每辆汽车的日租金为x元，根据“40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；
（2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分m≤150及m＞150两种情况考虑，当m≤150时，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当m＞150时，每天可租出辆，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆汽车的日租金为x元，
依题意得：{x≤15040x≥20×40+1800，
解得：65≤x≤150，
又∵x为10的整数倍，
∴x的最小值为70．
答：每辆汽车的日租金至少为70元；
（2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，
当m≤150时，w＝40m﹣20×40﹣1800＝40m﹣2600，
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值＝40×150﹣2600＝3400（元）；
当m＞150时，每天可租出辆，
∴
＝
＝，
∵，
∴当m＝180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵3400＜3580，
∴每辆汽车的日租金定为180元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大；这个最大利润是3580元．
答：每辆汽车的日租金定为180元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大；这个最大利润是3580元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）分m≤150及m＞150两种情况，找出w关于m的函数关系式．
3．（2023•六安三模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l交于A，B两点，坐标分别为A（1，2），B（5，﹣2）．
（1）求b，c的值；
（2）若将直线l沿着y轴向上平移m（m＞0）个单位，平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，求m的值；
（3）如图，若点C是位于直线AB上方抛物线上一点，过点C作直线l′∥直线l，求直线l′与直线l之间距离的最大值．
【分析】（1）把A（1，2），B（5，﹣2）分别代入 y＝﹣x2+bx+c 中求b，c的值；
（2）设出平移后的直线表达式y＝﹣x+3+m，与抛物线的函数表达式 y＝﹣x2+5x﹣2联立，得到的方程有两个相等的实数根，用Δ＝0求解；
（3）过点C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，过点C作CG⊥AB，垂足为G．先求CD的最大值，然后放在等腰直角三角形△DGC中求CG的最大值．
【解答】解：（1）把A（1，2），B（5，﹣2）分别代入 y＝﹣x2+bx+c 中，得
，
解得 ．
（2）设直线l的函数表达式为y＝kx+h，
把A（1，2），B（5，﹣2）分别代入y＝kx+h中，得
，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+3，
∴平移后的直线表达式为y＝﹣x+3+m，
由（1）知抛物线的函数表达式为 y＝﹣x2+5x﹣2，
∵平移后的直线与抛物线有且只有一个交点，
∴﹣x+3+m＝﹣x2+5x﹣2，即x2﹣6x+5+m＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（5+m）＝0，
∴m＝4．
（3）如图，过点C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设AB交x轴于点E，交y轴于点F，设 C（c，﹣c2+5c﹣2），D（c，﹣c+3），
∴CD＝﹣c2+5c﹣2﹣（﹣c+3）＝﹣c2+6c﹣5＝﹣（c﹣3）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当c＝3时，CD最大值＝4，
过点C作CG⊥AB，垂足为G．由直线AB的解析式可知，它与x，y轴交点的坐标分别为E（3，0），F（0，3），
∴△EOF为等腰直角三角形，且△EOF∽△DGC，
∴，
∴CG的最大值为 ，
∴直线l′与直线l之间距离的最大值为 ．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法，两个函数图象交点与方程的关系，垂线段的最值问题，对于（3），关键是把垂线段的最值转化为竖线段的最值．
4．（2023•包河区三模）已知抛物线y＝x2+bx+c交x轴于C，D两点，其中点C的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A（，﹣5），B（4，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接AB，若抛物线y＝x2+bx+c向下平移k（k＞0）个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值范围．
【分析】（1）由抛物线对称轴可得b的值，代入即可得解析式，再对称轴代入解析式即可得顶点坐标．
（2）抛物线向下平移过程中抛物线顶点落在直线AB上满足题意，分别求出抛物线经过点A、点B时k的值，可得抛物线顶点在直线AB下方时k的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝1＝，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
将点C的坐标代入，解得c＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4）．
（2）抛物线平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴平移后的顶点坐标为（1，﹣4﹣k），
①当抛物线顶点落在AB上时，﹣4﹣k＝﹣5，解得k＝1，
②当抛物线经过A时，﹣5＝﹣4﹣k，解得k＝，
当抛物线经过点B，﹣5＝32﹣4﹣k，解得k＝10，
∴时，满足题意．
综上所述，k＝1或．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
5．（2023•安庆一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化．据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示．
（1）求该产品在六月份的单件生产成本；
（2）该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
（3）结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益＝单件售价﹣单件成本）
【分析】（1）由题意，可列出式子求出六月份的单件生产成本；
（2）先求出单件成本的函数（题意）和单件售价的函数（待定系数法），从而表示出单件收益W，进而由二次函数的性质求出结果；
（3）由题意列出W＞0解出x的范围，进而得出全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损．
【解答】解析：（1）由题意知：该种产品的单件成本n与月份x之间的关系满足：n＝0.2x+b，
当x＝1时，n＝6.6，可得b＝6.4．
∴六月份的单件生产成本为：0.2×6+6.4＝7.6（元/件）；
答L该产品在六月份的单件生产成本为7.6元/件．
（2）设单件售价y与月份x之间的函数关系式为：y＝a（x﹣6）2+10，
∵x＝1时，y＝5，
∴a（1﹣6）2+10＝5，解得：．
所以单件收益，
配方得：w＝，
∴当x＝5或6时，w值最大，
答：该企业在5月份或6月份生产并销售该产品获得的单件收益最大；
（3）单件收益不亏损需满足：，
由，得（x﹣2）（x﹣9）＝0，即x＝2或x＝9，
结合图象可知：当x＝2，3，4，5，6，7，8，9时，w≥0，
即全年一共有8个月单件收益不亏损．
答：求在全年生产与销售中一共有8个月产品的单件收益不亏损．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
6．（2023•贵池区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中点A坐标为（3，0），点B坐标为（﹣1，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b，c的值；
（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c
则，
解得：．
（2）∵b＝2，c＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3x＝0，
当x＝0时，y＝3，
∴C点坐标为（0，3），又∵A（3，0），
∴△AOC等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图：
∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝×4×3﹣×[3﹣（﹣1+t）]t
＝t2﹣2t+6
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝＝3 ，AB＝4，
∴0≤t≤3．
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4．
【点评】本题考查了二次函数综合，涉及到等腰直角三角形的性质，三角形面积，用函数的思想解决问题是解本题的关键．
7．（2023•泗县二模）已知点（0，1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求b和c的值；
（2）当时，求函数值y的取值范围，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝x2+bx+c交于点A，B，与抛物线y＝4（x+3）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【分析】（1）将（0，1）代入二次函数 y＝x2+bx+c可求c，根据对称轴可求b；
（2）由，对称轴为直线 x＝1，抛物线开口向上，可知当 x＝1 时，函数有最小值，根据离对称轴越远，y值越大，可得当 时，y值最大，分别代入即可；
（3）联立可得AB，联立可得CD，求比即可．
【解答】解：（1）将（0，1）代入二次函数 y＝x2+bx+c 得：c＝1，
∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x+1，
∵，对称轴为直线 x＝1，抛物线开口向上，
∴当 x＝1 时，函数有最小值，最小值为 y＝1﹣2×1+1＝0，
∵，，，且离对称轴越远，y值越大，
∴当 时，y值最大，最大值为 ，
∴当 时，y的取值范围为：；
（3）联立得，（x﹣1）2＝m，
解得 ，，
∴，
联立得，4（x+3）2＝m，
解得 ，，
∴，
∴AB：CD＝2：1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．
8．（2023•金安区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+2m+2与x轴有两个交点．
（1）当m＝﹣3时，求抛物线与x轴交点的坐标；
（2）过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上的情况），求m的范围；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l相交于点B，当△ABO的面积最大时，求m的值．
【分析】（1）将m＝﹣3代入y＝x2﹣2mx+m2+2m+2中，令y＝0可得结论；
（2）先根据抛物线与x轴有两个交点可知Δ＞0，根据配方法可得点A的坐标，并根据已知列不等式可得结论；
（3）根据三角形面积公式并结合配方法可得结论．
【解答】解：（1）当 m＝﹣3 时，y＝x2+6x+9﹣6+2＝x2+6x+5，
当y＝0时，即 x2+6x+5＝0，
解得 x1＝﹣1x2﹣5，
∴抛物线与x轴交点的坐标为（﹣1，0）和（﹣5，0）．
（2）如图1，
∵抛物线 y＝x2﹣2xx+m2+2m+2 与x轴有两个交点，
Δ＝4m2﹣4×1×（m2+2m+2）＞0，
y＝x2﹣2mx+m2+2m+2＝（x﹣m）2+2m+2，
顶点A的坐标为（m，2m+2）．
∵过点P（0，m﹣1）作直线l⊥y轴，抛物线的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），
∴2m+2＞m﹣1，
∴m＞﹣3，
∴m的范围是：﹣3＜m＜﹣1；
（3）如图2，
∵顶点A的坐标为（m，2m+2），P（0，m﹣1）．
∴AB＝2m+2﹣（m﹣1）＝m+3，
∵△ABO的面积＝•AB•PB＝•（m+3）•（﹣m）＝﹣（m+）2+，
当m＝﹣时，△ABO的面积有最大值．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点，配方法的应用，根的判别式，最大值问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想，并结合配方法解决最大值问题．
9．（2023•庐阳区校级三模）植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式；
②求矩形ABCD的面积y（m2）的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是多少？请说明理由．
【分析】（1）①设BC的长为xm，矩矩形ABCD的面积为ym2．根据矩形的面积公式列出函数解析式；
②求出自变量取值范围，再根据函数的性质解答；
（2）设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答】解：（1）①设BC的长是x米，则AB＝（20﹣x）＝（10﹣x）米，
根据题意，得y＝（10﹣x）x＝﹣x2+10x，
∵墙长为6米，
∴0＜x≤6，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+10x（0＜x≤6）；
②y＝﹣x2+10x＝﹣（x﹣10）2+50，
∵﹣＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵0＜x≤6，
当x＝6时，y有最大值，最大值为42米2．
答：能围成的最大面积为42米2；
（2）按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，
则AB＝[20﹣n﹣（n﹣6）]＝（13﹣n）米，
根据题意得，
S＝n（13﹣n）＝﹣（n﹣）2+，
∵13﹣n＞0，
∴n＜13，
∵﹣1＜0，6＜n＜13，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为，
∵42＜．
∴按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的最大面积，最大面积是平方米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，关键是正确列出函数解析式，运用函数的性质解答．
10．（2023•肥东县模拟）某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价y1与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示．
甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式P＝20x；乙种水果每月售价y2与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为3.5元/千克，平均每月销售160千克．
（1）求y1与x之间的函数关系式；
（2）求y2与x之间的函数关系式；
（3）若水果店销售水果时需要缴纳0.2元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据总利润＝甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为 ，
把（2，12）代入解析式，则 ，
解得k＝24，
∴y1与x之间的函数关系式为 为整数）；
（2）把（2，6），（4，4）代入 ，
得，
解得 ，
∴y2与x之间的函数关系式为y2＝﹣x2+2x+4（2≤x≤5，且x为整数）；
（3）设甲乙两种水果获得的总利润为w，
则 w＝w甲+w乙＝（y甲﹣3﹣0.2）•P+（y乙﹣3.5﹣0.2）×160，
＝
＝﹣64x+480﹣80x2+320x+48
＝﹣80x2+256x+528，
对称轴为直线 ．
∵﹣80＜0，
∴当x＞1.6时，w随x的增大而减小．
∵x为整数，
∴当x＝2时，w有最大值，最大值＝﹣80×4+256×2+528＝720（元），
答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元．
【点评】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
11．（2023•肥西县二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为（﹣，﹣10）．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为（1，），正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM＝，EN＝，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令y＝﹣10得出点B的坐标为（4，﹣10）；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣＝，将．x＝代入解析式得y＝﹣，根据﹣﹣（﹣10）＝＜5，确定该运动员此次跳水失误了；
（3）根据题意得到点E（﹣，﹣10 ），M（9，﹣10），N （12，﹣10），当抛物线过点M时，y＝a（x﹣）2﹣14，分情况求出α值，进而根据点D在MN之间得出≤a≤．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a0（x﹣1）2+，
把（0，0）代入解析式得：a0＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+；
令y＝﹣10，则﹣10＝﹣（x﹣1）2+，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
∴入水处B点的坐标为（4，﹣10）；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为5﹣＝，
将．x＝代入解析式得y＝﹣×（﹣1）2+＝﹣，
∵﹣﹣（﹣10）＝＜5，
∴该运动员此次跳水失误了；
（3）∵EM＝，EN＝，点E的坐标为（﹣，﹣10），
∴点M，N的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10），
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴当抛物线过点M时，y＝a（x﹣）2﹣14，
把M（9，﹣10）代入，得a＝，
同理，当抛物线过点N（12，﹣10）时，a＝，
由点D在MN之间得a的取值范围为≤a≤．
【点评】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
12．（2023•池州三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的解析式；
（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．
①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A′B′，若线段A′B′与抛物线有交点，直接写出点A′的横坐标x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用分类讨论的方法分m＝0和n＝0两种情形讨论解答：分别求得抛物线对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数性质，数形结合的思想方法解答即可；
②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A′的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵m＝4，n＝﹣12，
∴点（2，4）和点（6，﹣12）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）①∵mn＝0，
∴m＝0或n＝0．
当m＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴A（1，y1）为抛物线的顶点，
∴y1为函数的最大值且大于0，
∵点（2，0）在x轴上，
∴点B（4，y2）在x轴的下方，
∴y2＜0，
∴y1，y2，0的大小关系为：y1＞0＞y2；
当n＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（6，0），
∴抛物线的对称轴为，
∴当x＜3时，y随x增大而增大，
由抛物线性质可知：（2，y2）在抛物线上，
∵0＜1＜2，
∴0＜y1＜y2，
综上，当m＝0时，y1＞0＞y2，当n＝0时，0＜y1＜y2，
②点A′的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，．理由：
由①可知：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的对称轴为x＝1，此时向右平移到相切时是最大值，
把x＝2，y＝0代入可得：b＝﹣2a，则A（1，﹣a），B（4，8a），
抛物线解析式可简化为y＝ax2﹣2ax，经过A，B的直线解析式为y＝3ax﹣4a，
设平移后解析式为y＝3a（x﹣k）﹣4a，
∵直线与抛物线相切时得：
ax2﹣2ax＝3a（x﹣k）﹣4a，
整理得：x2﹣5x+3k+4＝0，令Δ＝0，
则25﹣4（3k+4）＝0，
解得：k＝，
所以最大值为，
即m＝0时，A′的横坐标x的取值范围为：．
由①可知：当n＝0时，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的对称轴为x＝3，
∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标为A'（5，y1），B'（2，y2），
∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A′B′与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，
∴A′的横坐标x的最小值为1﹣2＝﹣1，
∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A′B′与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，
∴A′的横坐标x的最大值为1+4＝5，
即n＝0时，A′的横坐标x的取值范围为：﹣1＜x＜5．
综上，点A′的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，．
【点评】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题关键．
13．（2023•蜀山区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于不同的两点A、B，且该抛物线的顶点E在矩形ABCD的边CD上，AD＝4．
（1）若点A坐标为（1，0）．
①求该抛物线的关系式；
②若点P（m，y1），Q（n，y2）都在此抛物线上，且﹣2≤m＜﹣1，．试比较y1与y2大小，并说明理由；
（2）求边AB的长度．
【分析】（1）①根据题意得出，b+c＝1，联立两个方程求解即可确定函数解析式；②先求出抛物线的对称轴，然后确定两点与对称轴的距离，再由二次函数的单调性求解即可；
（2）根据题意得出b2+4c＝16，再由求根公式得出，，即可求解．
【解答】解：（1）①∵AD＝4，抛物线的顶点E在矩形ABCD的边CD上，
∴顶点的纵坐标为：①；
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），
∴﹣1+b+c＝0，即b+c＝1②，
将②代入①解得：c＝﹣5（舍去）或c＝3，
∴b＝﹣2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
②由①得抛物线的对称轴为：，
∵点P（m，y1），Q（n，y2）都在此抛物线上，且﹣2≤m＜﹣1，．
∴点P到对称轴的距离为|m+1|≤1，点Q到对称轴的距离为|n+1|＞1，
∵a＝﹣1＜0，
∴距离对称轴越远，函数值越小，
∴y1＞y2；
（2）∵AD＝4，
∴，
∵a＝﹣1，
∴b2+4c＝16，
当y＝0时，0＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查二次函数及矩形的性质，待定系数法确定函数解析式及求根的公式法，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
14．（2023•金安区校级三模）某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示．图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线．
（1）在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？
（2）从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，用销售价格减去成本价格即可得出利润，即可求出答案；
（2）先分别求出线段和抛物线的解析式，即可得到利润的解析式，根据解析式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：
3月份的单件利润为：6﹣1＝5 （元），
6月份的单件利润为：8﹣4＝4（元），
∴在3月份和6月份出售这种商品，3月商品的单件利润更大；
（2）设线段的解析式为y1＝kt+b（k≠0），代入（3，6），（6，8），得：
，
解得：，
∴线段的解析式为y1＝t+4（3≤t≤8），
由图可知：抛物线的顶点坐标为（6，4），
设抛物线的解析式为y2＝a（t﹣6）2+4，代入（3，1）得：
a×（3﹣6）2+4＝1，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y2＝﹣（t﹣6）2+4（3≤t≤8），
设单件利润为w元，
由题意可得：w＝x+4﹣[﹣（t﹣6）2]＝t2﹣t+12＝（t﹣5）2+，
∴抛物线的对称轴为x＝5，
∵|8﹣5|＞|3﹣5|，
∴当x＝8时，w有最大值，最大值为×（8﹣5）2+＝，
∴从3月份到8月份，8月商品的单件利润最大，最大利润是元．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是列出函数解析式．
15．（2023•庐阳区校级三模）直线y1＝x+b经过点A（1，0），抛物线经过点B（2，m），其中a和b为实数．设抛物线y2＝x2﹣2ax+4a﹣6的顶点为M，过M作y轴的平行线交直线y1＝x+b于点N．
（1）求b和m的值；
（2）当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；
（3）求线段MN的最小值．
【分析】（1）直接用待定系数法即可求解．
（2）先求出顶点M的坐标，求出纵坐标最大值时a的值，然后代入点N和点M的坐标即可求出MN．
（3）用含a的式子表示出点N和点M的坐标，再求出MN的表达式，建立二次函数模型，求出最小值即可．
【解答】解：（1）把点A代入y1得1+b＝0，解得b＝﹣1．
把点B代入y2得m＝﹣2．
∴b＝﹣1，m＝﹣2．
（2）M是y2的顶点，利用顶点公式可得M的坐标为（a，﹣a2+4a﹣6），
当a＝2时，纵坐标有最大值是﹣10，
此时M的坐标为（2，﹣10），N的坐标为（2，1），
∴MN＝1﹣（﹣10）＝11．
（3）点M的坐标为（a，﹣a2+4a﹣6），点N的坐标为（a，a﹣1），
∴MN＝a﹣1﹣（﹣a2+4a﹣6）＝a2﹣3a+5＝（a﹣）2+，
∴当a＝时，MN有最小值是．
【点评】本题是二次函数综合应用问题，熟练用待定系数法、顶点坐标公式、建立函数模型是解题的关键．
16．（2023•安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx与直线l：y＝﹣ax交于点A（3，﹣3），交x轴正半轴于点B．
（1）求抛物线C1的函数表达式和点B的坐标；
（2）将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线C2，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作PQ∥y轴交抛物线于点Q，设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PQ的长；
②连接DP，DQ，当m为何值时，△DPQ的面积最大，并求出最大值．
​
【分析】（1）先根据点A的坐标求出a的值，再把a的值和点A的坐标代入二次函数中即可求出b的值，然后由二次函数的解析式可以求点B．
（2）①先根据平移的性质求出C2的解析式，设点P的横坐标为m，表示出点P、点Q的坐标，再让这两点的纵坐标相减即可表示出PQ的长．
②先由C2的解析式和直线AB的解析式求出点D的坐标，再以PQ为底，点D到PQ的距离为高表示出△PQD的面积，建立关于m的函数模型，求出函数的最大值就是三角形面积的最大值．
【解答】解：（1）把点A代入y＝﹣ax中解得a＝1，
把a＝1和点A的坐标代入二尺函数中解得b＝﹣4，
∴C1的解析式为：y＝x2﹣4x，点B的坐标为（4，0）；
（2）①C1的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
根据平移的性质可得C2的解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2﹣4﹣3＝（x﹣5）2﹣7＝x2﹣10x+18，
点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，m2﹣4m），点Q的坐标为（m，m2﹣10m+18），
∴PQ＝（m2﹣4m）﹣（m2﹣10m+18）＝6m﹣18；
②由C2的解析式和直线AB的解析式求出点D的坐标为（6，﹣6），
点D到直线PQ的距离为（6﹣m），
∴＝，
∵3≤m≤4，
∴m＝4时，S有最大值为6．
∴三角形面积的最大值为：6．
【点评】本题是二次函数的综合性问题，主要考查二次函数的性质，建立函数模型是解题的关键．
17．（2023•全椒县二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣2，5）和（﹣6，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）向右平移m（m＞0）个单位长度得到一个新的抛物线，若新的抛物线的顶点关于原点O对称的点也在抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）上，求m的值．
【分析】（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣2，5）和（﹣6，﹣3），用代入法求解即可；
（2）将y＝﹣x2﹣6x﹣3变为顶点式得到y＝﹣（x+3﹣m）2+6，其顶点坐标为（﹣3+m，6），得到顶结合点（3﹣m，﹣6）在抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣3上建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣2，5）和（﹣6，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，
∴y＝﹣x2﹣6x﹣3向右平移m个单位长度得到：
y＝﹣（x+3﹣m）2+6，
其顶点坐标为（﹣3+m，6），
∵点（﹣3+m，6）关于原点O对称的点的坐标为（3﹣m，﹣6），
∵点（3﹣m，﹣6）在抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣3上，
∴﹣6＝﹣（3﹣m）2﹣6（3﹣m）﹣3，
整理得：m2﹣12m+24＝0，
解得：，
∵m＞0，
∴，．
【点评】本题考查了代入法求抛物线解析式，图象的平移，点关于原点对称以及图象上点的特点；熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线y＝x2﹣2ax与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线上一点，PM∥y轴交直线于点M，求PM的最小值．
【分析】（1）令y＝0，解方程求出A，B坐标，根据B在x轴正半轴得出2a＝4，然后求出a的值；
（2）根据（1）解析式求出顶点坐标，然后由三角形的面积公式求出面积；
（3）设P（m，m2﹣4m），则M（m，﹣m﹣4），则PM＝m2﹣4m﹣（﹣m﹣4）＝（m﹣）2+，然后由二次函数的性质求出最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2ax＝0，
解得x1＝0，x2＝2a，
∴A（0，0），B（0，2a），
∵点B在x轴正半轴，
∴a＞0，
∴2a＝4，
解得a＝2；
（2）由（1）知，y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴C（2，﹣4），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝×4×4＝8；
（3）设P（m，m2﹣4m），则M（m，﹣m﹣4），如图所示：
则PM＝m2﹣4m﹣（﹣m﹣4）＝m2﹣m+4＝（m﹣）2+，
∵1＞0，
∴当m＝时，PM有最小值．
∴PM的最小值为．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
19．（2023•包河区一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）
（1）若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润wA元，wB元与x之间的函数关系式；
（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？
【分析】（1）根据每份A或B的利润×销售量＝每天销售的A套餐或B套餐的利润列出函数解析式即可；
（2）根据每天的总利润＝A，B套餐的利润之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）根据题意得：wA＝（8+x）×（90﹣4x）＝﹣4x2+58x+720；
wB＝（10+x）（70﹣2x）＝﹣2x2+50x+700；
∴销售套餐A总利润wA元与x之间的函数关系式为wA＝﹣4x2+58x+720；销售套餐B总利润wB元与x之间的函数关系式为wB＝﹣2x2+50x+700；
（2）设每份套餐A提高x元，每份套餐B提高（10﹣x）元，两种套餐每天利润之和为w元，
根据题意得：w＝wA+wB
＝﹣4x2+58x+720﹣2（10﹣x）2+50（10﹣x）+700
＝﹣4x2+58x+720﹣200+40x﹣2x2+500﹣50x+700
＝﹣6x2+48x+1720
＝﹣6（x﹣4）2+1816，
∵﹣6＜0，
∴当x＝4时，w有最大值，最大值为1816，
答：套餐A提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
20．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式的性质求出y的取值范围；
（3）设毛利润为w元，根据毛利润＝销售额﹣购进成本列出函数解析式，利用函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝6，y＝20；x＝8，y＝18代入解析式，
则，
解得，
∴这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝﹣x+26；
（2）当x＝6时，y＝﹣6+26＝20，
当x＝12时，y＝﹣12+26＝14，
∵在y＝﹣x+26中，﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴14≤y≤20，
∴这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围时，这种水果日销售量的范围为14千克～20千克；
（3）设毛利润为w元，
根据题意得：w＝x（﹣x+26）﹣4（﹣x+26）＝﹣x2+30x﹣104＝﹣（x﹣15）2+121，
∵这种水果在日销售量不超过10千克，
∴﹣x+26≤10，
解得x≥16，
∵﹣1＜0，
∴当x＞15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝16时，y有最大值，最大值为120元，
答：最大毛利润为120元．
【点评】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，关键是求出函数解析式．
21．（2023•定远县一模）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝2个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度后得△AA1B1．
（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
【分析】（1）先设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，再将B1点坐标代入抛物线的解析式即可得出答案；
（2）令x＝0即可求出D点坐标，再求出直线OB解析式，再求直线OB和抛物线的交点即可．
【解答】解：（1）∵OA＝2，
∴A（2，0），
∵OA1＝4，A1B1＝2，
∴B1（4，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，
把点B1（4，2）代入，得4a＝2，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2；
（2）令x＝0，得y＝×4＝2，
∴D（0，2），
设直线OB解析式为y＝kx，
把点B（2，2）代入，得到2k＝2，
解得k＝1，
∴直线OB解析式为y＝x，
联立直线和抛物线的解析式，得，
解得，
根据点C的位置，取，
∴．
【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
22．（2023•怀宁县一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数解析式为y1＝；栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣32x+33400（0≤x≤1000）．
（1）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，帮社区求出W的最大值；
（2）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，请求出W的最小值．
【分析】（1）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用＝种草所需总费用+种花所需总费用”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得答案；
（2）先根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，求出x的取值范围，然后根据函数解析式以及函数的性质求最值．
【解答】解：（1）①当0≤x＜600时，
W＝40x+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2+8x+33400＝﹣0.01（x﹣400）2+35000，
∵﹣0.01＜0，
∴当x＝400时，W最大值，最大值为35000；
②当600≤x≤1000时，
W＝30x+3200+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2﹣2x+36600＝﹣0.01（x+100）2+36700，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x＝600时，W最大，最大值为31800，
∵31800＜35000，
∴W的最大值为35000元；
（2）由题意，得 1000﹣x≥200，
解得x≤800，
又∵x≥700，
∴700≤x≤800，
此时W＝﹣0.01x2﹣2x+36600，
∴当700≤x≤800时，W随x的增大而减小，
∴当x＝800时，W取得最小值，最小值为28600元．
答：W的最小值28600元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．
23．（2023•庐阳区一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A，点B，与y轴相交于点C，AO＝BO＝2，C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为CO上一点（不与C，O重合），过点P作CO的垂线，与抛物线相交于点E，点F（点E在点F的左侧），设PF＝m，PC＝d，求d与m的函数解析式．
【分析】（1）由AO＝BO＝2，可得出点A，B的坐标，将A，B，C代入抛物线的解析式，解之即可；
（2）由点F在抛物线上，可得点F的坐标，进而可得出点P的坐标，由线段的和差可得结论．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），
将A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣4）代入抛物线y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4；
（2）∵点F的横坐标为m，且点F在抛物线y＝x2﹣4上，
∴F（m，m2﹣4），
∴P（0，m2﹣4），
∵C（0，﹣4），
∴PC＝m2﹣4﹣（﹣4）＝m2（0＜m＜2），
∴d与m的函数解析式d＝m2（0＜m＜2）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，关键是求出函数解析式．
24．（2023•蜀山区校级模拟）“春节”前10周，某品牌儿童服装的逐步进入销售旺季，这种儿童服装初始的售价为每件100元，第1周至第10周售价y（元）与周次x之间的函数关系如图1所示，每件这种儿童服装的进价z（元）与周次x的关系如图2中抛物线所示．
（1）①求出y与x之间的函数关系式；
②求出z与x之间的函数关系式；
（2）某儿童服装专卖店，每周购进这种儿童服装120件，当周销售完毕，那么第几周该专卖店销售这种儿童服装能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）①、②用待定系数法即可求解；
（2）由w＝120（y﹣z），再分0＜x≤5、5＜x≤10两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）①对于图1，当0＜x≤5时，设该段函数的表达式为：y＝kx+100，
将点（5，150）代入上式得：150＝5k+100，则k＝10，
则该函数的表达式为：y＝10x+100，
则y＝；
②将点（0，60）代入抛物线表达式得：60＝a（0﹣6）2+120，
解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：z＝﹣（x﹣6）2+120，
即z＝﹣（x﹣6）2+120＝﹣x2+20x+60；
（2）设每周的利润为w，
则w＝120（y﹣z），
当0＜x≤5时，
w＝120（10x+100+x2﹣20x﹣60）
＝120（x2﹣10x+40），
x＝5时，w最大，
故当x＝5（周）时，w最大，w最大值为3800（元）；
当5＜x≤10时，
w＝120（150+x2﹣20x﹣60）
＝120（x2﹣20x+90），
该函数的对称轴为x＝6，
故当x＝6（周）时，w最大，w最大值为3600（元）；
∵3600＜3800，
故第5周时，w最大，w最大值为3800元．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出利润的解析式是关键．
25．（2023•蜀山区校级模拟）某公司在甲、乙两地同时销售一种新开发的“智慧星”机器人用于辅导学生学习．这种机器人的生产成本为200元/台．甲、乙两地销售的价格、销售量和广告、管理等各种费用如表所示：
（1）若甲，乙两地月销售利润分别为w1、w2元，分别求出w1与x和w2与x之间的函数关系式；
（2）若甲、乙两地每月共销售1000台，怎样安排甲、乙两地的销售量，可得最大利润？
【分析】（1）根据“月销售利润＝月销售总价﹣月广告、管理等各种费用﹣成本”分别表示w1、w2即可；
（2）设乙地销售m台，总利润为w元，可表示出w与m的函数关系式，根据二次函数的性质即可确定获得最大利润时的分配方案．
【解答】解：（1）根据题意得，w1＝500x﹣（100x+10000）﹣200x＝200x﹣10000，
w2＝（1200﹣x）x﹣50000﹣200x＝﹣x2+1000x﹣50000，
∴w1＝200x﹣10000，w2＝﹣x2+1000x﹣50000；
（2）设乙地销售m台，总利润为w元，
根据题意得：w＝200（1000﹣m）﹣10000+（﹣m2+1000m﹣50000）＝﹣（m﹣400）2+300000，
∵﹣1＜0，
∴当m＝400时，w取得最大值，
1000﹣400＝600（台），
∴甲地销售600台，乙地销售400台，可得最大利润．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意表示出函数关系式是解题的关键．
26．（2023•蜀山区校级模拟）已知抛物线y＝x2与直线l：y＝kx+8相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段AB下方抛物线上一动点，过点M作MG∥y轴交AB于点G．
（1）当AB∥x轴时，①求点A、B的坐标；②求的值；
（2）当k＝2时， 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）①利用AB∥x轴，则y＝8，将y＝8代入抛物线的解析式求得x值，则点A，B的横坐标可求，纵坐标为8，结论可得；
②设M（m，m2），分别用A，B，M，G的坐标表示出线段MG，GA，GB，代入运算即可得出结论；
（2）将两解析式联立求得A，B的坐标，设M（m，m2），则G（m，2m+8），分别用A，B，M，G的坐标表示出线段MG，GA，GB，代入运算即可得出结论．
【解答】解：（1）①当AB∥x轴时，k＝0，
∴y＝8，
∴x2＝8，
∴x＝±2，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，8），B（2，8）；
②∵点M为线段AB下方抛物线上一动点，
∴设M（m，m2），
∵MG∥y轴交AB于点G，
∴G（m，8）．
∴MG＝8﹣m2，GA＝m﹣（﹣2）＝m+2，GB＝2﹣m，
∴AG•GB＝（2+m）（2﹣m）＝8﹣m2，
∴＝＝1；
（2）当k＝2时， 的值为定值，这个定值为．理由：
∵k＝2，
∴直线l：y＝2x+8，
∴，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣2，4），B（4，16）．
设M（m，m2），
∵点M为线段AB下方抛物线上一动点，
∴﹣2＜m＜4．
∴m+2＞0，4﹣m＞0．
∵MG∥y轴交AB于点G，
∴G（m，2m+8）．
∴MG＝（2m+8）﹣m2＝﹣m2+2m+8，
GA＝＝（m+2），GB＝＝（4﹣m），
∴GA•GB＝（m+2）•（4﹣m）＝5（﹣m2+2m+8），
∴＝＝．
∴当k＝2时， 的值为定值，这个定值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
27．（2023•烈山区一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ 30 m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入（12，4.8）可求出参数，由此可解答；
（3）①根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可；
②根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可．
【解答】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，
抛物线关于s＝15对称，
∵当s＝0时，h＝0，
∴s＝30时，h＝0，
故答案为：30．
（2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5，
把（12，4.8）代入上述解析式，
∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a＝﹣，
∴h＝﹣（s﹣15）2+5＝﹣s2+s．
（3）①不成功，理由如下：
若守门员选择面对足球后退，设ts时，足球位于守门员正上方，
则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t），
解得t＝1.6，
∴s＝15×1.6＝24m，
∴h＝﹣（24﹣15）2+5＝3.2m，
∵3.2＞2.5，
∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方，
则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t＝s，
∴s＝15•＝m，
代入上述解析式可得，h＝﹣•（）2+•＝1.8，
解得v＝或v＝85．
∴此过程守门员的最小速度为m/s．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
28．（2023•合肥二模）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣20）2+k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2米，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米、垂直距离为6米．
（1）若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，
①求抛物线的解析式；
②试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括端点B、C），求a的取值范围．
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）把（0，0），B（28，6）和（0，0），C（30，0）分别代入y＝a（x﹣20）2+k求出a即可．
【解答】解：（1）①设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，
把（0，0）代入解析式得：400a+10＝0，
解得：a＝﹣，
∴解析式为：y＝﹣（x﹣20）2+10，即y＝﹣x2+x（0≤x≤40）；
②石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝﹣x2+x得：
y＝﹣×900+30＝7.5，
∵7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
（3）由题可知B（28，6），抛物线y＝a（x﹣20）2+k，
∴把（0，0），（28，6）代入得：，
解得a＝﹣；
把C（30，6），（0，0）代入解析式，
解得a＝﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．（2023•烈山区三模）某公司根据往年市场行情得知，某种商品，从5月1日起的300天内，该商品市场售价与上市时间的关系用图1的折线表示；商品的成本与时间的关系用图2的一部分抛物线表示．
（1）每件商品在第50天出售时的利润是 100 元；
（2）直接写出图1表示的商品售价y（元）与时间t（天）之间的函数关系；
（3）若该公司从销售第1天至第200天的某一天内共售出此种商品2000件，请你计算最多可获利多少元？
【分析】（1）当0＜t≤200时，设y与t的函数关系式为p＝kt+b，图中已知点坐标代入求得y与t的关系式，然后将t＝50求得y的值，然后依据利润＝售价﹣成本求解即可；
（2）当200＜t≤300时，设y与t的函数关系式为y＝mt+n，图中已知点坐标代入求得y与t的关系式，然后结合（1）中的关系式可得到y与t的关系式；
（3）抛物线的顶点坐标为（150，100），设商品的成本Q与时间t的关系式为Q＝a（t﹣150）2+100，然后可求得Q的解析式，然后由利润＝y﹣Q得到利润与t的函数关系式，最后，依据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当0＜t≤200时，设y与t的函数关系式为y＝kt+b，
把（0，300）和（200，100）代入得：，
解得：，
∴y＝﹣t+300，
当t＝50时，y＝﹣50+300＝250，
250﹣150＝100（元），
故答案为：100；
（2）当200＜t≤300时，设y与t的函数关系式为y＝mt+n，
将（200，100）和（300，300）代入得：，
解得：，
∴y与t的关系式为y＝2t﹣300．
综上所述，y与t之间的函数关系式为：；
（3）设商品的成本Q与时间t的关系为Q＝a（t﹣150）2+100，
把点（50，150）代入得，
∴，
当1≤t≤200时，利润＝﹣t+300﹣（t﹣150）2﹣100＝﹣（t﹣50）2+100，
∴当t＝50时，最大利润＝100×2000＝200000（元），
答：从开始销售的第50天出售此种商品可获得最大利润20万元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
30．（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度h（m）与小球抛出后经过的时间t（s）满足表达式：h＝10t﹣5t2，其图象如图1所示．
（1）求小球上升的最大高度；
（2）若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v（m/s），发现小球上升高度h（m）与小球抛出后水平距离x（m）满足如图2所示的抛物线，其中x＝vt，而小球上升高度h（m）与时间t（s）仍满足t．
①当v＝6m/s时，求小球上升到最高点时的水平距离x；
②在小球正前方8m处的挡板上有一空隙MN，其上沿M的高度HM为3.75m，下沿N的高度HN为3.2m，若小球下落过程恰好从空隙中穿过（不包括恰好击中点M，N，挡板厚度不计），请求出此时v的取值范围．
【分析】（1）把h＝10t﹣5t2化为顶点式，即可得出结论；
（2）①根据x＝vt，以及（1）的结论可得出x的值；
②先求出M，N的坐标，再分别求出小球刚好到M，N点时t的值，再求出对应的v的值，即可得出v的范围．
【解答】解：（1）h＝10t﹣5t2＝﹣5（t2﹣2t+1﹣1）＝﹣5（t﹣1）2+5，
∵﹣5＜0，
∴当t＝1时，h有最大值，最大值为5，
答：小球上升的最大高度为5m；
（2）①∵x＝vt，且当t＝1时，小球上到最高点，
∴当v＝6时，x＝6×1＝6，
∴当v＝6m/s时，小球上升到最高点时的水平距离x＝6；
②根据题意知，M（8，3.75），N（8，3.2），
当小球刚好击中M点时，﹣5t2+10t＝3.75，
解得t＝1.5或t＝0.5，
∵t＞1，
∴t＝1.5，
此时v＝＝＝，
当小球刚好击中Q点时，﹣5t2+10t＝3.2，
解得t＝或t＝，
∵t＞1，
∴t＝，
此时v＝＝＝5，
∴v的取值范围为：5＜v＜．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
31．（2023•贵池区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）﹣3≤x≤2，求y的最大值与最小值的差；
（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．
【分析】（1）直接将点代入函数求解即可；
（2）先求出函数对称轴，判断函数的增减性，然后计算出最大值和最小值后直接求差即可；
（3）求出一次函数的定点坐标，推出y1＝0，然后可直接求出二次函数的最小值即为所求最小值．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0），
∴a+2a﹣3＝0，
∴a＝1；
（2）由（1）可知，二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3，
对称轴为，
∴x＝1时，ymin＝1﹣2﹣3＝﹣4，
∵﹣3≤x≤2，
∴x＝﹣3时，ymax＝9+6﹣3＝12，
∴最大值与最小值差为12﹣（﹣4）＝16．
（3）∵y＝（k+1）x+k+1＝（k+1）（x+1），
∴直线数y＝（k+1）x+k+1经过定点A（﹣1，0），
∵x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
∴一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝0的图象的一个交点为
A（﹣1，0），
∵x1＜0＜x2，
∴x1＝﹣1，y1＝0，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴w＝y1+y2的最小值为﹣4．
【点评】此题考查二次函数，解题关键是根据二次函数的增减性求出自变量取值范围内的函数最大值与最小值，难点是含有一个未知数的一次函数会过定点．
32．（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（2）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（2）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
33．（2023•怀远县二模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%，求出x的取值范围；根据总利润＝每件利润×销售量列出函数解析式；
（2）根据（1）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值．
【解答】解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
当x＝45时，每天的销售量为350﹣50×＝250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
根据题意得，w＝（350﹣×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为
w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
34．（2023•金安区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，P为抛物线上一个动点（不与B、C重合）．
（1）求抛物线解析式及直线l的表达式；
（2）如图，当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，设点P的横坐标为n．
①求线段PE的长（用含n的代数式表示）；
②求点P到直线BC距离的最大值．
【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，即可求出a，b的值；令x＝0可得出点C的坐标，进而可求出直线l的表达式；
（2）①根据抛物线的解析式可表达点P的坐标，又PE∥x轴及（1）中l的解析式，由此可得点E的坐标，进而可得PE的长；
②过点P作PF⊥BC于F，由此△PEF∽△CBO，则PF＝PE，根据二次函数的性质可求出PE的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣，0），B（3，0），
∴抛物线的解析式可表达为：y＝a（x+）（x﹣3）＝ax2﹣2ax+9a，
∴﹣9a＝3，解得a＝﹣，
∴b＝﹣2a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3．
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
设直线l的解析式为：y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）①∵点P在抛物线y＝﹣x2+x+3上，
∴P（n，﹣n2+n+3），
∵PE∥x轴，
∴点E和点P的纵坐标相同，
又∵点E在直线l上，
∴﹣n2+n+3＝﹣x+3，
解得x＝n2﹣2n，
∴E（n2﹣2n，﹣n2+n+3），
∴PE＝n﹣（n2﹣2n）＝﹣n2+3n．
②如图，过点P作PF⊥BC于F，
∴∠PFE＝∠COB＝90°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠CBO，
∴△PEF∽△CBO，
∴PE：PF＝BC：OC，
∵OC＝3，OB＝3，
∴BC＝6，
∴PE：PF＝BC：OC＝2：1，
∴PF＝PE＝（﹣n2+3n）＝﹣（n﹣）2+．
∵﹣＜0，
∴当n＝时，PF的最大值为，即点P到BC的最大值为．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
35．（2023•定远县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求得函数解析式，将两个函数解析式联立即可求得点B坐标；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），利用m的代数式表示出PC，求得当PC长最大时的m，再利用DE∥PC得出比例式即可求解．
【解答】解：（1）将A点坐标（1，0）代入y＝x+b得：
+b＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+c，
将A点坐标（1，0）代入得：
﹣1﹣+c＝0，
∴c＝，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+；
由，
解得：或，
∴B（﹣2，﹣）；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），
∴PC＝（﹣）﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+2＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PC取得最大值，此时P（﹣，）．
设PC与x轴交于点F，则F（﹣，0），如图，
∴OF＝，
∵A点坐标（1，0），
∴OA＝1，
∴AF＝OA+OF＝，
∵PC∥DE，
∴，
∴，
∴DE＝．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
36．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过点A（4，0），交y轴于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）观察函数图象，写出不等式．﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再联立抛物线解析式和直线解析式，解方程组，求出点C坐标，再结合图象求出﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）根据直线AB的解析式，设出M点坐标和N的坐标，再表示出MN，然后根据MN＝2解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵一次函数y＝kx+b经过点A（4，0）和点B（0，4），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4，
联立方程组，
解方程组得：或，
∴点C坐标为（1，3），
∴﹣x2+bx+c≤kx+b的解集为x≤1或x≥4；
（3）∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1＝，t2＝（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）．
【点评】主要考查了二次函数与不等式（组），二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，正确画图，并运用分类讨论的思想是解本题的关键．
37．（2023•蜀山区校级模拟）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围．
【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣0.1，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣0.1（x﹣2）2+1.6，解得，
∵x＞0，
∴，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.2＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
38．（2023•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，﹣1≤x≤3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．
①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；
②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）由当y≥0时，﹣1≤x≤3，可知x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，代入方程可得a，c，从而得解；
（2）①把x＝2代入抛物线解析式可得D点坐标，再将x＝0代入抛物线解析式可得C点坐标，从而得知线段CD∥x轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），用待定系数法求出直线AD与直线BD的解析式，再令x＝1得yM，yN，从而得出ME，NE的长，从而得到NE+ME是定值8．
【解答】解：（1）∵当y≥0时，﹣1≤x≤3，
∴x1＝﹣1，x2＝3是ax2+2x+c＝0的两根，A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）①把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得：y＝3，
∴D（2，3）．
又当x＝0，y＝3，
∴C（0，3），
∴线段CD∥x轴．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），；
②设D（m，﹣m2+2m+3）（1＜m＜3），
直线AD：y＝k1x+b1，BD：y＝k2x+b2，
因此可得：或，
解得：或，
∴直线AD：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），BD：y＝﹣（m+1）x+3（m+1）．
令x＝1得yM＝6﹣2m，yN＝2m+2，
∴ME＝6﹣2m，NE＝2m+2，
∴NE+ME＝8．
【点评】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
39．（2023•蜀山区校级三模）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx的图象经过A（4，4）与B（6，0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）已知四边形MNPQ为平行四边形，其中M、N两点在线段OA上，P、Q两点在直线为B上方的抛物线上．
①若QM∥y轴，求线段QM的取值范围；
②若MN＝，求点P的坐标．
​
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①根据平行四边形的性质可得PN∥QM，PN＝QM，进而可得PN∥y轴，设M（m，m），N（n，n），且0＜m＜n＜4，由QM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，可知当m＝2时，QM取得最大值2，但PN＝QM＝2，此时M与N重合，故0＜QM＜2；
②由平行四边形性质可得PQ∥OA，PQ＝MN，利用待定系数法可得直线PQ的解析式为y＝x﹣n2+2n，联立得﹣x2+3x＝x﹣n2+2n，得出m＝4﹣n，由MN＝，可得（m﹣n）2+（m﹣n）2＝（）2，即m﹣n＝﹣1，进而可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx的图象经过A（4，4）与B（6，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+3x；
（2）①设直线OA的解析式为y＝kx，把A（4，4）代入，得4k＝4，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
∵四边形MNPQ为平行四边形，
∴PN∥QM，PN＝QM，
∵QM∥y轴，
∴PN∥y轴，
设M（m，m），N（n，n），且0＜m＜n＜4，
则P（n，﹣n2+3n），Q（m，﹣m2+3m），
∴PN＝﹣n2+3n﹣n＝﹣n2+2n，
QM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，QM取得最大值2，但PN＝QM＝2，此时M与N重合，
∴0＜QM＜2；
②∵四边形MNPQ为平行四边形，
∴PQ∥MN即PQ∥OA，PQ＝MN，
设直线PQ的解析式为y＝x+d，把P（n，﹣n2+3n）代入，得﹣n2+3n＝n+d，
解得：n＝﹣n2+2n，
∴直线PQ的解析式为y＝x﹣n2+2n，
联立得：﹣x2+3x＝x﹣n2+2n，
解得：x1＝n，x2＝4﹣n，
∵Q（m，﹣m2+3m），
∴m＝4﹣n，
∵MN＝，
∴（m﹣n）2+（m﹣n）2＝（）2，
∴m﹣n＝﹣1或m﹣n＝1，
∵m＜n，
∴m﹣n＝﹣1，
联立得：，
解得：，
当n＝时，﹣n2+3n＝﹣×（）2+3×＝，
∴P（，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，该题难度适中，运用方程思想是解题关键．
40．（2023•蜀山区一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令y＝1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y＞1.76时x的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为（1，2.25），A（0，1.25），
设第一象限内的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25，
将点A（0，1.25）代入物线解析式，
1.25＝a（0﹣1）2+2.25，
解得α＝﹣1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）根据题意，令y＝1.76，
即﹣（x﹣1）2+2.25＝1.76，
解得x1＝0.3，x2＝1.7，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴当0.3＜x＜1.7时，y＞1.76，
∴d的取值范围为0.3＜d＜1.7；
（3）作直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点E，F，过点E，作EG⊥PB，垂足为G，如图所示，
∵l∥PB，
设直线l的解析式为y＝﹣x+m，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得x2﹣3x+m﹣1.25＝0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ＝32﹣4×1×（m﹣1.25）＝0，
解得m＝3.5，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3.5，
令y＝0，则x＝3.5，
∴E（3.5，0），
∴BE＝4﹣3.5＝0.5，
即EB＝，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG＝45°，
∵∠EGB＝90°，
sin∠EBG＝＝，
∴EG＝×＝，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
41．（2023•合肥模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过B（10，5）、C（0，5）两点，
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图2，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB沿OB翻折使点A落在点D处，求出点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CA和DA，其中CA与OB交于点P，试直接写出tan∠CAD的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
（2）由翻折得△AOB≌△DOB，则OD＝OA＝10，BD＝BA＝5，设点D的坐标为（x，y），根据两点的距离公式可得x，y的值，即可判断点D是否在抛物线上；
（3）连接CD，根据勾股定理的逆定理可得△CAD是直角三角形，求出CD，AD的长，即可得出tan∠CAD的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过B（10，5）、C（0，5）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+5；
（2）由翻折得△AOB≌△DOB，
∵B（10，5），BA⊥x轴于点A，
∴OD＝OA＝10，BD＝BA＝5，
设点D的坐标为（x，y），
∴，解得或（舍去），
∴点D的坐标为（6，8），
当x＝6时，y＝﹣x2+x+5＝8，
∴点D是在抛物线上；
（3）连接CD，
由（2）知点D的坐标为（6，8），
∵B（10，5），BA⊥x轴于点A，
∴A（10，0），
∴AC2＝102+52＝125，
CD2＝62+（8﹣5）2＝45，
AD2＝82+（10﹣6）2＝80，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△CAD是直角三角形，
∴tan∠CAD＝＝＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，翻折的性质，直角三角形的性质，正切函数的定义，数形结合是解决此题的关键．
42．（2023•庐江县三模）如图，抛物线经过点A（1，1），B（﹣3，﹣3），点Q是抛物线的对称轴上一点，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若﹣3≤m≤1，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）过P作PM∥y轴交直线AB与点M，利用待定系数法求出直线AB为y＝x．则P（m，m2+2m﹣），M（m，m），利用二次函数的性质以及面积法即可求解；
（3）分以线段AB为对角线和以线段AB为边考虑，根据平行四边形的性质结合点A、B的坐标即可得出m的值，此题得解．
【解答】解：（1）将A（1，1），B（﹣3，﹣3）代入y＝x2+bx+c得，
，解得，
∴抛物线的函数关系式为y＝x2+2x﹣；
（2）过P作PM∥y轴交直线AB与点M，设直线AB的函数关系式为y＝kx+a，
将A（1，1），B（﹣3，﹣3）代入，
得，解得，
∴直线AB为y＝x．
∵点P的横坐标为m．
∴P（m，m2+2m﹣），则M（m，m），
∴＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
∵﹣1＜0，且﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时，S△ABP最大为4．
又∵，
∴点P到直线AB的最大距离为；
（3）∵y＝x2+2x﹣＝（x+2）2﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
设Q（﹣2，n），
当AB为边，四边形ABPQ是平行四边形时，
∵P（m，m2+2m﹣），A（1，1），B（﹣3，﹣3），Q（﹣2，n），
∴m+1＝﹣3﹣2，解得m＝﹣6，
∴P（﹣6，），
∴点Q的坐标为（﹣2，）；
当AB为边，四边形ABQP是平行四边形时，
∵P（m，m2+2m﹣），A（1，1），B（﹣3，﹣3），Q（﹣2，n），
∴m﹣3＝﹣2+1，解得m＝2，
∴P（2，），
∴点Q的坐标为（﹣2，）；
当AB是对角线时，
∵P（m，m2+2m﹣），A（1，1），B（﹣3，﹣3），Q（﹣2，n），
∴﹣3+1＝m﹣2，解得m＝0，
∴P（0，﹣），
∴点Q的坐标为（﹣2，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，）或（﹣2，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法、线段的最大值、平行四边形性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，用含字母的式子表示相关点的坐标及相关线段的长度．
43．（2023•雨山区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求线段DE长度的最大值；
（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意可得y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），解方程即可；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
（3）△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE＝∠CAO，②若∠CDE＝∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：a×（0+1）×（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），且0＜m＜3，
在Rt△BOC中，BO＝3，OC＝3，BC＝＝3，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，将B（3，0），C（0，3）代入，
得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），
∴DM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM＝∠BOC＝90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ∥y轴，
∴∠DME＝∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴，即，
∴DE＝﹣m2+m＝−（m−）2+，
∴当m＝时，DE取得最大值，最大值是；
（3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA＝1，OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ＝∠DME＝45°，
∵DE⊥BC，
∴ME＝DE，
设D（m，﹣m2+2m+3），且0＜m＜3，则M（m，﹣m+3），
∴CM＝＝m，
由（2）知DE＝﹣m2+m，
∴CE＝m﹣（﹣m2+m）＝m2﹣m，
①若∠DCE＝∠CAO，
∴tan∠DCE＝tan∠CAO＝＝3，
∵tan∠DCE＝＝3，
∴DE＝3CE，
∴﹣m2+m＝3（m2﹣m），
解得m＝或0（舍去），
∴点D的坐标为（，）；
②若∠CDE＝∠CAO，
则tan∠CDE＝tan∠CAO＝3，
∵tan∠CDE＝＝3，
∴CE＝3DE，
∴3（﹣m2+m）＝m2﹣m，
解得m＝或0（舍去），
∴点D的坐标为（，）；
综上，存在，点D的坐标为（，）或（ ，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
44．（2023•合肥一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+k与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上位于直线AB上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线AB于点D，以PQ、PD为边作矩形PQED，求矩形PQED周长的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）把B（5，0）代入y＝﹣x2+4x+k，解方程求得k的值，即可得抛物线的解析式；
（2）求出直线AB的解析式，设P（x，﹣x2+4x+5），则D（x，﹣x+5），Q（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出矩形PQED的周长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）设M（m，﹣m2+4m+5），N（2，n），分两种情况：①当AB为平行四边形的对角线时，②当AB为平行四边形的边时，利用平行四边形的性质即可求解．
【解答】解：（1）把B（5，0）代入y＝﹣x2+4x+k得0＝﹣25+20+k，
解得k＝5．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴A（0，5），对称轴为x＝2，
设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
设P（x，﹣x2+4x+5），则D（x，﹣x+5），
∵PQ∥x轴，
∴Q（4﹣x，﹣x2+4x+5），
由题意得，当点P在对称轴右侧时，矩形PQED的周长最大，
∴矩形PQED的周长＝2（﹣x2+4x+5+x﹣5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+14x﹣8＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝时，矩形PQED周长的最大值，
∴此时点P的坐标为（，）；
（3）设M（m，﹣m2+4m+5），N（2，n），
分两种情况：
①当AB为平行四边形的对角线时，如图1，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m+2＝0+5，解得m＝3，
∴﹣m2+4m+5＝8，
∴点M的坐标为（3，8）；
②当AB为平行四边形的边时，如图2，
∵A（0，5），B（5，0），
∴5+2＝0+m或，m+5＝0+2，解得m＝7或﹣3，
∴﹣m2+4m+5＝﹣16，
∴点M的坐标为（7，﹣16）或（﹣3，﹣16）；
综上，点M的坐标为（3，8）或（7，﹣16）或（﹣3，﹣16）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用．
45．（2023•雨山区校级一模）已知直线y＝kx+1经过点（2，3），与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴交于点（n，）．
（1）求k，b的值；
（2）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于（x1，0）（x2，0），且3≤x2﹣x1＜9，若p＝x12﹣3x22，求P的最大值；
（3）当﹣1＜x＜2时，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝kx+1有且只有一个公共点，直接写出c的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）由x1+x2＝﹣1，3≤x2﹣x1＜9，可得﹣5＜x1≤﹣2，进而可得p＝x12﹣3x22＝x12﹣3（﹣1﹣x1）2＝﹣2（x1+）2+，运用二次函数的最值即可求得答案；
（3）联立方程组可得x2＝1﹣c，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+1经过点（2，3），
∴3＝2k+1，
解得：k＝1，
把点（n，）代入y＝x+1，得＝n+1，
解得：n＝﹣，
∴抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴b＝1；
（2）由（1）得：b＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2+x+c，
∵抛物线y＝x2+x+c与x轴交于（x1，0）（x2，0），
∴x1+x2＝﹣1，
∴x2＝﹣1﹣x1，
∵3≤x2﹣x1＜9，
∴3≤（﹣1﹣x1）﹣x1＜9，
∴﹣5＜x1≤﹣2，
∴p＝x12﹣3x22＝x12﹣3（﹣1﹣x1）2＝﹣2（x1+）2+，
∵﹣2＜0，﹣5＜x1≤﹣2，
∴p随x1的增大而增大，
∴当x1＝﹣2时，p最大值＝﹣2（﹣2+）2+＝1；
（3）由（2）得：抛物线解析式为y＝x2+x+c，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣，且当﹣1＜x＜2时，抛物线与直线y＝x+1有且只有一个公共点，
∴联立得：x2+x+c＝x+1，即x2＝1﹣c，
当c＞1时，该方程没有实数根，不满足题意；
当c＝1时，方程的解为x＝0，满足题意；
当c＜1时，方程的解为x＝±，若1≤＜2，则﹣3＜c≤0，满足题意；
综上所述，满足题意的c的取值范围为﹣3＜c≤0或c＝1．
【点评】本题是二次函数与一次函数的综合运用问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，求二次函数的最值，两个函数图象交点问题，解一元一次不等式等，解题关键是分类讨论，防止漏解．
46．（2023•花山区一模）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
【分析】（1）根据对称轴公式以及当x＝1时y＝2，用待定系数法求函数解析式；
（2）根据（1）可知抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，再由平移性质得出抛物线C1解析式，然后把点（c，1）代入抛物线C1，再根据方程有解得出m的取值范围；
（3）先求出抛物线C2解析式，再求出A，B，C，D坐标，然后求值即可．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得；
（2）由（1）知，抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
将其向下平移m个单位得到抛物线C1，
∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣1）2+2﹣m，
∵存在点（c，1）在C1上，
∴（c﹣1）2+2﹣m＝1，即（c﹣1）2＝m﹣1有实数根，
∴m﹣1≥0，
解得m≥1，
∴m的取值范围为m≥1；
（3）∵抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），
∴（1﹣3）2+k＝2，
解得k＝﹣2，
∴抛物线C2的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣1）2+2中，
得n＝（x﹣1）2+2，
解得x＝1﹣或x＝1+，
∴A（1﹣，n），B（1+，n），
把y＝n（n＞2）代入到y＝（x﹣3）2﹣2中，
得n＝（x﹣3）2﹣2，
解得x＝3﹣或x＝3+，
∴C（3﹣，n），D（3+，n），
∴AD＝（3+）﹣（1﹣）＝2++，
BC＝（1+）﹣（3﹣）＝﹣2++，
∴AD﹣BC＝（2++）﹣（﹣2++）＝4．
【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．
47．（2023•安徽模拟）某重工机械公司为用户提供矿山机械设备，该设备每件的售价为18万元，每件的成本为y（万元）与月需求量x（件/月）满足关系式为常数），其中x＞0．经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12）符合关系式x＝2n2﹣26n+144，且得到了下表中的部分数据．
（1）求y与x满足的关系式，并求表中b的值；
（2）试推断是否存在某个月既无盈利也不亏损，请说明理由；
（3）设第n个月的利润为w（万元），请求出w与n的函数关系式，并求在这一年的前9个月中，哪个月的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）把x＝120，y＝11代入y＝6+求出a即可得y与x满足的关系式，并把x＝100代入解析式即可求出b的值；
（2）假设存在某个月既无盈利也不亏损，即所得利润为0，得出关于n的方程，由判别式Δ＜0判定方程无实数解，从而得出不存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）根据第n个月的利润＝月需求量×（售价﹣成本）列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）把x＝120，y＝11代入y＝6+得：11＝6+，
解得a＝600，
∴y与x满足的关系式为y＝6+，
当x＝100时，y＝6+＝12，
∴b＝12；
（2）不存在某个月既无盈利也不亏损，理由：
假设存在某个月既无盈利也不亏损，
则x[18﹣（6+）＝0，
解得x＝50，
∴2n2﹣26n+144＝50，
整理得：n2﹣13n+47＝0，
∵Δ＝（﹣13）2﹣4×47＝169﹣188＝﹣19＜0，
∴方程无解，
∴不存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）根据题意得：w＝x（18﹣y）
＝x（18﹣6﹣）
＝12x﹣600
＝12（2n2﹣26n+144）﹣600
＝24n2﹣312n+1128
＝24（n﹣6.5）2+114，
∵24＞0，
∴当1≤n≤6时，w随n的增大而减小，当n＝1时，w最大值为840，
当7≤n≤9时，w随n的增大而增大，当n＝9时，w最大值为264，
∵840＞264，
∴在这一年的前9个月中，1月的利润最大，最大利润是840万元．
【点评】本题主要考查二次函数函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、以及根据利润的相等关系列出关系式是解题的关键．
48．（2023•蚌山区校级模拟）如图，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2过点B（﹣2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（﹣2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．
【分析】（1）将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；
（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），则Q（﹣t，﹣t2+t+2），由菱形的性质OB⊥OP，在Rt△OBP中，由勾股定理可得（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，求出t的值即可确定P点坐标；
②判定四边形PBQC是平行四边形，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，由P（t，t2﹣t﹣2），可得G（t，﹣t），再由S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，2），点B与点C关于原点对称，
∴C（2，﹣2），
将点B（﹣2，2），C（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）①设P（t，t2﹣t﹣2），
∵P、Q关于原点的对称，
∴Q（﹣t，﹣t2+t+2），
∵点B与点C关于原点对称，
∴O是对角线PQ、BC的交点，
∴PQ⊥BC，
∵B（﹣2，2），
∴OB2＝8，OP2＝t2+（t2﹣t﹣2）2，PB2＝（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2，
∴（t+2）2+（t2﹣t﹣4）2＝8+t2+（t2﹣t﹣2）2，
∴（t+2）2﹣8﹣t2＝（t2﹣t﹣2）2﹣（t2﹣t﹣4）2，
∴2t﹣2＝t2﹣2t﹣6，
解得t＝﹣2+2或t＝2+2，
∴P（﹣2+2，2﹣2）或（2+2，2+2）；
②∵点B与点C关于原点对称，P、Q关于原点的对称，
∴BC与PQ互相平分，
∴四边形PBQC是平行四边形，
过点P作PG∥y轴交直线BC于点G，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x，
∵P（t，t2﹣t﹣2），
∴G（t，﹣t），
∴PG＝﹣t﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2，
∴S△BCP＝×4×（﹣t2+2）＝﹣t2+4，
∴S四边形BPCQ＝2S△BCP＝﹣2t2+8，
当t＝0时，四边形PBQC面积最大为8．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的性质是解题的关键．
49．（2023•禹会区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，M为线段BC下方抛物线上一动点，连接AM，BM和CM，线段AM和BC交于点D．设△BCM的面积为S1，△ACM的面积为S2，且S＝S1﹣S2．当S最大时，求点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，过点M作y轴的平行线交x轴于点N，P是直线MN上的一点，Q是直线MN右侧抛物线上的一点，当△BPQ为等边三角形时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）分别求出直线BC，AM的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），则G（m，m﹣3），然后用含m的代数式分别表示S1，S2，即可得S与m的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（3）作辅助线如解析图，求出证明△QBE≌△PBN，利用等边三角形的性质、全等三角形的性质和锐角三角函数求出，进而可求出直线EF的解析式，然后与抛物线的解析式联立方程组即可求出结果．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），把A、B代入解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）对于y＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝px+t，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
作MK⊥x轴于点K，交直线BC于点G，如图2，
设点M（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3），则G（m，m﹣3），
∴MG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴，
设直线AM的解析式为y＝qx+c，则
，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，
设直线AM交y轴于点F，则点F（0，m﹣3），
∴CF＝m﹣3﹣（﹣3）＝m，
∴，
∴，
∵﹣2＜0，
∴当m＝1时，S取得最大值2；此时点M的坐标为（1，﹣4）；
（3）当△BPQ为等边三角形时，如图，
由（2）得：N（1，0），所以BN＝2，
以BN为边在x轴的上方作等边三角形BEN，作射线QE交直线PN于点F，作ER⊥x轴于点R，
∴BP＝BQ，BE＝BN＝2，∠PBQ＝∠NBE＝∠BEN＝∠MNE＝60°，ER＝BR＝1，
∴∠QBE＝∠PBN，，
∴△QBE≌△PBN，，
∴∠QEB＝∠PNB＝90°，
∴∠FNE＝90°﹣∠BNE＝30°，∠FEN＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠HFE＝60°，
作EH⊥PN于点H，则，
∴，
∴，
∴点，
设直线EF的解析式为y＝nx+e，
则，解得，
∴直线EF的解析式为，
联立方程组，
解得（舍去）或，
∴点Q的坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、常见的面积问题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大，构造等边三角形、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
50．（2023•怀远县校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，P是第一象限内抛物线上的点，连接OP交BC于点M，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得S△PCM：S△CMO＝2：3？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，抛物线的对称轴与BC交于点D，连接OD，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，求得点Q的坐标为（5，0），求得直线PQ的解析式为，据此求解即可；
（3）分两种情况讨论，①当以OF为平行四边形的一边时，②当以OF为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（3，0）代入y＝ax2+bx+4（a≠0），得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在．如图，过点P作PQ∥BC交x轴于点Q，
∴△CMO∽△QPO，
∴，
设△OPC的边OP上的高为h，
∴，，
∵S△PCM：S△CMO＝2：3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OC＝3，
∴OQ＝5，
∴点Q的坐标为（5，0），
由抛物线的解析式知B（0，4），
设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，
把B（0，4），C（3，0）代入得，，
解得，
∴直线BC的解析式为，
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为，
代入Q（5，0）得，
解得，
∴直线PQ的解析式为，
∵点P在抛物线，
∴联立得，解得x1＝1，x2＝2，
把x1＝1，x2＝2代入，得，
∴点P的坐标为或（2，4）；
（3）存在，点E的坐标为或或或；
抛物线的对称为直线，
∵抛物线的对称轴与BC交于点D，
∴点E的坐标为，
①当以OF为平行四边形的一边时，此时DE∥OF，即DE∥x轴，
过点D作E1E2∥x轴，交抛物线于点E1，E2，
∴点E1，E2的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点E的坐标为或；
②当以OF为平行四边形的对角线时，此时DE也为平行四边形的对角线，
设点E的坐标为，点F的坐标为（n，0），
∴，
解得或，
∴点E的坐标为或，
综上，点E的坐标为或或或．
【点评】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性质，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
51．（2023•凤阳县二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M，且PM＝AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，AD＝2，DE＝3，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形A′D′E′F′，直线A′D′与直线E′F′分别交抛物线于点G、H，在平移过程中，是否存在以点D′、F′、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再由题意求出P点坐标为（1，4），由此可得方程﹣4a＝4，求出a的值即可；
（2）设将矩形ADEF沿x轴正方向平移t个单位得到矩形A′D′E′F′，则A'（﹣1+t，0），D'（﹣1+t，2），F'（﹣4+t，0），E'（﹣4+t，2），G（﹣1+t，﹣t2+4t），H（﹣4+t，﹣t2+10t﹣21），根据平行四边形的对角线情况，分三种情况讨论，再由中点坐标公式列出方程求出t的值即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵AB＝PM，
∴PM＝4，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴P（1，﹣4a），
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在以点D′、F′、G、H为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵AD＝2，DE＝3，
∴D（﹣1，2），F（﹣4，0），E（﹣4，2），
设将矩形ADEF沿x轴正方向平移t个单位得到矩形A′D′E′F′，
∴A'（﹣1+t，0），D'（﹣1+t，2），F'（﹣4+t，0），E'（﹣4+t，2），
∵直线A′D′与直线E′F′分别交抛物线于点G、H，
∴G（﹣1+t，﹣t2+4t），H（﹣4+t，﹣t2+10t﹣21），
当D'F'为平行四边形的对角线时，2＝﹣t2+4t﹣t2+10t﹣21，
解得t＝或t＝；
当D'G为平行四边形的对角线时，此时不成立；
当D'H为平行四边形的对角线时，﹣t2+10t﹣21+2＝﹣t2+4t，
解得t＝；
综上所述：t的值为或或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关键．
52．（2023•定远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A（﹣2，0），C（0，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上一动点，连接CP，CP的延长线与x轴交于点Q，过点P作PE⊥y轴于点E，以PE为轴，翻折直线CP，与抛物线相交于另一点R．设P点横坐标为t，R点横坐标为s，求出s与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接RC，点G在RP上，且RG＝RC，连接CG，若∠OCG＝45°，求点Q坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求求得结论；
（2）由已知条件得出点P的坐标，则PE，OE的长度可得，利用点C的坐标可得线段OC的长度；根据对称性可得EF的长度；设PR交y轴于点F，过点R作RH⊥y轴于点H，通过说明△PEF∽△RHF，得出比例式，将线段的长度代入化简即可得出结论；
（3）利用等边对等角，可得∠RCG＝∠RGC，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠RCH＝∠GPE，通过证明△RCH∽△CEP，得到比例式，将线段的长度代入即可得到（s﹣1）（t﹣1）＝﹣1，利用（2）中结论，将s＝﹣2t+4代入上式即可求得t值，进而点P坐标可得，求出直线CP的解析式，求它与x轴的交点即可得出点Q坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过A（﹣2，0），C（0，4）两点，
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝+x+4．
（2）∵点P是第一象限抛物线上一动点，P点横坐标为t，
∴P（t，﹣+t+4）．
∵PE⊥y轴，
∴E（0，﹣+t+4）．
∴OE＝﹣+t+4．
∵C（0，4），
∴OC＝4．
∴CE＝4﹣（﹣+t+4）＝﹣t．
设PR交y轴于点F，过点R作RH⊥y轴于点H，如图，
由题意得：EF＝CE＝﹣t．
∴OF＝OE﹣EF＝﹣+t+4﹣（﹣t）＝﹣t2+2t+4．
∵R点横坐标为s，
∴R（s，﹣），s＜0．
∴RH＝﹣s，OH＝．
∴FH＝OH+OF＝﹣t2+2t+4+＝﹣t2+2t+﹣s．
∵PE∥RH，
∴△PEF∽△RHF．
∴．
∴．
∴PH＝﹣st+s．
∴﹣t2+2t+﹣s＝﹣st+s．
整理得：2t2﹣ts﹣s2+4s﹣4t＝0．
∴（2t+s）（t﹣s）﹣4（t﹣s）＝0．
∴（t﹣s）（2t+s﹣4）＝0．
∵t≠s，
∴2t+s﹣4＝0．
∴s与t的函数关系式为：s＝﹣2t+4．
（3）∵RG＝RC，
∴∠RCG＝∠RGC．
∵∠RCG＝∠RCH+∠OCG＝45°+∠RCH，
∠RGC＝∠GCP+∠GPE+∠CPE，
∴45°+∠RCH＝∠GCP+∠GPE+∠CPE，
设CG与EP交于点I，如图，
∵∠OCG＝45°，PE⊥CE，
∴∠EIC＝45°．
∵∠EIC＝∠GCP+∠CPE，
∴∠GCP+∠CPE＝45°．
∴45°+∠RCH＝45°+∠GPE．
∴∠RCH＝∠GPE．
∵∠GPE＝∠CPE，
∴∠RCH＝∠CPE，
∵∠RHC＝∠CEP＝90°，
∴△RCH∽△CEP．
∴．
∴．
∴（s﹣1）（t﹣1）＝﹣1．
整理得：st﹣2s﹣2t+8＝0．
由（2）知：s＝﹣2t+4，
∴（﹣2t+4）t﹣2（﹣2t+4）﹣2t+8＝0．
∴t2﹣3t＝0．
∴t＝0或t＝3．
∵点P是第一象限抛物线上一动点，
∴t＞0，
∴t＝3．
∴P（3，）．
设直线CP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线CP的解析式为y＝﹣x+4．
令y＝0，则﹣x+4﹣0，
解得：x＝8．
∴Q（8，0）．
【点评】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的推论，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
53．（2023•庐阳区模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：
注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；
（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．
【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w元，根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）根据总利润＝（单件利润﹣m）×销售量列出函数解析式，再根据x≤52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，利用函数性质求m的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得：，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣10x+700；
（2）由表中数据知，每件商品进价为＝30（元），
设该商品的月销售利润为w元，
则w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w最大，最大值为4000，
∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；
（3）根据题意得：w＝（x﹣30﹣m）（﹣10x+700）＝﹣10x2+（1000+10m）x﹣21000﹣700m，
对称轴为直线x＝﹣＝50+，
∵﹣10＜0，
∴当x≤50+时，w随x的增大而增大，
∵x≤52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，
∴50+≥52，
解得：m≥4，
∵4≤m≤6，
∴m的取值范围为3＜m≤6．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
54．（2023•铜官区校级一模）已知抛物线C：y＝x2﹣2bx+c；
（1）若抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），求b、c的值；
（2）当c＝b+2，0≤x≤2时，抛物线C的最小值是﹣4，求b的值；
（3）当c＝b2+1，3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，则m的最大值为 4 ．
【分析】（1）根据已知点的坐标代入解析式确定系数即可．
（2）先根据已知条件确定抛物线的对称轴直线，在分段讨论抛物线在各段上取最小值时b的值．
（3）通过抛物线图象的移动范围确定，当x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立时，m的值，进一步确定最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线C的顶点坐标为（1，﹣3），
∴y＝（x﹣1）2﹣3＝x2﹣2x﹣2，
∴﹣2b＝﹣2，b＝1，c＝﹣2；
（2）∵c＝b+2
∴y＝x2﹣2bx+c＝x2﹣2bx+b+2，对称轴为x＝b，
①当b＜0时，由题意可知b+2＝﹣4，解得b＝﹣6，符合题意；
②当0≤b≤2时，，解得b1＝3，b2＝﹣2，不合题意舍去；
③当b＞2时，根据题意可知22﹣4b+b+2＝﹣4，解得b＝，符合题意；
综上所述，所求b的值为﹣6或．
（3）当c＝b2+1时，抛物线C的解析式为y＝（x﹣b）2+1，
如图所示，抛物线C的顶点在直线y＝1上移动，
当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，
则可知抛物线C的顶点坐标为（3，1），
设抛物线C与直线y＝x﹣2除顶点外的另一个交点为M，
此时点M的横坐标即为m的最大值，
由解得x1＝3，x2＝4，
∴m的最大值为4．
【点评】考查了二次函数的解析式，二次函数的性质与图象，函数的对称轴，关键要熟练二次函数待定系数法求解析式，二次函数的图象以及性质．
55．（2023•杜集区校级模拟）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的负半轴交于点C，D、E为直线AB上的动点，且点D一直在点E的左侧，DE＝，FE⊥AC，GD⊥AC，FG⊥OB，GD＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，当四边形DEFG与抛物线有公共点时，求点D横坐标m的取值范围；
（3）当以A，E，F为顶点的三角形为等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．
​​
【分析】（1）由题意可直接得出点A，B的坐标，代入抛物线，利用待定系数法可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意可分别表达点D，E，G，F的坐标，由点E的运动分两种情况分别求解出临界时m的值即可得出m的值，进而可得出结论；
（3）分三种情况：AE＝EF，AE＝AF，EF＝AF，分别得出关于m的方程，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4；
令y＝0，则x＝4，
∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
将A，B两点代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）由（1）知，OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
如图1，过点E作EH⊥GD交GD的延长线于点H，
∵FE⊥AC，GD⊥AC，FG⊥OB，
∴EH∥x轴，
∴∠DEH＝∠OAB＝45°，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵DE＝，
∴DH＝EH＝1，
∵D（m，﹣m+4），
∴E（m+1，﹣m+3），
∵GD＝1，
∴GH＝2，
∴G（m，﹣m+4），F（m+1，﹣m+5）；
如图2（1），当点G在对称轴左侧的抛物线上时，抛物线与四边形DEFG有交点，
此时﹣m2+3m+4＝﹣m+5，
解得m＝2+（舍）或m＝2﹣，
若点D继续向左，则符合题意，直到点E与点B重合时，此时m+1＝0，即m＝﹣1，
如图2（2），当点F在对称轴右侧的抛物线上时，抛物线与四边形DEFG有交点，
此时﹣（m+1）2+3（m+1）+4＝﹣m+5，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍），
若点D继续向右，则符合题意，直到点D与点A重合时，此时m＝4，
综上，当四边形DEFG与抛物线有公共点时，点D横坐标m的取值范围为：1≤m≤2﹣或1+≤m≤4；
（3）由上可知，A（4，0），E（m+1，﹣m+3），F（m+1，﹣m+5），
∴AE2＝（m﹣3）2+（﹣m+3）2＝2（m﹣3）2，AF2＝（m﹣3）2+（﹣m+5）2，EF2＝02+22＝4，
若以A，E，F为顶点的三角形为等腰三角形，则分以下三种情况：
①当AE＝EF时，2（m﹣3）2＝4，
解得m＝3+或m＝3﹣，
∴E（4+，﹣）或（4﹣，）；
②当AE＝AF时，2（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（﹣m+5）2，
解得m＝4，
∴E（5，﹣1）；
③当EF＝AF时，4＝（m﹣3）2+（﹣m+5）2，
解得m＝3或5，
当m＝3时，点E与点A重合，不符合题意，
当m＝5时，E（6，﹣2）；
综上，符合题意的点E的坐标为（4+，﹣）或（4﹣，）或（5，﹣1）或（6，﹣2）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
56．（2023•来安县二模）如图1，一块钢板截面的一边为线段AB，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，现沿线段BC将这块钢板分成①、②两部分，以AB边所在直线为x轴，经过点C且与AB垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代表1米．已知：OA＝2米，OB＝8米，OC＝6米．
（1）求曲线ACB所在抛物线的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）如图2，在该钢板第①部分中截取一个矩形DEFG，其中D为BC的中点，E，F均在线段AB上，G在曲线AC上，求EF的长；
（3）如图3，在该钢板第②部分中截取一个△PBC，其中点P在曲线BC上，记△PBC的面积为S，求S的最大值．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先由中点坐标公式求得点D的坐标为（4，3），从而得出点E的坐标为（4，0），再令y＝3，则，解得，，所以G点横坐标为，从而求得点F的坐标为，即可由两点距离公式求解；
（3）先用等定系数法求出直线BC的解析式为，设点P的坐标为，0＜m＜8，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点Q，则点Q的坐标为，所以，所以＝，然后利用求二次函数最值求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝6米，可设ACB所在抛物线的函数表示式y＝ax2+bx+6，
∵OA＝2米，OB＝8米，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
∴，
解得，
∴曲线ACB所在抛物线的函数关系式为；
（2）∵D为BC的中点，
∴点D的坐标为（4，3），
∴点E的坐标为（4，0），
当y＝3时，，
解得，，
则G点横坐标为，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE⊥x轴，GF⊥x轴，
∴点F的坐标为，
∴；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）．
把B（8，0），C（0，6）代入，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为．
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，0＜m＜8，
如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点Q，
则点Q的坐标为，
∴，
∴
＝，
即，
∴S的最大值为24．
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象性质，二次函数的最值，矩形的性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质是解题的关键．
57．（2023•迎江区校级三模）如图，直线y＝x﹣3与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于A，B两点，与抛物线对称轴交于点M，且点A，B分别在x轴，y轴上，抛物线的顶点为C．
（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；
（2）点N是线段CM上的动点，NP⊥CM交B，C两点之间的抛物线于点P，点P的坐标为P（x，n），m＝MP2．
①求NP2（用含n的代数式表示）；
②求m与n之间的函数关系式，并求出m的最小值．
【分析】（1）先求出A（3，0），B（0，﹣3），再代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）①先把抛物线解析式化为顶点式，再将P（x，n）代入y＝﹣（x﹣2）2+1得，n＝﹣（x﹣2）2+1，即可；
②先求出点C的坐标可得﹣1≤n≤1，再根据勾股定理求出MP2，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，由x﹣3＝0得：x＝3．
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
将A（3，0），B（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
∵抛物线的对称轴为直线，
当x＝2时，y＝x﹣3＝﹣1，
∴点M的坐标为（2，﹣1）；
（2）①∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴将P（x，n）代入y＝﹣（x﹣2）2+1得，n＝﹣（x﹣2）2+1，
∴NP2＝（x﹣2）2＝1﹣n；
②∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴C（2，1），
∵M（2，﹣1），
∴﹣1≤n≤1，
∵N（2，n），M（2，﹣1），
∴MN＝n+1，
∴m＝MP2＝NP2+MN2＝1﹣n+（n+1）2．
整理得m＝n2+n+2，
配方得．
∵﹣1≤n≤1，
∴当时，m有最小值，m的最小值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
58．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点M坐标为，再求出直线OM的解析式为，进而求出EF＝＝，根据二次函数性质即可求出当时，EF有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）①将x＝7.5代入中，得y＝3，
∴点，∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0），
将点代入得，
∴，
∴直线OM的解析式为，
∴＝＝，∵，
∴当时，EF有最大值，为；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即，
解得，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
59．（2023•太和县二模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若M为y轴上一点，当MB+MD的值最小时，求点M的坐标；
（3）如图2，若P是第一象限内抛物线上的一个动点，求△BPC的面积的最大值．
【分析】（1）根据顶点坐标公式计算即可．
（2）先确定A（﹣2，0），B（4，0），再计算点B关于y轴的对称点E（﹣4，0），作直线ED，计算其解析式，令x＝0计算y即可．
（3）连接BC，计算其解析式，过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点Q，设点，则Q（n，﹣n+4），确定，根据构造二次函数计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B，得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为；
（2）∵，
令y＝0，
∴，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴点B关于y轴的对称点E（﹣4，0），
作直线ED，与y轴交点为M，此时MB+MD的值最小，
设ED的解析式为y＝kx+t，
根据题意，得，
解得：，
∴ED的解析式为，
令x＝0，得，
故．
（3）连接BC，
∵，
∴C（0，4）
∵B（4，0），
设BC的解析式为y＝px+q，
根据题意，得，
解得：，
∴BC的解析式为y＝﹣x+4，
过点P作PN⊥x轴于点N，交直线BC于点Q，
设点，则Q（n，﹣n+4），
则，
∴，
故△BPC面积有最大值，且当n＝2时，S△PBC＝4．
【点评】本题考查了解析式的确定，线段和的最小值，三角形面积的最大值，涉及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
60．（2023•安徽模拟）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．
①求tan∠CBE；
②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，请直接写出点Q纵坐标的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）①利用配方法可得抛物线顶点M（1，4），过点M作MF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥BC于点G，连接EM，由△BCO和△MCF是等腰直角三角形，可推出∠BCM＝90°，得出BM是△CBM的外接圆的直径，由勾股定理可得BM＝2，设E（0，y），利用BE2+EM2＝BM2，建立方程求解即可得出y＝1，即E（0，1），再运用三角函数定义即可求得答案；
②由于点N是第一象限内抛物线上时，∠CAN＜90°，而∠BEC＞90°，故∠CAN≠∠BEC，分两种情况：当∠CAN＝∠CBE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，当∠CAN＝∠BCE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，分别求出点P的坐标即可；
（3）作△ABC的外接圆⊙O′，交抛物线的对称轴直线x＝1于点F、G，由点A、B关于直线x＝1对称，可知圆心O′在直线x＝1上，设O′（1，c），F（1，m），G（1，n），运用勾股定理可求得O′（1，1），圆的半径为，进而得出F（1，1﹣），G（1，1+），在O′G上取点T（1，p），连接AT、CT，使∠ATC＝90°，过点C作CK⊥O′G于点K，设FG与x轴交于点L，可证得△CTK∽△TAL，得出＝，即＝，求得p＝1或2，再运用三角函数定义即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点M（1，4），
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
又B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BCO是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，BC＝OB＝3，
如图，过点M作MF⊥y轴于点F，过点E作EG⊥BC于点G，连接EM，
则∠MFC＝∠CGE＝∠BGE＝90°，
∵CF＝MF＝1，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠MCF＝45°，CM＝CF＝，
∴∠BCM＝180°﹣∠MCF﹣∠BCO＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴BM为△CBM的外接圆的直径，
在Rt△CBM中，BM＝＝＝2，
设E（0，y），则OE＝y，EF＝4﹣y，
在Rt△BEO中，BE2＝OE2+OB2＝y2+9
在Rt△EMF中，EM2＝FM2+EF2＝1+（4﹣y）2，
∵∠BEM＝90°，
∴BE2+EM2＝BM2，即y2+9+1+（4﹣y）2＝（2）2，
解得：y1＝1，y2＝3（舍去），
∴E（0，1），
∴CE＝3﹣1＝2，
∵∠CGE＝90°，∠ECG＝45°，
∴CG＝EG＝CE＝×2＝，
∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝2，
∴tan∠CBE＝＝＝；
②存在．
在Rt△ACO中，AC＝＝＝，
在Rt△EBO中，BE＝＝＝，
当∠CAN＝∠CBE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，
则＝或＝，
若＝，即＝，
∴AP＝，
在△ACO和△EBO中，
，
∴△ACO≌△EBO（SAS），
∴∠CAO＝∠BEO，
即∠CAN+∠NAO＝∠CBE+∠BCO，
∵∠CAN＝∠CBE，
∴∠NAO＝∠BCO＝45°，
∵∠EAO＝45°，
∴射线AN经过点E，
设AN的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴AN的解析式为y＝x+1，
设P（t，t+1），
则（t+1）＝，
解得：t＝，
∴P（，）；
若＝，即＝，
∴AP＝3，
同理可得P（2，3）；
当∠CAN＝∠BCE时，△ACP∽△BCE或△APC∽△BCE，如图，设AN交y轴于点F，
则＝或＝，
即＝或＝，
∴AP＝或3，
∵∠CAN+∠NAO＝∠CBE+∠BCE，
∴∠NAO＝∠CBE，
∴tan∠NAO＝tan∠CBE＝，
∴＝，
∴OF＝OA＝，
∴F（0，），
设AN的解析式为y＝k′x+d′，则，
解得：，
∴AN的解析式为y＝x+，
设P（t，t+），则AP＝＝（t+1），
∴（t+1）＝或（t+1）＝3，
解得：t＝或5，
当t＝时，t+＝×+＝，
∴P（，）；
当t＝5时，t+＝×5+＝3，
∴P（5，3）；
∵∠BEC＞90°，当点N是第一象限内抛物线上时，∠CAN＜90°，
∴∠CAN≠∠BEC，
综上所述，点P的坐标为（，）或P（2，3）或（，）或（5，3）；
（3）如图，作△ABC的外接圆⊙O′，交抛物线的对称轴直线x＝1于点F、G，
∵＝，
∴∠AFC＝∠AGC＝∠ABC＝45°，
∵点A、B关于直线x＝1对称，
∴圆心O′在直线x＝1上，
设O′（1，c），F（1，m），G（1，n），
∵∠AO′C＝2∠ABC＝90°，O′A＝O′C，
∴△O′AC是等腰直角三角形，
∴O′A＝AC＝×＝，
∴22+c2＝5，
解得：c＝1或c＝﹣1（舍去），
∴O′（1，1），
∵O′F＝O′G＝，
∴1﹣m＝，n﹣1＝，
解得：m＝1﹣，n＝1+，
∴F（1，1﹣），G（1，1+），
在O′G上取点T（1，p），连接AT、CT，使∠ATC＝90°，过点C作CK⊥O′G于点K，设FG与x轴交于点L，
则TL＝p，KT＝3﹣p，CK＝1，AL＝2，
∵∠CKO′＝∠ALT＝∠ATC＝90°，
∴∠ATL+∠CTK＝∠ATL+∠TAL＝90°，
∴∠CTK＝∠TAL，
∴△CTK∽△TAL，
∴＝，即＝，
解得：p＝1或2，
∵点Q是抛物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC＞1，
∴锐角∠AQC＞45°，
设点Q的纵坐标为yQ，
∴1﹣＜yQ＜1或2＜yQ＜1+．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外接圆，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质圆的性质，圆周角定理等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．
时间x/月份
2
3
4
5
售价y1/（元/千克）
12
8
6
4.8
售价x（元/千克）
6
8
10
日销售量y（千克）
20
18
16
月销售量x（台）
销售价a（元/台）
月广告、管理等各种费用（元/月）
甲地
x
a＝500
100x+10000
乙地
x
a＝1200﹣x
50000
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
月份n（月）
1
2
成本y（万元/件）
11
b
需求量x（件/月）
120
100
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
3750
时间x/月份
2
3
4
5
售价y1/（元/千克）
12
8
6
4.8
售价x（元/千克）
6
8
10
日销售量y（千克）
20
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月销售量x（台）
销售价a（元/台）
月广告、管理等各种费用（元/月）
甲地
x
a＝500
100x+10000
乙地
x
a＝1200﹣x
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s/m
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…
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…
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月份n（月）
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成本y（万元/件）
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b
需求量x（件/月）
120
100
售价x（元/件）
40
45
月销售量y（件）
300
250
月销售利润w（元）
3000
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