河南省洛阳市新安县磁涧镇第一初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份河南省洛阳市新安县磁涧镇第一初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上册第21~22章
注意事项：共三大题，23小题，满分120分，答题时间100分钟.
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意的.
1.下列不是最简二次根式的是（ ）
A.B.C.D.
2.二次根式的值是（ ）
A.-2B.2或-2C.2D.4
3.如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为（ ）
A.B.3C.-3D.都不对
4.若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A.4B.6C.8D.10
5.用配方法解一元二次方程，则方程变形正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.没有实数根B.有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
7.在一片广袤的森林里，有一只机灵的猴子渴望爬到一棵大树的顶端.为了实现这个目标，它得借助一根连接地面和大树顶端的藤蔓.已知大树顶端距离地面的高度为米，猴子站立的位置距离大树底端的水平距离为米，则这根藤蔓的长至少是（ ）
A.米B.米C.米D.米
8.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A.0B.C.2D.
9.我国南宋时期数学家秦九韶（约公元1208年-1268年）曾提出利用三角形的三边，，（其中），求其面积的秦九韶公式.若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积为（ ）
A.B.C.D.
10.已知一元二次方程，若，且方程有一个根大于2，则另一个根是（ ）
A.正数B.负数C.0D.无法确定
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.写出一个一元二次方程，它的一个根为-2，则这个一元二次方程可以是________.
12.已知实数，满足，则的值为__________.
13.如图，在宽为、长为的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路（图中阴影部分），余下的部分作为耕地.若要使耕地的面积为，设路宽为，则可列方程__________.
14.定义：如果一元二次方程满足，那么称这个方程为“奇妙方程”.已知是“奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则的值为________.
15.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.善于思考的小明进行了以下探索：设，则有.故，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请利用小明发现的方法，化简：__________；__________.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：.
（2）用适当的方法解一元二次方程：.
17.（9分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：该方程总有实数根.
（2）设该方程的两个实数根分别为，，若，，求的取值范围.
18.（9分）在河南开封的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台，其面积为平方米，长为米.
（1）求这个舞台的宽.（结果需化简）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带，求舞台装饰后的面积.
19.（9分）小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个封闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数.他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数；若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数.
（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果.
（2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为，小明说的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由.
20.（9分）阅读下列材料，解答相应的问题.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；；
.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
（1）化简：__________.
（2）请直接写出的化简结果：________.
（3）计算：.
21.（9分）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以一元二次方程，即为例.三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图1所示的大正方形，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得.
图1
（1）在下面的四个构图中，能够说明的构图是（ ）
A. B. C. D.
（2）小刚用此方法解关于的一元二次方程时，构造出同样的图形，如图2，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25.通过计算，求关于的一元二次方程的正数解.
图2
22.（10分）宁陵酥梨以其皮薄多汁、酥脆甘甜、口感细腻等特点而闻名；荥阳柿子以果实新鲜洁净、果形整齐、果肉金黄、含糖量高等特点而闻名.这两种水果深受当地及外来游客的喜爱.某超市为了更好地推销这两种特产，将它们精装打包在一起售卖.一箱混合的酥梨和柿子成本价为80元，超市要求售价不低于100元.根据市场行情，若按照每箱100元的售价进行销售，一个月能销售1000箱；若每箱的售价每上涨5元，则月销售量就会减少50箱.根据上面材料，解答下列问题.
（1）当售价定为120元时，该混装水果的月销售量为________箱，月销售利润为_________元.
（2）根据物价部门规定：售价不能超过成本价的.要使每月销售利润恰好达到27000元，则该混装水果的售价应定为每箱多少元？
23.(10分）综合与实践
【方法研究】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题.
例：求代数式的最大值.
解：原式.
，，
，
的最大值为-3.
【探索探究】
（1）若，满足，则__________，__________.
（2）若等腰的三边长，，均为整数，且满足，求的面积.
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长.根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”.已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根.四边形的周长为，试求四边形的面积.
2024-2025学年度九年级综合素养评估（一）
数学参考答案
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B
10.B提示：，，两根之和为2.
该方程的一个根大于2，
另一个根必是负数，故选B.
11.（答案不唯一） 12. 19 13. 14. 2
15.；
16.解：（1）原式.
（2），
移项，得，
因式分解，得，
或，
解得，.
17.解：（1）证明：，
该方程总有实数根.
（2）根据根与系数的关系，得.
，，，
解得，即的取值范围为.
18.解：（1）这个舞台的宽：（米）.
答：这个舞台的宽是米.
（2）舞台装饰后的面积：
（平方米）.
答：舞台装饰后的面积是140平方米.
19.解：（1）依题意，得.
（2）小明的说法对.
理由如下：
依题意，得.
，与是同类二次根式，
故小明的说法对.
20.解：（1）.
（2）.
（3）
.
21.解：（1）B.
（2）由题图，可知矩形的宽为，长为.
大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，
，，
，，
，
故方程的正数解为.
22.解：（1）800；32000.
（2）设该混装水果的售价应定为每箱元，则每箱的销售利润为元，月销售量为箱.
根据题意，得，
整理，得，
解得，.
，故，不合题意.
答：该混装水果的售价应定为每箱110元.
23.解：（1）-3；2
（2），
，
，
，，
，.
分两种情况：
①当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时的面积为.
②当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时的面积为.
综上所述，的面积为或.
（3），
当时，取得最小值-1.
代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
.
四边形的周长为，
，
，
，
，
.