2025届河北省新乐市数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2025届河北省新乐市数学九年级第一学期开学联考试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．6，9，10B．5，12，17C．4，5，6D．1，，
2、（4分）将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）如图，已知二次函数，它与轴交于、，且、位于原点两侧，与的正半轴交于，顶点在轴右侧的直线：上，则下列说法：① ② ③ ④其中正确的结论有（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
4、（4分）下面哪个点不在函数y=-2x+3的图象上（ ）
A．（-5,13）B．（0.5,2）C．（1,2）D．（1,1）
5、（4分）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均数都是85分，方差分别是：S甲2＝3.8，S乙2＝2.7，S丙2＝6.2，S丁2＝5.1，则四个人中成绩最稳定的是（ ）
A．j甲B．乙C．丙D．丁
6、（4分）如图，长方形的高为，底面长为 ，宽为，蚂蚁沿长方体表面，从点到（点 见图中黑圆点）的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）要使分式的值为零，则的取值应满足（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交、于、两点，若，，则的长度为（ ）
A．1B．2C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在实数范围内分解因式：5-x2=_____．
10、（4分）把多项式n（n﹣2）+m（2﹣n）分解因式的结果是_____．
11、（4分） “同位角相等”的逆命题是__________________________．
12、（4分）正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…按如图的方式放置，A1、A2、A3…和点C1、C2、C3…分别在直线y＝x+2和x轴上，则点∁n的横坐标是_____．（用含n的代数式表示）
13、（4分）如图，在正方形网格中有3个小方格涂成了灰色.现从剩余的13个白色小方格中选一个也涂成灰色，使整个涂成灰色的图形成轴对称图形，则这样的白色小方格有______个.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
15、（8分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．
16、（8分）已知在△ABC中，AB=1，BC=4，CA=．
（1）分别化简4，的值．
（2）试在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．
（3）求出△ABC的面积．
17、（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．
18、（10分）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点；
(1)在第一个图中,以格点为端点,画一个三角形,使三边长分别为2、、,则这个三角形的面积是_________；
(2)在第二个图中,以格点为顶点,画一个正方形,使它的面积为10。
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知菱形ABCD的对角线AC=10，BD=24，则菱形ABCD的面积为__________。
20、（4分）如图，直线分别与轴、轴交于点,点是反比例函数的图象上位于直线下方的点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点,交直线于点,若,则的值为__________．
21、（4分）某小组7名同学的英语口试成绩(满分30分)依次为，，，，，，，则这组数据的中位数是_______．
22、（4分）在中，，，，_______．
23、（4分）如图，AB∥CD∥EF，若AE=3CE，DF=2，则BD的长为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程x−(3+)x+3=0的两根(OA>OC),∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE.
(1)求点D的坐标；
(2)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M，使得以M、N、D．C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
25、（10分）已知 ，，求下列代数式的值:
(1)x2+y2;
(2).
26、（12分）如图：，点在一条直线上，．求证：四边形是平行四边形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
要求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、，故不是直角三角形，故错误；
B、，故不是直角三角形，故错误；
C、，故不是直角三角形，故错误；
D、 故是直角三角形，故正确．
故选：D．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2、C
【解析】
根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【详解】
解：将点P（-2，3）先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点Q，
则点Q的坐标为（-2+3，3-4），即（1，-1），
故选：C．
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
3、D
【解析】
由根与系数的关系，结合顶点位置和坐标轴位置，进行分析即可得到答案.
【详解】
解：设函数图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2
则根据根于系数的关系得到：x1+x2=b, x1x2=c
∵A，B两点位于y轴两侧，且对称轴在y轴的右侧，则b＞0
函数图像交y轴于C点，则c＜0，
∴bc＜0，即①正确;
又∵顶点坐标为（ ），即（）
∴=4，即
又∵ =，即
∴AB=4即③正确；
又∵A，B两点位于y轴两侧，且对称轴在y轴的右侧
∴＜2，即b＜4
∴0＜b＜4，故②正确；
∵顶点的纵坐标为4，
∴△ABD的高为4
∴△ABD的面积= ，故④正确；
所以答案为D.
本题考查了二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数和一元二次方程的性质是解答本题的关键.
4、C
【解析】
分别把A，B，C，D四个选项的点代入函数y=-2x+3中，由此进行判断，能求出结果．
【详解】
解：∵y=-2x+3，
∴当x=-5时，y=13，故（-5，13）在函数y=-2x+3的图象上；
当x=0.5时，y=2，故（0.5，2）在函数y=-2x+3的图象上；
当x=1时，y=12，故（1，2）不在函数y=-2x+3的图象上；
当x=1时，y=1，故（1，1）在函数y=-2x+3的图象上．
故选：C．
本题考查不满足一次函数的点的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
5、B
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【详解】
解：∵S甲2＝3.8，S乙2＝2.7，S丙2＝6.2，S丁2＝5.1，
∴S乙2＜S甲2＜S丁2＜S丙2，
∴四个人中成绩最稳定的是乙，
故选：B．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6、D
【解析】
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
详解：根据题意可能的最短路线有6条，重复的不算，可以通过三条来计算比较.（见图示）
根据他们相应的展开图分别计算比较：
图①:；
图②:；
图③:.
∵.
故应选D.
点睛：考查了轴对称-最短路线问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
7、B
【解析】
分式的值为零时，分子且分母，由此求得应满足的条件．
【详解】
由题意得，，
∴.
故选：B．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．
8、B
【解析】
先根据矩形的性质，推理得到OF=CF，再根据Rt△BOF求得OF的长，即可得到CF的长．
【详解】
解：∵EF⊥BD，∠AEO=120°，
∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，
∴∠FOC=60°-30°=30°，BF=2OF，
∴OF=CF，
又∵BO=BD=AC=2，
∴在Rt△BOF中，
BO2+OF2=(2OF)2，
∴(2)2+OF2=4OF2，
∴OF=2，
∴CF=2，
故选：B．
本题主要考查了矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（ +x）（ -x）
【解析】
理解实数范围内是要运算到无理数为止,即可解题.
【详解】
解：5-x2=（ +x）（ -x）
本题考查了因式分解,属于简单题,注意要求是实数范围内因式分解是解题关键.
10、（n﹣2）（n﹣m）．
【解析】
用提取公因式法分解因式即可．
【详解】
n（n﹣2）+m（2﹣n）= n（n﹣2）-m（n-2）=（n﹣2）（n﹣m）．
故答案为（n﹣2）（n﹣m）．
本题考查了用提公因式法进行因式分解；一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11、如果两个角相等，那么这两个角是同位角．
【解析】
因为“同位角相等”的题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，
所以命题“同位角相等”的逆命题是“相等的两个角是同位角”．
12、
【解析】
观察图像，由直线y＝x+2和正方形的关系，即可得出规律，推导出Cn的横坐标.
【详解】
解：根据题意，由图像可知，，
正方形A1B1C1O、 A2B2C2C1
，直线y＝x+2的斜率为1，则
以此类推，，
此题主要考查一次函数图像的性质和正方形的关系，推导得出关系式.
13、1
【解析】
根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【详解】
解：如图所示，有1个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：1．
本题考查利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为元，则：
解得：
经检验：是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为元，则：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
15、证明见解析
【解析】
试题分析：证明有三个角是直角是矩形，再证明一组邻边相等.
试题解析：
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴矩形DECF是正方形.
点睛：证明正方形
(1)对角线相等的菱形是正方形.
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形.
(3)四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.
(4)一组邻边相等的矩形是正方形.
(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(6)四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.
16、见解析
【解析】
（1）首先化简和，再分别计算乘法即可；
（2）根据勾股定理画出AC=，再确定B的位置，既要使AB=1，又要使BC=即可；
（3）利用三角形的面积公式，以BA为底，确定AB上的高为2，再计算即可．
【详解】
（1）4=4×=2，
=×=×=；
（2）如图所示：
（3）△ABC的面积1×2=1平方单位．
本题主要考查了应用与设计作图，以及勾股定理的应用和二次根式的计算，关键是正确化简AC、BC的长．
17、（1）详见解析；（2）矩形AODE面积为
【解析】
（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；
（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA=×4=2，由勾股定理得出OB=2，由菱形的性质得出OD=OB=2，即可求出四边形AODE的面积．
【详解】
（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=2，
∴四边形AODE的面积=OA•OD=2=4．
本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
18、（1）图见解析，三角形面积为2；（2）见解析.
【解析】
（1）利用数形结合的思想解决问题即可，
（2）作出边长为 的正方形即可．
【详解】
解：（1）如图①中，△ABC即为所求，因，
所以△ABC为直角三角形，则，
故答案为2；
（2）如图2中，正方形ABCD即为所求．
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、120
【解析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【详解】
解：菱形ABCD的面积
此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
20、-3
【解析】
首先设PN=x，PM=y，由已知条件得出EE′=PN=x，FF′=PM=y，A（-5,0），B（0,5），通过等量转换，列出关系式，求出，又因为反比例函数在第二象限，进而得解.
【详解】
过点F作FF′⊥OA与F′，过点E作EE′⊥OB与E′，如图所示，
设PN=x，PM=y，
由已知条件，得
EE′=PN=x，FF′=PM=y，A（-5,0），B（0,5）
∴OA=OB=5
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴FF′=AF′=y，EE′=BE′=x，
∴AF=，BE=
又∵
∴
∴
又∵反比例函数在第二象限，
∴.
此题主要考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握，即可解题.
21、1
【解析】
对于中位数，先将数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可.
【详解】
这组数据从小到大排列顺序为：23,25,25,1,27,29,30，中间一个数为1，所以这组数据的中位数为1．
故答案为：1
考核知识点：中位数.理解中位数的定义是关键.
22、1
【解析】
根据10°所对的直角边等于斜边的一半求解．
【详解】
解：∵∠C＝90°，∠A＝10°，BC＝，
∴AB＝2BC＝1．
故答案为：1．
本题考查含10°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
23、1
【解析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
，.
解得，BD=1，
故答案为：1．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）D(,)；（2）M(− ,)；
【解析】
（1）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标．
（2）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标．
【详解】
(1) 解方程x−(3+)x+3=0得：
x =,x=3
∵OA>OC
∴OA=3,OC=；
在Rt△AOC中，由勾股定理得：
AC= =2，
由轴对称得：CO=CD=，作DF⊥OA于F，
∴AD=,作DF⊥OA,且∠CAO=30°，
∴DF=，由勾股定理得：
AF= ，
∴OF=，∴OF=AF
∴D(,)；
(2)∵MN∥AC，
∠NMF=∠ADF,∠FNM=∠FAD
∵OF=AF
∴△ADF≌△NMF(AAS)，
∴MF=DF=,NF=AF=，
∴M (,− )，作MG⊥OA，
∵四边形MCDN和四边形CNMD是平行四边形
∴MC=ND,ND=CM∴MC=CM
∴GO=OF=，OE=1
∴GE= ，
∴EOC△∽△EGM
∴
∴ 解得：
MG= ，
∴M(− ,)
此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出AD然后作辅助线.
25、 (1) 8；(2) 4.
【解析】
将 x2+y2变形为(x+y)2-2xy，再将x+y与xy的值代入即可；
将整理为，再将x2+y2与xy的值代入即可.
【详解】
(1)∵x=+1,y=-1,
∴x+y=2,xy=2,
∴x2+y2
=(x+y)2-2xy
=(2)2-2×2
=12-4
=8.
(2)∵x=+1,y=-1,
∴x2+y2=8,xy=2,
∴+
=
=
=4.
本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.
26、详见解析
【解析】
根据“HL”判断证明，根据等角的补角相等得可判断，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形BCDF是平行四边形．
【详解】
，
∴AC+CF=EF+CF
，
又，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
本题考查了直角三角形的全等判定与性质以及平行四边形的判定，关键是灵活运用性质和判定解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人