2025届河南省南阳宛城区四校联考九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】

这是一份2025届河南省南阳宛城区四校联考九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限D．两支图象关于原点对称，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若分式中都扩大到原来的3倍，则分式的值是（ ）
A．扩大到原来3倍B．缩小3倍C．是原来的D．不变
2、（4分）若一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
3、（4分）实验学校九年级一班十名同学定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：5，4，3，5，5，2，5，3，4，1，则这组数据的中位数，众数分别为（ ）
A．4，5B．5，4C．4，4D．5，5
4、（4分）如图1，动点P从点B出发，以2厘米/秒的速度沿路径B—C—D—E—F—A运动，设运动时间为t（秒），当点P不与点A、B重合时，△ABP的面积S（平方厘米）关于时间t（秒）的函数图象2所示，若AB=6厘米，则下列结论正确的是 （ ）
A．图1中BC的长是4厘米
B．图2中的a是12
C．图1中的图形面积是60平方厘米
D．图2中的b是19
5、（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（ ）
A．6.5B．5.5C．8D．13
6、（4分）直线y=﹣kx+k﹣3与直线y=kx在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）分式有意义的条件是（ ）
A．B．C．且D．或
8、（4分）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（）
A．图象经过点B．当时，
C．两支图象分别在第二、四象限D．两支图象关于原点对称
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______.
10、（4分）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是__________．
11、（4分）若x1,x2是方程x2+x−1=0的两个根,则x12+x22=____________.
12、（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，且若矩形ABCD的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为______．
13、（4分）分解因式：2x2-8x+8=__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（1）分解因式：；
（2）解方程：
15、（8分）把直线向上平移m个单位后，与直线的交点为点P．
（1）求点P坐标用含m的代数式表示
（2）若点P在第一象限，求m的取值范围．
16、（8分）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于F.
（1）直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，过点A作AM⊥BE ,AM交DB的延长线于点F，其他条件不变.问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由；
（3）如图3，当BC=CE时，求∠EAF的度数.
17、（10分）A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．
（1）求y关于x的表达式；
（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；
（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚20分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．
18、（10分）某班级准备购买一些奖品奖励春季运动会表现突出的同学，奖品分为甲、乙两种，已知，购买一个甲奖品比一个乙奖品多用20元，若用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半.
（1）求购买一个甲奖品和一个乙奖品各需多少元？
（2）经商谈，商店决定给予该班级每购买甲奖品3个就赠送一个乙奖品的优惠，如果该班级需要乙奖品的个数是甲奖品的2倍还多8个，且该班级购买两种奖项的总费用不超过640元，那么该班级最多可购买多少个甲奖品？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）分解因式：________.
20、（4分）小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息，量筒中至少放入________小球时有水溢出．

21、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是 ．
22、（4分）学校位于小亮家北偏东35方向，距离为300m，学校位于大刚家南偏东85°方向，距离也为300m，则大刚家相对于小亮家的位置是________.
23、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．
（1）求证：四边形AQPE是菱形．
（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．
25、（10分）化简：，再从不等式中选取一个合适的整数代入求值．
26、（12分）完成下列运算
（1）计算：
（2）计算：
（3）计算：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
把分式中的分子,分母中的 都同时变成原来的3倍,就是用 3a, 3b分别代替式子中的a , b,看得到的式子与原式子的关系.
【详解】
将分式中都扩大到原来的3倍，得到=，则是的3倍.故答案为A.
本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质.
2、C
【解析】
根据多边形的内角和定理：（n−2）×180°求解即可．
【详解】
解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝1．
故多边形是1边形．
故选：C．
主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：（n−2）×180°．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
3、A
【解析】
根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【详解】
解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，5，这组数据的众数为：5；中位数为：4
故选：A．
本题考查(1)、众数；(2)、中位数．
4、C
【解析】
试题分析：根据图示可得BC=4×2=8厘米；图2中a=6×8÷2=24；图1中的面积为60平方厘米；图2中的b是17.
考点：函数图象的性质.
5、A
【解析】
过点D作DH⊥AC于H，利用角平分线的性质得到DF=DH，将三角形EDF的面积转化为三角形DGH的面积来求．
【详解】
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△DEF=S△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为51和38，
∴△EDF的面积=．
故选A．
本题考查的知识点是角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．
6、B
【解析】
若y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，可对A、D进行判断；若y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，则可对B、C进行判断．
【详解】
A、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以A选项错误；
B、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以B选项正确；
C、y=kx过第二、四象限，则k＜0，-k＞0，k-3＜0，所以y=-kx+k-3过第一、三象限，与y轴的交点在x轴下方，所以C选项错误；
D、y=kx过第一、三象限，则k＞0，所以y=-kx+k-3过第二、四象限，所以D选项错误．
故选B．
本题考查了一次函数的图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象为一条直线，当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．
7、B
【解析】
根据分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：x-2≠0，
∴x≠2
故选：B．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
8、C
【解析】
根据反比例函数的性质和图像的特征进行判断即可．
【详解】
解：A、因为，所以xy=2，（-1）×（-2）=2，故本选项不符合题意；
B、当x=2时，y=1，该双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，所以当x时，0＜y＜1，故本选项不符合题意；
C、因为k=2＞0，该双曲线经过第一、三象限，故本选项错误，符合题意；
D、反比例函数的两支双曲线关于原点对称，故本选项不符合题意．
故选C
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，双曲线位于第一、三象限，且在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】
∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，AD=BC=6
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵AD=6，
∴OE=AD=3.
故答案为：3
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用OE是△BCD的中位线
10、
【解析】
由图可知：a＜0，a﹣b＜0，则原式=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b=．故答案为．
11、3
【解析】
先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．
【详解】
∵x1，x2是方程x2+x−1=0的两个根，
∴x1+x2=−=−=−1, x1•x2===−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=(−1)2−2×(−1)=1+2=3.
故答案是：3.
本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系.
12、128
【解析】
根据AB=DC,∠A=∠D,AE=DE,利用SAS可判定△ABE≌△DCE,根据全等三角形的性质可得:∠AEB=∠DEC,再根据BE⊥CE,可得:∠BEC=90°,进而可得:∠AEB=∠DEC=45°,
因此∠EBC=∠ECD=45°,继而可得:AB=AE,DC=DE,即AD=2AB,根据周长=48,可求得:BC=16,AB=8,最后根据矩形面积公式计算可得:S=16×8=128 cm².
【详解】
∵AB=DC,∠A=∠D,AE=DE,
∴△ABE≌△DCE（SAS）,
∴∠AEB=∠DEC,
∵BE⊥CE,
∴∠BEC=90°,
∵∠AEB+∠BEC+∠DEC=180°,
∴∠AEB=∠DEC=45°,
∴∠EBC=∠ECD=45°,
∴AB=AE,DC=DE,
即AD=2AB,
又∵周长=48,
∴BC=16,AB=8,
S=16×8=128 cm²,
故答案为:128.
本题主要考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握矩形性质,全等三角形,等腰直角三角形的判定和性质.
13、2(x-2)2
【解析】
先运用提公因式法，再运用完全平方公式.
【详解】
：2x2-8x+8=.
故答案为2(x-2)2.
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）原方程无解．
【解析】
（1）首先利用平方差公式进行分解因式，再利用完全平方公式继续分解即可；
（2）观察可得最简公分母是2（2x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
（1）解：原式
（2）解：
经检验：是原方程的增根．
∴原方程无解．
此题主要考查了解分式方程以及分解因式，正确掌握解方式方程的方法和因式分解的方法是解题关键．
15、（1）；（2）m>1.
【解析】
根据“上加下减”的平移规律求出直线向上平移m个单位后的解析式，再与直线联立，得到方程组，求出方程组的解即可得到交点P的坐标；
根据第一象限内点的坐标特征列出不等式组，求解即可得出m的取值范围．
【详解】
解：直线向上平移m个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点P的坐标为；
点P在第一象限，
，
解得：．
考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于1、纵坐标大于1．
16、 (1) OE=OF; (2) OE=OF仍然成立，理由见解析;(3)67.5°.
【解析】
分析：（1）根据正方形的性质利用ASA判定△AOF≌△BOE，根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF；
（2）类比（1）的方法证得同理得出结论成立；
（3）由BC=CE， 可证AB=BF，从而∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，然后根据∠EAF=∠FAB+∠BAO计算即可.
详解：（1）OE=OF;
（2）OE=OF仍然成立，理由是：
由正方形ABCD对角线垂直得，∠BOC=90°，
∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°，
∴∠BOC=∠BMF.
∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E，
又∵AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF;
（3）由（2）得OE=OF，且OB=OC，则BF=CE，
∵BC=CE，
∴AB=BF，
∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°，
又∵∠BAO=45°，
∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.
点睛：本题考查正方形的性质,三角形全等的判定与性质,三角形外角的性质，是一道结论探索性问题.解答此类题我们要从变化中探究不变的数学本质,再从不变的数学本质出发,寻求变化的规律,通过观察,试验,归纳,类比等获得数学猜想,并对所作的猜想进行严密的逻辑论证,考查了学生对知识的迁移能力,分析问题,解决问题的能力.
17、（1）y=-90x+1；（2）s=1-150x；（3）a=108（千米/时），作图见解析．
【解析】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b的值．
（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．
（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=-90x+1．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．
【详解】
（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b
∵图象经过点（0，1），（2，120），
∴
解得
∴y=-90x+1．
即y关于x的表达式为y=-90x+1．
（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距1千米．
∴甲乙相遇用时为：1÷（90+60）=2，
当0≤x≤2时，函数解析式为s=-150x+1，
2＜x≤时，s=150x-1
＜x≤5时，s=60x；
（3）在s=-150x+1中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．
因为乙车比甲车晚20分钟到达，20分钟=小时，
所以在y=-90x+1中，当y=0，x=．
所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为+-2=（小时）．
乙车与甲车相遇后的速度a=（1-2×60）÷=108（千米/时）．
∴a=108（千米/时）．
乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．
考点：一次函数的应用．
18、（1）购买一个甲奖品需元，买一个乙奖品需要元；（2）该班级最多可购买个甲奖品.
【解析】
（1）设买一个乙奖品需要x元，购买一个甲奖品需元,根据题意用400元购买甲奖品的个数是用160元购买乙奖品个数的一半，列出分式方程，然后求解即可；
（2）设该班级可购买a个甲奖品,根据题意列出一元一次不等式，然后求解即可.
【详解】
解：设买一个乙奖品需要元，购买一个甲奖品需元，
由题意得：，
经检验是原方程的解，
则
答：购买一个甲奖品需元，买一个乙奖品需要元；
设该班级可购买个甲奖品，
根据题意得，
解得，
答：该班级最多可购买个甲奖品.
分式方程和一元一次不等式在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、.
【解析】
首先提取公因式3ab，再运用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】
解：=
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解．
20、10
【解析】
（36-20）÷3=2（cm）.
设放入x小球有水溢出，由题意得
2x+30>49, ∴x>9.5, ∴放入10小球有水溢出.
21、24.
【解析】
试题分析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24.
考点：1平行四边形；2角平分线性质；3勾股定理；4等腰三角形.
22、北偏西25°方向距离为300m
【解析】
根据题意作出图形，即可得到大刚家相对于小亮家的位置.
【详解】
如图，根据题意得∠ACD=35°，∠ABE=85°，AC=AB=300m
由图可知∠CBE=∠BCD，
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB，
即∠ABE-∠CBE=∠ACD+∠BCD，
∴85°-∠CBE=35°+∠CBE，
∴∠CBE=25°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，则BC=300m,
∴大刚家相对于小亮家的位置是北偏西25°方向距离为300m
故填：北偏西25°方向距离为300m.
此题主要考查方位角的判断，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.
23、1
【解析】
平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】
解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=3，
∴DE=2OD=1．
故答案为：1．
本题考查了三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）结论：四边形EQBF是平行四边形．见解析；（3）当P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ.
【解析】
（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EPA，得出AE＝EP，即可得出结论；
（2）只要证明EQ∥BC，EF∥AB即可；
（3）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．
【详解】
（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形，
∴∠BAD＝∠EPA，
∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EPA，
∴EA＝EP，
∴四边形AEPQ为菱形．
（2）解：结论：四边形EQBF是平行四边形．
∵四边形AQPE是菱形，
∴AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，
∴EQ∥BC
∵EF∥QB，
∴四边形EQBF是平行四边形．
（3）解：当P为EF中点时， S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
∵P为EF中点
则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．
此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
25、，1
【解析】
现将括号内的式子通分，再因式分解，然后约分，化简后将符合题意的值代入即可．
【详解】
原式
选时，原式
此题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解题关键在于取合适的整数值求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
26、（1）（2）1；（3）
【解析】
（1）先把二次根式化简，然后合并即可；
（2）根据二次根式的除法法则运算；
（3）利用乘法公式展开，然后合并即可．
【详解】
解：（1）原式＝6﹣4+
＝2+；
（2）原式＝
＝4﹣3
＝1；
（3）原式
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分