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    新疆乌鲁木齐市第七十中学2025届高三上学期9月阶段性诊断数学试题(问卷)

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    新疆乌鲁木齐市第七十中学2025届高三上学期9月阶段性诊断数学试题(问卷)

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    这是一份新疆乌鲁木齐市第七十中学2025届高三上学期9月阶段性诊断数学试题(问卷),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题(每题5分,共40分)
    1.已知集合,,则( )
    A.B.C.D.
    2.已知x,y为正实数,则“”是“”的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    3.已知函数的定义域为,满足,当时,,则的大致图象为( )
    A. B. C. D.
    4.已知向量,满足,且,则在方向上的投影为( )
    A.3B.-3C.-D.
    5.已知函数在上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    6.已知,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    7.若两个正实数x,y满足,且不等式 有解,则实数m的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.若函数在内恰好存在8个,使得,则的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题(每题6分,共18分)
    9.下列各式中不能化简为的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.正方形ABCD的边长为4,E是BC中点,如图,点P是以AB为直径的半圆上任意点,,则( )
    A.最大值为1B.最大值为2
    C.最大值是8D.最大值是
    11.已知当时,,则( )
    A.B.
    C.D.
    三、填空题(每题5分,共15分)
    12.已知平面向量,的夹角为,则 .
    13.函数的所有零点之和为 .
    14.已知函数的图象经过原点,若在上恰好有3个不同实数使得对任意x都满足,且对任意,使得在上不是单调函数,则的取值范围是 .
    四、解答题(共77分)
    15.(13分)已知函数,其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使存在,并完成下列两个问题.
    (1)求的值;
    (2)当时,若曲线与直线恰有一个公共点,求的取值范围.
    条件①:;
    条件②:是的一个零点;
    条件③:.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    16.(15分)已知函数.
    (1)求曲线在点处的切线方程,
    (2)证明:.
    17.(15分)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
    (1)求C的值;
    (2)若,求的周长的最大值.
    18.(17分)如图,在四棱锥中,,四边形ABCD是正方形,,E是棱PD上的动点,且.

    (1)证明:平面ABCD;
    (2)是否存在实数,使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是?若存在.求出的值;若不存在,请说明理由.
    19.(17分)若函数在上存在,使得,,则称是上的“双中值函数”,其中称为在上的中值点.
    (1)判断函数是否是上的“双中值函数”,并说明理由;
    (2)已知函数,存在,使得,且是上的“双中值函数”, 是在上的中值点.
    ①求的取值范围;
    ②证明:.
    答案:
    1.B
    2.B
    3.D
    4.B
    5.C
    6.C
    7.D
    8.D
    9.B
    10.ACD
    11.BCD
    12.
    13.15
    14.
    15选条件①:无意义,所以选条件①时不存在,故不能选①,
    选条件②.
    由题设,所以.
    因为, 所以,所以.
    所以.
    选条件③,由题设.整理得.
    以下同选条件②.
    (2)由(1)
    因为, 所以.
    于是,当且仅当,即时,取得最大值;
    当且仅当,即时,取得最小值.
    又,即时,.
    且当 时, 单调递增,所以曲线与直线恰有一个公共点,则或
    的取值范围是.
    16.(1),,.
    故曲线在点处的切线方程为.
    (2)由(1)得.
    令函数,则,所以是增函数.
    ,,
    所以存在,使得,即.
    所以当时,,当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增.
    .
    因为,所以,
    所以.
    故.
    17.(1)因为,所以,
    即,又,所以,
    所以,又,即;
    (2)因为,由余弦定理可知,,
    又因为,所以,
    所以,
    解得,当且仅当时,等号成立,
    所以,即,
    所以周长的最大值为12.
    18.(1)因为四边形是正方形,则,
    且,平面,,所以平面,
    且平面,可得,
    又因为,所以,即,
    由平面,且,所以平面.
    (2)由(1)可知:平面,且,
    如图,以A为坐标原点建立空间之间坐标系,

    不妨设,则,
    可得,
    则,可得,
    设平面平面AEC的法向量,则,
    令,则,可得,
    且平面PAB的法向量,
    由题意可得:,
    整理得,解得或(舍去),
    所以存在实数,的值为.
    19.(1)函数是上的“双中值函数”.
    理由如下:
    因为,所以.
    因为,,所以
    令,得,即,解得.
    因为,所以是上的“双中值函数”.
    (2)①因为,所以.
    因为是上的“双中值函数”,所以.
    由题意可得.
    设,则.
    当时,,则为减函数,即为减函数;
    当时,,则为增函数,即为增函数.
    故.
    因为,所以,所以,即的取值范围为;
    ②证明:不妨设,
    则,,即,.
    要证,即证.
    设,
    则.
    设,则,
    所以φx在0,1上单调递增,所以,所以,
    则在上单调递减.
    因为,所以,即.
    因为,所以.
    因为,所以.
    因为,所以.
    由①可知在上单调递增,所以,即得证.

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