浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年八年级上学期9月月考数学试题（解析版）（word版，含答案解析）

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1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得答案．
本题考查了轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A. 2cm、3cm、4cmB. 3cm、6cm、7cmC. 4cm、5cm、9cmD. 5cm、7cm、8cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，逐一进行判断即可．
【详解】A、，可以组成三角形，不符合题意；
B、，可以组成三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，符合题意；
D、，可以组成三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3. 下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是( )
A. x＝1B. x＝-1C. x＝2D. x＝-2
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的乘方法则、举反例说明假命题的相关概念解答．
【详解】解：，
但，
当时，说明命题“若，则x>1”是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
4. 在中，，则此三角形是( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据比例设分别为然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值，再求出最大的角即可得解．
【详解】解：设分别为
∵，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．
5. 如图，有下列四种结论：①AB＝AD；②∠B＝∠D；③∠BAC＝∠DAC；④BC＝DC．以其中的2个结论作为依据不能判定△ABC≌△ADC的是( )
A. ①②B. ①③C. ①④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL依次对各选项分析判断即可．
【详解】A、由AB=AD，∠B=∠D，虽然AC=AC，但是SSA不能判定△ABC≌△ADC，故A选项与题意相符；
B、由①AB=AD，③∠BAC=∠DAC，又AC=AC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项与题意不符；
C、由①AB=AD，④BC=DC，又AC=AC，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故C选项与题意不符；
D、由②∠B=∠D，③∠BAC=∠DAC，又AC=AC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC，故D选项与题意不符；
故选A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6. 已知△ABC≌△DEF，∠A＝∠B＝30°，则∠E度数是（ ）
A. 30°B. 120°C. 60°D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】由全等三角形对应角相等可得∠E=∠B，由此可得到正确答案.
【详解】解：∵△ABC ≌△DEF，∠A=∠B=30°
∴∠E=∠B=30°
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．
7. 如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：连接,根据作图可知，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8. 如图，在三角形纸片中， cm， cm， cm，将沿过点B的直线折叠，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（ ）
A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】解：沿折叠点落在边上的点处，
，，
，，
，
的周长
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
9. 如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A. α﹣β＝2xB. 2β+α＝90°+2x
C β+α＝90°+xD. β+2α＝180°﹣2x
【答案】A
【解析】
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再结合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，
连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
此时，，．
∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，
∴，，
∴，即：，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10. 如图，在中，，，垂足分别为D，E，、交于点H，已知，，则的长是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，得，得到，结合，得，设，利用三角形全等证明计算即可．
本题考查了垂直的应用，对顶角的性质，三角形全等的判定和性的应用，熟练掌握全等是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴
解得．
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．
11. 命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是_____（填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【解析】
【分析】根据三角形内角和为180°进行判断即可．
【详解】∵三角形内角和180°，
∴三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；
故答案为真命题．
【点睛】本题考查命题与定理.判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
12. 中，，那么与相邻的一个外角等于_________
【答案】117°##117度
【解析】
【详解】的外角=，
故答案为：117°
13. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【详解】解：BD是的中线，即点D是线段AC的中点，
，
，的周长为12，
，即，
解得：，
，
则的周长是．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
14. 如图，是一个的正方形网格，则________．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据三角形全等求出和的数量关系以及和的数量关系，即可求出四个角之和．
【详解】解：如图所示，
在中和中，，
．
，
，
．
同理可证：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的性质以及观察图形分析出相等的边长和角度．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
15. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°．
（1）则∠BAE＝ ；
（2）求∠DAE的度数．
【答案】（1）40°；（2）20°
【解析】
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠BAE和∠EAC的度数；
（2）在直角△ACD中根据三角形内角和定理，得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出．
【详解】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC＝40°；
（2）∵AD⊥BC，
，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝20°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义和两角的差，掌握三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余是解题的关键．
四、解答题：本题共9小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
（1）画出中边上的高：
（2）画出中边上的中线；
（3）求的面积．
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如下图，即为所求：
【小问2详解】
如下图，即为所求
【小问3详解】
，
∴．
17. 已知，四边形，与交于点，根据提示完成以下证明过程：

（已知），
_____（______），
____________（______），
______ （______）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质、平行线的判定与性质即可得到结论．
【详解】解：（已知），
（全等三角形的对应角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠5；全等三角形的对应角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
18. 小王准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养家兔，已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.
(1)请用a表示第三条边长.
(2)问第一条边长可以为7米吗？请说明理由.
【答案】（1）（28－3a）；（2）不可以，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长；
（2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可.
【详解】解：（1）∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米
∴第二条边长为（2a+2）米，
由题意可知：第三条边长为[30－a－（2a+2）]=（28－3a）米；
（2）若a=7，则第二条边长为（2×7+2）=16米，第三条边长为（28－3×7）=7米
∵7＋7＜16
∴此时不能构成三角形，
∴第一条边长不可以为7米.
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键.
19. 如图，在中，是边上的中线，E是边上一点，过点C作交的延长线于点F．
（1）求证：．
（2）当于点D，，时，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到 ，由是边上的中线，得到于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到求得于是得到结论．
【小问1详解】
证明： ∵，
∴，，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
20. 如图，中，，分别是及外角的平分线，且交于点，连结交于点，已知．
（1）求证：M为的中点；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）50°．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线可知，，由可知：，，由等腰三角形的性质可知，，从而得证；
（2）根据与的度数求出的度数，利用角平分线的定义可知的度数．
【小问1详解】
证明：是的平分线，
，
，
，
，
，
同理，，
，
为的中点；
【小问2详解】
解：，，
，
是外角的平分线，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的定义，解题的关键是根据角平分线的定义求出，，本题涉及等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，本题属于基础题型．
21. 如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，到点C停止，速度为，设运动时间为
（1）如图①，当______时，的面积等于面积的一半；
（2）如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，到点C停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使与全等，求点Q的运动速度．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据动点P以的速度移动，运动时间为 ，
则，根据三角形面积列式解答即可．
（2）根据，，，根据，恰好使与全等，分类解答即可．
本题考查了直角三角形的面积，三角形全等的性质，分类思想，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：设边上高为，
∵，，，，
∴，，
∴，
根据动点P以的速度移动，运动时间为 ，
则，
当点P在上时，根据题意，得，
整理，得；
当点P在上时，，
根据题意，得，
整理，得；
综上所述，当或，符合题意，
故答案为：或．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
设点Q的运动速度为，运动时间为 ，
则，，
∵，且与全等，
当时，，
∴
解得，
此时点Q的运动速度为；
当时，，
∴
解得，
此时点Q的运动速度为．
故点Q的运动速度为或．
22. 如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为________．
【答案】5
【解析】
【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线平分三角形的面积和全等三角形的面积相等，即可得解．
【详解】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的中线平分三角形的面积．遇到角平分线和垂线，常常构造等腰三角形来进行解题．通过构造等腰三角形证明三角形全等是解题的关键．
23. 如图，中，，，，，M为直线上的一个动点，如图作得到线段且，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】在上截取，连接，证明，过点E作于点G，根据垂线段最短，解答即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
过点E作于点G，
根据垂线段最短，得当点M与点G重合时，取得最小值，
∵，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握全等的性质，垂线段最短是解题的关键．
24. 在一个三角形中，若一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们将它称为“灵动三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以为端点作射线交线段于点（规定）
（1） °， （“是”或“不是”灵动三角形）；
（2）若，求证：为“灵动三角形”；
（3）当为“灵动三角形”时，求的度数．
【答案】（1），是
（2）见解析 （3）度数为或或
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断；
（2）根据“灵动三角形”的概念证明即可；
（3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为“灵动三角形”，
故答案为；是；
【小问2详解】
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴为“灵动三角形”；
【小问3详解】
∵为“灵动三角形”，
∵点在线段上，，
∵，
∴，
Ⅰ、当时，，
∴，
Ⅱ、当时，
∴
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当时，
∴，
∴，
∴，
Ⅳ、当时，
∴，
∴，
∴，
Ⅴ、当时，
∴，
∴，
∵点与点不重合，
∴此种情况不成立，
Ⅵ、当时，
∴°，
∴，
∴此种情况不存在，
综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．