湖南省湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考（二）数学试卷+答案

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命题人､审题人：高三数学备课组
时量：120 分钟 满分：150 分
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
5. 如图，圆柱的母线长为 4, AB,CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且 AB ⊥ CD ，三棱锥
司1. 复数
1
z =
1+ i 的虚部是（ ）
A. 1 B.
1
2
C.
1
− D. −1
2

2. 已知 a 是单位向量，向量b 满足 a −b = 3
，则 b 的最大值为（ ）
3. 已知角θ 的终边在直线 y = 2x 上，则 cs
θ
的值为（ ）
sinθ + csθ
2 1 2 − C.
A.
− B.
3 3 3
D.
1
3
4. 已知函数 ( )
f x
 x + − a x
0，则实数 a 的取值范围为（ ）
A
a ≤ 3 B. 3
a ≥ C. a ≤1 D. a ≥1
4 4
A− BCD 的体积为
8
3
，则圆柱的表面积为（ ）
6. 已知抛物线 ( )
C y2 = px p > 的焦点 F 到准线的距离为 2 ，过焦点 F 的直线l 与抛物线交于 A, B 两
: 2 0
点，则 2 AF + 3 BF 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知定义域为 R 的函数 f (x), g (x)满足： g (0) ≠ 0, f (x)g (y)− f (y)⋅ g (x) = f (x − y)，且
g x g y − f x f y = g x − y ，则下列说法正确的是（ ）
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A. f (0) =1
B. f (x)是偶函数
1
C. 若 f ( )+ g ( )= ，则 ( ) ( )
1 1 2024 2024 2
2
f − g = −
2024
D. 若 g (1)− f (1) =1，则 f (2024)+ g (2024) = 2
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
C. 数据13, 27, 24,12,14, 30,15,17,19, 23的第 70 百分位数是 23
D. 若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5，方差为 2，现样本中又加入一个新数据 5，此时样本容量为
9，平均数不变，方差变小
f x = ax3 −bx + 2 ，则（ ） 10. 已知函数 ( )
A. f (x)的值域为 R
B. f (x)图象的对称中心为(0, 2)
司A. 10π B.
9
2
π
C. 4π D. 8π
A.
6
5
+ B. 2 6 + 5 C. 4 6 +10 D. 11
2
7. 设函数 f (x)= cs(x +ϕ)，其中 π
ϕ < .若∀x∈R ，都有
2
f  π + x = f  π − x
 4   4 
.则 y = f (x)的图
象与直线
1
y = x −1的交点个数为（ ）
4
1
A. 一个样本的方差 ( ) ( ) ( )
s =  x − 2 + x − 2 ++ x − 2 
2
3 3 3
1 2 20
20
，则这组样本数据的总和等于 60
B. 若样本数据 x1, x2 ,, x10 标准差为 8，则数据 2x1 −1, 2x2 −1,，
的
2x −1的标准差为 16
10
C. 当b −3a > 0 时， f (x)在区间(−1, 1)内单调递减
D. 当 ab > 0 时， f (x)有两个极值点
11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为
圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数 f (x)= sinx +1是圆
O : x + (y −1) =1的一个太极函数
2 2
B. 对于圆O : x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆O : x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数 f (x)= kx − kx(k ∈R)是圆O : x2 + y2 =1的太极函数，则 k ∈(−2, 2)
3
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
c
PF ⊥ F F PF F 的内切圆的半径为
1 1 2 , 1 2 ，则椭圆C 的离心率为______.
3 x
f x = ax + x > ，若 a 是从1, 2,3, 4 四个数中任取一个，b 是从 4, 8,12,16, 20, 24 六
x − 4
14. 设函数 ( ) ( 4)
个数中任取一个，则 f (x)> b 恒成立的概率为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知(b + c)(sinB −sinC)= (a − c)sinA .
（1）求 B ；
司12. 曲线 y = 2x − lnx 在点(1,2)处的切线与抛物线
y = ax − ax + 相切，则 a =__________.
2 2
13. 已知椭圆 :
2
2 +
2
2 = 1( > > 0)的左､右焦点分别为 F1, F2 ，若 P 为椭圆C 上一点，
（2）若ABC 的面积为 3 3
4
，且 AD = 2DC ，求 BD的最小值.
16. 已知双曲线 E 的焦点在 x 轴上，离心率为 2 3
3
，点(3, 2)在双曲线 E 上，点
F F 分别为双曲线的
1, 2
左､右焦点.
（1）求 E 的方程；
（2）过 F2 作两条相互垂直 直线l1 和l2 ，与双曲线的右支分别交于 A ，C 两点和 B, D两点，求四边形
的
ABCD 面积的最小值.
上的动点.
存在，请说明理由.
18. 若无穷正项数列{ } a < M n∈N ；②{ }
a 同时满足下列两个性质：①存在 M > 0 ，使得 , * a 为单调
n n n
数列，则称数列{ }
a 具有性质 P .
n
（i）判断数列{ },{ }
a b 是否具有性质 P ，并说明理由；
n n
（ii）记 Sn = a1b1 + a2b2 ++ anbn ，判断数列{ }
S 是否具有性质 P ，并说明理由；
n
1
（2）已知离散型随机变量 X 服从二项分布 B(n p) < p < ，记 X 为奇数的概率为
, ,0 c .证明：数列
n
2
{ }
c 具有性质 P .
n
x−2 4e
19 已知函数 ( )= − ， ( )
f x 2x
g x = −x2 + 3ax − a2 −3a （ a∈R 且 a < 2）.
x
（1）令ϕ (x) = f (x)− g (x),h(x)是ϕ (x)的导函数，判断 h(x)的单调性；
司17. 如图，侧面 BCC1B1 水平放置的正三棱台 ABC − A1B1C1, AB = 2A1B1 = 4，侧棱长为 2, P 为棱
A B
1 1
（1）求证： AA1 ⊥ 平面
BCC B ；
1 1
（2）是否存在点 P ，使得平面 APC 与平面 A1B1C1 的夹角的余弦值为 5 33
33
？若存在，求出点 P ；若不
n
a = n − b =  
2 1,
1
（1）若
n n
 
3
，
（2）若 f (x)≥ g (x)对任意的 x∈(1,+∞)恒成立，求 a 的取值范围.
司