重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（含答案），共5页。试卷主要包含了 单选题， 多选题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.命题"∀x>1,x2−m>1"的否定是( )
A.∃x>1,x2−m≤1B.∃x≤1,x2−m≤1
C.∀x>1,x2−m≤1D.∀x≤1,x2−m≤1
2.已知a,b,c∈R且a>b,则下列不等式一定成立的是( )
A.1ab2C.a|c|>b|c|D.ac2+1>bc2+1
3.函数f(x)=x22|x|−2的图象可能是( )
A.B.C.D.
4.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关,在全校学生中选取了男、女生各n人进行调查,并绘制如下图所示的等高堆积条形图,故由此估算所得选项正确的是( )
参考公式及数据:χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.
A.参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B.全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C.若n=50,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D.若n=100,依据α=0.01的独立性检验,可以认为游泳运动的喜好和性别有关
5.已知函数f(x)=x+4x+3lnx在x∈(a,2−3a)内有最小值点，则实数a的取值范围是( )
A.a>1B.13f(t)−sin⁡t，
即g(π2−t)>g(t)，故|π2−t|>|t|，解得t0)，则f′(x)=1−1x，
设切点为(x0，y0)，切线的斜率k=f′(x0)=1−1x0，且切线过点(0,0)，
则可得方程组{y0=x0−ln⁡x0k=1−1x0=y0−0x0−0，可化为ln⁡x0=1，解得x0=e，y0=e−1，k=1−1e，
故所求切线方程为y−(e−1)=(1−1e)(x−e)，即y=(1−1e)x；
(2)由g(x)=f(x)−x，得a=lnxx2，令ℎ(x)=lnxx2，求得ℎ′(x)=1−2lnxx3，
令ℎ′(x)>0得00，则F′(x)=ex−exxex+x−1x3≥0对∀x∈[1,+∞)恒成立，则F(x)在[1,+∞)上单调递增，可得F(x)≥F(1)=0，
综上所述：F(x)≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，即证x02⋅f(x0)+2x02⋅e1−x0+1≥0成立.
19.（17分）(1)在不大于24的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以F2(4)=5.
在不大于33的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以F3(3)=9.
(2)在不大于6n的所有正整数中，能被2整除的数有6n2个，能被3整除的数有6n3个，能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有6n6个，所以满足题意的表达式为F6(n)=6n−6n2−6n3+6n6=6n3=2×6n−1；
(3)由(2)知，当n=1时，S1=5F6(1)−1=52−1=5，所以[S1]=5，
当n≥2时，5F6(n)−1=52⋅6n−1−1=6−12⋅6n−1−1b>0,c>0，则ba