黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝C．y＝x2+2D．y＝x﹣2
2．（3分）已知⊙O的半径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．无法确定
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列结论正确的是（ ）
A．csinA＝aB．bcsB＝cC．atanA＝bD．tanB＝
4．（3分）如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝76°，则∠C的度数为（ ）
A．24°B．33°C．38°D．76°
5．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＜y2时x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么∠α的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，较长的弧所对的弦较大
D．相等的弦所对的弧相等
9．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B．C．D．
10．（3分）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B．点P为直线l在第一象限的点．作△POB的外接圆⊙C，延长OC交⊙C于点D，当△POD的面积最小时，则⊙C的半径长为（ ）
A．B．2C．D．3
二．填空题（共10小题，每题3分，共计30分.）
11．（3分）函数y＝（x﹣5）2+5的顶点坐标是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠B＝35°，∠APD＝77°，则∠A的大小是 度．
14．（3分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝ ．
15．（3分）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是 ．
16．（3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
17．（3分）如图，已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP的长为 ．
18．（3分）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算tan22.5°时，构造出如图所示的图形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°．根据此图可求得tan22.5°的结果 ．
19．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交⊙O于点E，连接BE，若∠A＝100°，∠E＝60°，则∠OCD的大小为 °．
20．（3分）如图抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a﹣b+c＜0；③b+2a＝0；④当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，其中结论正确的结论的序号是 ．
三.解答题（共8小题，共计60分.）
21．（6分）计算下列各题：
（1）（﹣2）0﹣2cs30°+|﹣2|．
（2）．
22．（8分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+m2，若它的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围．
23．（8分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，tanA＝2cs∠BCD．
（1）求证：BC＝2AD．
（2）若csB＝，AB＝10，求△ABC的面积．
24．（8分）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12．
（1）求线段OD的长；
（2）当EO＝BE时，求DE的长．
25．（6分）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）．
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90．）
26．（8分）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元
（1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C．
（1）求证：∠M＝∠D；
（2）若BC＝4，，求⊙O的直径．
28．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x轴正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2023-2024学年黑龙江省大庆市萨尔图区万宝学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每题3分，共计30分.）
1．【答案】C
【解答】解：A、y＝2x+1是一次函数，故本选项错误；
B、y＝，未知数在分母上，不是二次函数，故本选项错误；
C、y＝x2+2是二次函数，故本选项正确；
D、y＝x﹣2是一次函数，故本选项错误．
故选：C．
2．【答案】A
【解答】解：∵点P到圆心的距离为3cm，而⊙O的半径为4cm，
∴点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P在圆内，
故选：A．
3．【答案】A
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
sinA＝，csinA＝a，正确；
B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
csB＝，本项错误；
C、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
tanA＝，btanA＝a，本项错误；
D、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
tanB＝，本项错误，
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠AOB＝76°，
∴∠C＝38°，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，
从图象上看出，
当x＞2时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1＜y2，
当x＜﹣1时，y1的图象在y2的图象的下方，即y1＜y2．
∴当x＜﹣1或x＞2时，y1＜y2．
故选：D．
6．【答案】A
【解答】解：
过A点作AB⊥x轴，
在Rt△OAB中，OA＝，
∴∠α的正弦值＝，
故选：A．
7．【答案】C
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
8．【答案】B
【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
故原说法错误，本选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，
故说法正确，本选项符合题意；
C、在一个圆中半圆弧所对的弦最长，其它非半圆弧所对的弦均小于半圆弧所对的弦（直径），
故原说法错误，本选项不符合题意；
D、同一根弦对应着两条弧，它们不一定相等，即相等的弦所对的弧不一定相等，
故原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
9．【答案】C
【解答】解：连接AC，
由网格特点和勾股定理可知，
AC＝＝，AB＝2，BC＝＝，
AC2+AB2＝10，BC2＝10，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ABC＝＝＝，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：∵直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝8，
∴A（8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB＝＝＝4，
在⊙C中，∵OD是直径，
∴∠OPD＝90°，
∵∠ABO＝∠D，
∴tanD＝tan∠ABO＝＝2，
∴＝2，
∴OP＝2DP，
∴S△POD＝＝，
∴当S△POD最小时，则OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴OP＝＝＝，
∵sinD＝sin∠ABO，
∴，
∴，
∴OD＝4，
∴⊙C半径为2．
故选：B．
二．填空题（共10小题，每题3分，共计30分.）
11．【答案】（5，5）．
【解答】解：∵二次函数顶点式解析式为y＝（x﹣5）2+5，
∴二次函数y＝（x﹣5）2+5的图象的顶点坐标是（5，5），
故答案为：（5，5）．
12．【答案】．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
13．【答案】42．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，
∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，
故答案为：42．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，
∴m+1＞0且m2﹣9＝0，
∴m＝3．
故答案为3．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，
∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝100m，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝100m，
在Rt△ACD中，
∵CD＝100m，∠ACD＝60°，
∴AD＝CD•tan60°＝100×＝100m，
∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（+1）m．
故答案为：100（+1）米．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，
由二次函数y＝（x﹣1）2+1可知，其对称轴为x＝1，
∵x1＞x2＞1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
17．【答案】5．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OB，则∠OCB＝90°，
∵PA＝4，PB＝6，
∴AB＝10，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AC＝BC＝5，
∴PC＝AC﹣AP＝5﹣4＝1，
∵OB＝7，
∴OC＝＝＝2，
∴OP＝＝＝5．
故答案为：5．
18．【答案】．
【解答】解：设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝，
故答案为：．
19．【答案】50．
【解答】解：∵EC是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠E＝30°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠OCD＝∠BCD﹣∠BCE＝50°，
故答案为：50．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，因此①符合题意；
抛物线过（﹣1，0），当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，因此②不符合题意；
对称轴为x＝1＝﹣，即2a+b＝0，因此③符合题意；
由于对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），因此与x轴的另一个交点为（3，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞3，所以④不符合题意；
由于对称轴为x＝1，开口向下，因此当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤符合题意；
由图象可知，直线y＝2与抛物线有两个不同交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不等的实数根，因此⑥符合题意；
综上所述，正确的结论有：①③⑤⑥，
故答案为：①③⑤⑥．
三.解答题（共8小题，共计60分.）
21．【答案】（1）3﹣2；（2）2﹣．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2﹣
＝1﹣+2﹣
＝3﹣2；
（2）原式＝﹣3×+
＝﹣+
＝2﹣．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2＞0，解得m＜，
所以m的取值范围为m＜．
23．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）△ABC的面积为10．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
在Rt△ACD中，tanA＝，
在Rt△CDB中，cs∠BCD＝，
∵tanA＝2cs∠BCD，
∴＝，
∴BC＝2AD；
（2）解：在Rt△CDB中，csB＝＝，
∵BC＝2AD，
∴＝，
∵AB＝10，
∴BD＝AB＝6，
∴BC＝＝＝8，
∴CD＝＝＝2，
∴△ABC的面积＝AB•CD＝×10×2＝10，
∴△ABC的面积为10．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接OB．
∵OD过圆心，且D是弦BC中点，
∴OD⊥BC，BD＝BC，
在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2．
∵BO＝AO＝8，BD＝6．
∴OD＝2；
（2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2．
设BE＝x，则OE＝x，DE＝6﹣x．
（2）2+（6﹣x）2＝（x）2，
解得x1＝﹣16（舍），x2＝4．
则DE＝2．
25．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan42.0°＝≈0.9，
∴AD≈0.9BD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，
∴tan36.9°＝≈0.75，
∴CD≈0.75BD，
∵AC＝AD﹣CD，
∴15＝0.15BD，
∴BD＝100（米），
∴CD＝0.75BD＝75（米），
答：山高CD为75米．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在y＝﹣2x+80中，令x＝25得：
y＝﹣2×25+80＝30，
故答案为：30；
（2）根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（3）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值，最大值为200，
答：该种健身球销售单价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
27．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C，
∴，
∴∠M＝∠D．
（2）解：连接AC，
∵CD⊥AB，
∴，
∴∠CAB＝∠M，
∵，
∴，
∵BC＝4，
∴AB＝6．
28．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，解得b＝2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0可得﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON＝3t，OM＝2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t，﹣4t2+4t+3），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON＝PM，
∴3t＝﹣4t2+4t+3，解得t＝1或t＝﹣（舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA＝OB＝3，且可求得直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB＝QB或OQ＝BQ两种情况，
由题意可知OM＝2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ＝＝，BQ＝＝|2t﹣3|，
又由题意可知0＜t＜1，
当OB＝QB时，则有|2t﹣3|＝3，解得t＝（舍去）或t＝；
当OQ＝BQ时，则有＝|2t﹣3|，解得t＝；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．