湖南省长沙市2024-2025学年高三8月入学考试数学模拟考

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1．已知复数z满足，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知某地最近10天每天的最高气温（单位：℃）分别为，则10天最高气温的第80百分位数是（ ）
A．15B．21C．21.5D．22
5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
7．长方体 中，与平面所成的角为，与所成的角为，则下列关系一定成立的是（ ）
A． B．
C．D．
8．已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为（ ）
A．8B．16C．D．
二、多选题
9．已知数列中，，能使的n可以为（ ）
A．22B．24C．26D．28
10．方程所表示的曲线可能是（ ）．
A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆
11．如图，正八面体的每一个面都是正三角形，并且四边形，四边形，四边形都是正方形，若正方形的边长为，则（ ）
A．正八面体的表面积为
B．正八面体的体积为
C．正八面体的外接球的表面积为
D．正八面体的内切球的体积为
三、填空题
12．已知，，且，则 .
13．已知的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则 ．
14．已知函数，若，且的最大值为5，则实数的值为 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，，，已知
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值．
16．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
17．如图，在三棱柱中，为等边三角形，平面平面，四边形为菱形，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．中国首个海外高铁项目——雅万高铁全线长142.3千米，共设有哈利姆站、卡拉旺站、帕达拉朗站、德卡伯尔站4个车站.在运营期间，铁路公司随机选取了100名乘客的乘车记录，统计分析，得到下表（单位：人）：
用频率代替概率，根据上表解决下列问题：
(1)在运营期间，从卡拉旺站上车的乘客中任选3人，设这3人到德卡鲁尔站下车的人数为随机变量，求的分布列及其数学期望；
(2)已知地处在哈利姆站与卡拉旺站之间，地居民到哈利姆站乘车的概率为，到卡拉旺站乘车的概率为（地居民不可能在卡拉旺站下车）.在高铁离开卡拉旺站时，求从哈利姆站上车的乘客来自地的概率与从卡拉旺站上车的乘客来自地的概率的比值.
19．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点x0,fx0处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若，求的取值范围．下车站上车站
卡拉旺站
帕达拉朗站
德卡鲁尔站
总计
哈利姆站
5
20
15
40
卡拉旺站
10
20
30
帕达拉朗站
30
30
总计
5
30
65
100