重庆市铜梁二中2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市铜梁二中2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2﹣1＝0D．
3．（4分）下列属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了10米B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千
4．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．C．y＝x2D．y＝x﹣2
5．（4分）如果x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝5的根，则k的值为（ ）
A．4B．1C．﹣3D．﹣1
6．（4分）如图，将Rt△ABC中，∠B＝32°，∠C＝90°，将其绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ）
A．32°B．90°C．122°D．132°
7．（4分）如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
8．（4分）在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
9．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＜0；
③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；
④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）将方程2x2﹣10x＝3化为一般式为 ，一次项系数是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是 ．
13．（4分）如图所示，△ABC绕着点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，那么，线段OB与线段 相等．
14．（4分）方程x2＝x的解是 ．
15．（4分）二次函数y＝（k+2）x2的图象如图所示，则k的取值范围是 ．
16．（4分）方程x2﹣2x＝0的判别式Δ＝ ．
17．（4分）若抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，则m的取值范围为 ．
18．（4分）定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789．而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789．已知四位“格调数”m和n，则最大的m是 ，若m﹣n＝2222，且m能被3整除，则m的值为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，其中，第19题8分，其余各题10分，共78分）
19．（8分）解方程．
（1）（x﹣1）2＝3
（2）x2+3x﹣1＝0
20．（10分）已知把抛物线y＝﹣+3先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象．
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．（10分）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．
22．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
（1）由表格信息，不求解析式直接写出二次函数图象的顶点坐标，并填出表格中空缺的数据；
（2）在图中画出该二次函数的图象，写出该图象的性质（一条即可）．
23．（10分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
（1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
24．（10分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．现为了增加销量，决定对该牛奶降价销售，市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
（1）超市要获得720元的利润，则每箱牛奶售价应定为多少钱？
（2）该超市能否每月获得900元的利润？若能，求出售价为多少钱？若不能，请说明理由．
25．（10分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年重庆市铜梁二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0B．y2+x＝1C．x2﹣1＝0D．
解析：解：A．方程2x+1＝0是一元一次方程，故本选项不符合题意，
B．方程是y2+x＝1二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
C．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，故本选项符合题意，
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，
故选：C．
3．（4分）下列属于旋转运动的是（ ）
A．小明向北走了10米B．传送带传送货物
C．电梯从1楼到10楼D．小萌在荡秋千
解析：解：A．小明向北走了10米，是平移，不属于旋转运动，故选项A不合题意；
B．传送带传送货物，是平移，不属于旋转运动，故选项B不合题意；
C．电梯从1楼到10楼，是平移，不属于旋转运动，故选项C不合题意；
D．小萌在荡秋千，是旋转运动，故选项D符合题意．
故选：D．
4．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．C．y＝x2D．y＝x﹣2
解析：解：A、y＝x，是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、，是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、y＝x2，符合定义，故本选项符合题意；
D、y＝x﹣2，是一次函数，故本选项不符合题意；
故选C．
5．（4分）如果x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝5的根，则k的值为（ ）
A．4B．1C．﹣3D．﹣1
解析：解：∵x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝5的根，
∴4﹣k＝5，
解得k＝﹣1，
故选：D．
6．（4分）如图，将Rt△ABC中，∠B＝32°，∠C＝90°，将其绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为（ ）
A．32°B．90°C．122°D．132°
解析：解：在Rt△ABC中，∠B＝32°，∠C＝90°，C、A、B1在同一条直线上，
∴∠BAB1＝∠ACB+∠B＝90°+32°＝122°，
故选：C．
7．（4分）如图，将钝角△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB'C'，连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的大小为（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
解析：解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝100°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣100°）＝40°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝40°，
∴∠CAB＝∠C′AB′＝40°，
∴∠CAB'＝100°﹣∠CAB＝100°﹣40°＝60°，
故选：D．
8．（4分）在“五美乡村”建设中，某村前年投入建设资金50万元，今年投入建设资金72万元，求该村投入建设资金的年平均增长率．设该村投入建设资金的年平均增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．50（1﹣x）2＝72B．50（1+x）2＝72
C．72（1﹣x）2＝50D．72（1+x）2＝50
解析：解：根据题意，得50（1+x）2＝72，
故选：B．
9．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9
解析：解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝5，
方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得
x2﹣2x+1＝6
∴（x﹣1）2＝6．
故选：C．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＜0；
③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；
④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴2a＜0，
∵对称轴x＝﹣＞1，b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故选项①正确；
对称轴x＝﹣＞1，又a＜0，则﹣b＜2a，则2a+b＞0，故②错误；
∵﹣1＜m＜n＜1，则﹣2＜m+n＜2，
∴抛物线对称轴为：x＝﹣＞1，﹣＞2，m+n＜﹣，故选项③正确；
当x＝1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，则3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞﹣2b，
∴﹣3a﹣c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴），
∴3|a|+|c|＝﹣3a﹣c＜2b＝2|b|，故④选项正确．
故选：C．
二、填空题：（每小题4分，共32分）
11．（4分）将方程2x2﹣10x＝3化为一般式为 2x2﹣10x﹣3＝0 ，一次项系数是 ﹣10 ．
解析：解：2x2﹣10x＝3，
移项，得2x2﹣10x﹣3＝0，
所以方程2x2﹣10x＝3化为一般式为2x2﹣10x﹣3＝0，它的一次项系数是﹣10，
故答案为：2x2﹣10x﹣3＝0，﹣10．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是 （1，﹣3） ．
解析：解：点A（﹣1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
13．（4分）如图所示，△ABC绕着点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，那么，线段OB与线段 OM 相等．
解析：解：由旋转可知：△ABC与△LMN对应，
∴OB与OM为对应边，
即OB＝OM，
故答案为：OM．
14．（4分）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
解析：解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1
15．（4分）二次函数y＝（k+2）x2的图象如图所示，则k的取值范围是 k＞﹣2 ．
解析：解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2＞0，
解得k＞﹣2．
故答案为：k＞﹣2．
16．（4分）方程x2﹣2x＝0的判别式Δ＝ 4 ．
解析：解：根据题意，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4．
故答案为：4．
17．（4分）若抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，则m的取值范围为 m≥﹣9 ．
解析：解：∵抛物线y＝x2+6x﹣m与x轴有公共点，
∴Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得，m≥﹣9，
故答案为：m≥﹣9．
18．（4分）定义，对于一个多位自然数a，若其从左向右各个数位上的数恰好是前一数位数字加1，我们称自然数a是“格调数”．例如，12，123，1234等都是“格调数”．根据数的特点，我们可以发现，最小的“格调数”是12，最大的“格调数”是123456789．而如果一个“格调数”有七位时，第一位上的数字最大只能是3，这样的“格调数”是3456789．已知四位“格调数”m和n，则最大的m是 6789 ，若m﹣n＝2222，且m能被3整除，则m的值为 3456或6789 ．
解析：解：根据定义可知最大的m是6789，
设m＝1000a+100（a+1）+10（a+2）+（a+3）＝1111a+123，
n＝1000b+100（b+1）+10（b+2）+（b+3）＝1111b+123，
∵m﹣n＝2222，
∴1111a﹣1111b＝2222，
∴a﹣b＝2，
∴a＝b+2，
∴当m＝6789时，n＝4567，
当m＝5678时，n＝3456，
当m＝4567时，n＝2345，
当m＝3456时，n＝1234，
∵m能被3整除，
∴m的值为3456或6789．
故答案为：6789，3456或6789．
三、解答题：（本大题共8个小题，其中，第19题8分，其余各题10分，共78分）
19．（8分）解方程．
（1）（x﹣1）2＝3
（2）x2+3x﹣1＝0
解析：解：（1）∵（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x＝1±；
（2）∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x+＝，
∴（x+）2＝，
∴x＝±；
20．（10分）已知把抛物线y＝﹣+3先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象．
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解析：解：（1）∵把抛物线y＝﹣+3先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象，
∴a＝﹣，h＝1，k＝﹣1；
（2）∵，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣1）．
21．（10分）已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．
（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2023的值．
解析：解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程有一个根为3，
所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8，
所以2k2+12k+2023＝2（k2+6k）+2023＝﹣16+2023＝2007．
22．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
（1）由表格信息，不求解析式直接写出二次函数图象的顶点坐标，并填出表格中空缺的数据；
（2）在图中画出该二次函数的图象，写出该图象的性质（一条即可）．
解析：解：（1）由抛物线的对称性可知，二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，2），表格中空缺的数据是；
故答案为：；
（2）画出函数图象如图：
，
观察图象，函数有最大值2．
23．（10分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
（1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
解析：解：（1）由题意得：，
解得：b＝﹣2．
∴．
（2）把s＝30代入得．
解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元．
（3）把t＝7代入，得．
把t＝8代入，得．
16﹣10.5＝5.5．
答：第8个月获利润5.5万元．
24．（10分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．现为了增加销量，决定对该牛奶降价销售，市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
（1）超市要获得720元的利润，则每箱牛奶售价应定为多少钱？
（2）该超市能否每月获得900元的利润？若能，求出售价为多少钱？若不能，请说明理由．
解析：解：（1）设每箱牛奶降价x元，则每箱牛奶的销售利润为（36﹣x﹣24）元，每月可销售（60+10x）箱，
根据题意得：（36﹣x﹣24）（60+10x）＝720，
整理得：x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝6，
∴36﹣x＝36﹣6＝30．
答：每箱牛奶售价应定为30元；
（2）该超市不能每月获得900元的利润，理由如下：
假设该超市能每月获得900元的利润，设每箱牛奶降价y元，则每箱牛奶的销售利润为（36﹣y﹣24）元，每月可销售（60+10y）箱，
根据题意得：（36﹣y﹣24）（60+10y）＝900，
整理得：y2﹣6y+18＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×18＝﹣36＜0，
∴方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市不能每月获得900元的利润．
25．（10分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？
（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求y与x之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）
解析：解：（1）设现在实际购进这种水果每千克a元，则原来购进这种水果每千克（a+2）元，由题意，得
80（a+2）＝88a，
解得a＝20．
答：现在实际购进这种水果每千克20元；
（2）①设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（25，165），（35，55）代入，
得，解得，
故y与x之间的函数关系式为y＝﹣11x+440；
②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣11x+440）＝﹣11x2+660x﹣8800＝﹣11（x﹣30）2+1100，
所以当x＝30时，w有最大值1100．
答：将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）如图1，
由（1）知y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+；
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞），
∴OM2＝m2+4，BM2＝m2+1，OB2＝9，
∵∠OMB＝90°，
∴OM2+BM2＝OB2，
∴m2+4+m2+1＝9，
∴m＝或m＝﹣（舍），
∴M（0，），
∴MD＝﹣，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t＝﹣；
（3）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图2，
∴∠PBO＝∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y＝﹣x+1①，
∵点P在抛物线y＝﹣x2+x﹣2②上，
联立①②得，
解得或 （舍去），
∴P（，）．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
2

0
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
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0
2

0
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