广东省六校2025届高三年级八月第一次联考数学试题

这是一份广东省六校2025届高三年级八月第一次联考数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质求解集合，再利用交集和补集的性质求解即可.
【详解】令，解得，即，而，
所以，故，即C正确.
故选：C
2．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件结合正态密度曲线的对称性可得，结合条件可求.
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以随机变量的均值,
所以随机变量的密度曲线关于对称，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
故选：A.
3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数型复合函数单调性的求法可得参数范围.
【详解】由函数的定义域为，
设，则，
又单调递增，
当时，，，无单调性，不成立；
当时，在和上单调递增，
即在和上单调递增，
所以，则，即；
当时，在和上单调递减，
即在和上单调递减，不成立；
综上所述，
故选：C.
4．已知：，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和正弦公式和同角关系化简条件求，，再结合两角差正弦公式求结论.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
故，，，，
所以，，
所以.
故选：C.
5．在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合向量减法可得，再利用投影向量的意义求出.
【详解】由，得，而是菱形，则是正三角形，
于是，，
因此在上的投影向量为，所以.
故选：B
6．已知函数在处有极小值，则实数（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】D
【分析】利用导数建立方程求解参数，再结合题意进行检验即可.
【详解】因为，所以，
所以，而函数在处有极小值，
所以，故，解得或，
当时，，
令f′x<0，，令f′x>0，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
此时在处有极大值，不符合题意，排除，
当时，，
令f′x<0，，令f′x>0，，
故此时在上单调递增，在上单调递减，
此时在处有极小值，符合题意，故D正确.
故选：D
7．将半径为的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为，高为，由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，由此确定，，的关系，再求圆柱的侧面积表达式并利用基本不等式求其最值.
【详解】设圆柱的底面半径为，高为，
由圆柱体零件的侧面积最大可得圆柱体内接于球，此时圆柱的轴的中点为球的球心，
所以，
由基本不等式可得，
当且仅当，时等号成立，
所以，
由圆柱的侧面积公式可得，圆柱的侧面积，
所以，当且仅当，时等号成立，
所以可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为.
故选：B.
8．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【分析】根据给定条件，探讨与的内心的横坐标的关系，再结合角平分线的性质及直角三角形射影定理列式计算即得.
【详解】设，，其中，
设与的内心的横坐标分别为，
过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
则、、，
又，
且，则，，于是，同理，
因此点、在直线上，又平分，平分，
，则，，
而，，
则，即，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
二、多选题
9．已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．的一个周期为
【答案】AD
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确；
又，即，则函数关于直线对称，B选项错误；
由可知，
即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
10．已知等比数列的公比为，前n项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先排除公比的特殊情况，结合给定条件解出公比范围，利用等比数列的性质逐个分析即可.
【详解】，对恒成立，
则恒成立，
则，，故，故B对；
A：，故A错；
C：，故C对；
D：由，故D错.
故选：BC.
11．设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：，其中r为复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若，，则.从0，1，中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：记.（ ）
A．不存在n，使得
B．若为实数，则的辐角可能为
C．的概率为
D．为整数的概率为
【答案】ACD
【分析】对于A,三个数中作为复数的实部和虚部，则其模长可能为 ，易知2024不能拆分成这三个数的乘积;对于B,由题可知即为为实数,举一个例子，即可判断B选项；对于C,由 , 则 的值值为 ; ，据此可以求出概率；对于D,若为整数，则的辐角可以为（3个加1个0），据此求出概率.
【详解】由中任意选两个不同数字分别作为实部和虚部，
则模长 可能值为
对于A,若, 则 ，
由253不是2与3的整数倍,
故不存在 ，使 ，故 对；
对于 B，若 为实数, 则 的辐角为 或 , 故B错；
对于C， 由 ,
则 的取值为 ; .
故, 故 C 对;
对于D，当r=1 时, 则辐角为 0 或
时, 则辐角为 0 或 ；
当 时, 则辐角为 或
若为整数，则的辐角可以为（3个加1个0）
故 , 故 D 对;
故选：ACD.
三、填空题
12．已知圆与抛物线的准线交于，两点，若，则 .
【答案】
【分析】根据抛物线的准线方程，直线与圆相交弦长公式可得.
【详解】由抛物线的准线为，
圆的圆心为，半径，
则圆心到准线的距离，
则，
解得，
故答案为：.
13．若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】确定，根据正弦函数的递增区间求出的范围，结合正弦函数的周期性求出的范围可得答案.
【详解】当时，不具备单调性，
当时，，
若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，
可得，因为在上是单调递增的，
所以在上不可能单调递减，所以不成立，
于是.
若函数在区间上单调递增，则
，，
若函数在区间上单调递增，则
，，
因为，所以时，，
综上所述，.
故答案为：.
14．已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】分别讨论当在正方体各个棱上时的取值范围，再根据点的个数求交集即可.
【详解】
当在、上时由、，即，即；
当在、上时为等腰三角形，，即，即；
当在、、、上时的取值范围均一致，当在上时，绕翻折，使平面与平面在同一平面内，
如图所示，
则，即，
又在每条棱上运动时，所在位置与的值一一对应，
又，
所以若满足条件的点恰有个，则，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用椭圆的定义，分类讨论在不同棱上的范围.
四、解答题
15．设的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角B的大小，
(2)若AB边上的高为，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据内角和公式，两角和正弦公式和正弦定理可得，结合条件可得，由此可求；
（2）过点作边上的高，结合（1）及所给条件解直角三角形，求，，再利用余弦定理求.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理：，
由可得，
又由题意知，且B∈0,π
.
（2）在中过点作边的高，交边与，
由题意可知，且和都是直角三角形．
因为，所以是等腰直角三角形，所以，
所以，
由勾股定理，，，
解得，，
在中，由余弦定理得：，
因此.
16．如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且.
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依据题意证明直线与两个平面的交线垂直，再利用面面垂直的性质求解即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）如图，取棱靠近的三等分点，
连结，则是的中点，
因为为棱的中点，所以是的中位线，
所以，因为，所以，
设，因为，
所以，作，连接，
则，因为，所以．
在中，由余弦定理得，
．
又面，
平面，因为面，所以．
又由平面平面，平面平面，
平面得证.
（2）由（1）知，．以为原点，
的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
令．
设平面的法向量为，
则即令，可得．
连接，此时，，由余弦定理得，
所以，所以，
因为平面，所以，
因为面，，
所以面，故平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，则，
平面和平面夹角的余弦值为．
17．已知函数在处的切线方程为.
(1)求实数a的值；
(2)探究在区间内的零点个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)在区间有且仅有两个零点,理由见解析.
【分析】（1）运用导数几何意义，结合斜率可解;
（2），令，运用的正负判定的单调性，再运用的正负得到单调性，结合零点存在性定理可解.
【详解】（1）由题可知，
由处的切线方程为，
把点代入得．
（2）由（1）可知，
令，
当时，，则在区间上单调递增．
，
由零点存在定理可知，存在，使得，即
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增，
又，
由零点存在定理可知在区间上有且仅有一个零点．
当时，；
当时，：
在区间上单调递增．
又，
由零点存在定理可知，存在唯一零点，使得，
综上可得，在区间有且仅有两个零点．
18．已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，.
(1)求C的方程；
(2)已知异于F的动点P，使得.
（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
（ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据已知列式求出,即可得出椭圆方程；
（2）（i）联立方程组结合向量关系计算得出点在的直线方程；（ii）先根据弦长公式求出再应用圆的方程求出高的最大值即可.
【详解】（1）当时，由对称性可知轴，
，
的标准方程为．
（2）（i）（方法一）点异于点，
设Ax1,y1,Bx2,y2，直线的方程为，
联立方程，得，
，
由可知
三点共线，且且，
点在线段的延长线或反向延长线上，
则，设Px,y，则，
由，则，代入上式得，
，
把，代入上式得，命题得证．
（方法二）点异于点，
设Ax1,y1,Bx2,y2，由可知
三点共线，且且，
点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设Px,y，则，
，
，
将①式减去②式，得，
即，
则，
点在定直线上，命题得证．
（ii）当时，由（i）可知
故解得
不妨设A在第一象限，则将代入C的方程，
得，
，
则直线的方程为，即，
设，由可知，
化简得，
点在以为圆心，3为半径的圆上，且不在直线上，
在直线上，
面积的最大值为．
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
【答案】(1)2和5为两个质数“理想数”
(2)的值为12或18
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）以内的质数为，
，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
（2）由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18．
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即．
【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.