专题突破练习卷05 导数中的极值点偏移问题-2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考通用)
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题型一 极值点偏移解决零点问题
1.已知函数有两个零点,且,则下列命题正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【分析】根据零点可将问题转化为,构造,求导即可根据函数的单调性得函数的大致图象,即可根据图象求解A,根据极值点偏移,构造函数,结合函数的单调性即可求解B,根据可得,即可求解C,根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由可得,令,其中,
则直线与函数的图象有两个交点,,
由可得,即函数的单调递增区间为,
由可得,即函数的单调递减区间为,
且当时,,当时,,,
如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,故A错误;
由图可知,,
因为,由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,则必有,
所以,,则,
令,其中,
则,则函数在上单调递减,
所以,,即,即,
又,可得,
因为函数的单调递减区间为,则,即,故B错误;
由,两式相加整理可得,
所以,,可得,故C错误;
由图可知,则,又因为,所以,,故D正确.
故选:D.
2.已知函数有两个零点、,且,则下列命题正确的个数是( )
①;②;③;④;
A.个B.个C.个D.个
【答案】C
【分析】由可得,设,其中,则直线与函数的图象有两个交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可判断①;构造函数,其中,分析函数的单调性,可判断②③;分析出、,利用不等式的基本性质可判断④.
【详解】由可得,令,其中,
则直线与函数的图象有两个交点,,
由可得,即函数的单调递增区间为,
由可得,即函数的单调递减区间为,
且当时,,当时,,如下图所示:
由图可知,当时,直线与函数的图象有两个交点,①对;
对于②,由图可知,,
因为,由可得,由可得,
所以,函数的增区间为,减区间为,则必有,
所以,,则,
令,其中,
则,则函数在上单调递减,
所以,,即,即,
又,可得,
因为函数的单调递减区间为,则,即,②错;
对于③,由,两式相加整理可得,
所以,,可得,③对;
对于④,由图可知,则,又因为,所以,,④对.
故选;C.
3.已知函数有两个零点,,则下列说法:
①函数有极大值点,且;
②;
③;
④若对任意符合条件的实数,曲线与曲线最多只有一个公共点,则实数的最大值为.其中正确说法的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【分析】分类讨论的单调性,即可得,,的范围,根据,得到和之间关系,构造,,可知单调递减,由此得到,即可判断①;对进行变形化简,即可判断②;根据①中,,的范围,即可判断③;构造,当时,可知单调递减,则方程最多有一个根,当时,有两根,由时,,只需考虑极小值,根据单调性求得极小值,进而求极小值的范围,即可求得的范围,即可判断④.
【详解】解:因为,所以,
当时,,在上单调递增,
则最多有一个零点,故不符合题意,舍;
当时,令,解得,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当,取得极大值点,即,
因为有两个零点,,
所以,且有,解得,
设,,
所以.
由
,
所以,
由,当,所以,
,所以,故单调递减,
所以在时,,
因为,所以,
即,
因为,,在单调递减,
所以,即,故①正确;
由有两个零点,且,
所以,故,
所以,故②正确;
由①知,,所以,故③正确;
因为曲线与曲线最多只有一个公共点,
所以在时最多只有一根.
令,则,
令,即时,,单调递减,
此时方程最多有一个根,
当时,,所以有两根,
令,则,,
由韦达定理,可知,故,
所以在上,单调递减,
在上,单调递增,
在上,单调递减,
当时,,所以只需考虑极小值即可,
根据单调性,可知为极小值点,
即,即,即,
所以,
由,令,
则,当时,,单调递减,
所以,所以,
即实数的最大值为,故④正确.
故选:D.
4.已知函数,对于正实数a,若关于t的方程恰有三个不同的正实数根,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】研究的图像可知,若,令,则 ,且,可以推出,或,通过对数不等式写出关于的不等式,即可求出的范围
【详解】因为,,令得:;令得:,所以在区间单调递增,在单调递减,且时,恒成立,的图像如下:
令,则 ,且
①当时,,成立,所以是方程的一个实数根
②当时,由得:,令
则: ,两式相减得: ,两式相加得:
所以:,由对数均值不等式得:
所以:,且,所以,,即:
所以
故选:D
5.关于函数,下列说法错误的是( )
A.是的极小值点
B.函数有且只有个零点
C.存在正实数,使得恒成立
D.对任意两个正实数,,且,若,则
【答案】C
【分析】对于A,分析导函数可作判断;对于B,考查函数的单调性可作判断;对于C,分离参数,再分析函数最值情况而作出判断;对于D,构造函数讨论其单调性,确定即可判断作答.
【详解】对于A选项:定义域为,,
时,时,
是的极小值点,A正确;
对于B选项:令,
在上递减,,
有唯一零点,B正确;
对于C选项:令,
令,时,时,,
在上递减,在上递增,则,
,在上递减,图象恒在x轴上方,
与x轴无限接近,不存在正实数k使得恒成立,C错误;
对于D选项:由A选项知,在上递减,在上递增,
因正实数,,且,,则,
时,令,
,
即在上递减,
于是有,从而有,
又 ,所以,即成立,D正确.
故选:C.
6.关于函数,下列说法正确的是( )
A.是的极大值点
B.函数有2个零点
C.存在正整数k,使得恒成立
D.对任意两个正实数,且,若,则
【答案】D
【分析】对A,求导得到单调区间即可判断;
对B,对函数求导得出单调区间即可进一步得到结果;
对C,分离参数,通过的单调性和函数变化趋势即可判断;
对D,根据函数f(x)的单调性,将自变量比较大小转化为函数值比较大小,用极值点偏移的方法得到结论.
【详解】对A,,函数在单减,在单增,
是的极小值点,A错误;
对B,,函数在单减,至多一个零点,B错误;
对C, ,令,则,
设,则,函数在单增,在单减,
所以,∴,
则函数在单减,无最小值,且当时,,C错误;
对D,不妨设,易知,
,且,
因为函数在单增,则,
即证:,记,
所以,所以在单减,所以,
即,所以,D正确.
故选:D.
7.已知函数有两个零点,,则下列判断:①;②;③;④有极小值点,且.则正确判断的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】D
【解析】利用函数的导数,判断函数的单调性,对四个选项分别进行判断,即可得出结论.
【详解】对于①
当时,在上恒成立,在上单调递增,不符合.
当时,由,,解得,
,解得
在单调递减,在单调递增.在有极小值,
函数有两个零点,
,,
①不正确;
对于②
因为,
,
取,,,,,
②不正确;
对于④
函数的极小值点为
要证,只要证
因为函数在单调递减,故只需要证
构造函数
求导得到
所以函数单调递增,恒成立,
即,故得到
进而得证:,.
故④正确.
对于③
因为
根据,可得到.
③不正确.
综上正确的只有一个,
故选:.
8.已知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点、、,其中.给出下列四个结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数有( )个
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】由题意,函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,转化为方程有三个不同的实数解,进而函数与的图象有三个不同的交点,利用导数求解函数的单调性和极值,即可得到答案.
【详解】由题意,函数的图象与函数的图象有三个不同的交点,
即方程,有三个不同的实数解,显然0不是解,即有三个不同的实数解,
即函数与的图象有三个不同的交点,
又由,
当或时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
其图象如图所示,且当时,,
要使得函数与的图象有三个不同的交点,则,所以①正确的;
当时,即,解得或,所以当时,则,所以②是正确的;
易知,由,,则,
需证,即证,,
令,,
,
由,则,,,即,,
故,则在单调递减,,故,所以③是正确的;
又由,整理得,
又因为,所以,即,
结合③可知,所以④是错误的,
故选:C.
9.已知有两个零点,下列说法正确的是
A.B.
C.D.有极小值且
【答案】B
【分析】使用排除法可得.利用导数研究单调性,利用导函数零点化简可排除A;构造函数,利用单调性可排除D;取,通过计算可排除C.
【详解】,当时,函数为单调递增函数,至多一个零点,所以
令 ,解不等式得,解不等式得,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以为极小值点,且
,A错误.
所以
令 ,
则
因为
所以
,不选D
令 ,,不选C.
故选:B.
10.已知函数在上有两个不同的零点,给出下列结论:①;②;③.其中错误结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】A
【分析】由导数法判断单调区间,结合单调性与零点的关系,即可判断①②;
构造,,由导数法判断单调递增,可建立不等式,再结合单调性即可得,即可判断③.
【详解】
,由得,可作如图所示,结合图像易得,在上,,则单调递减;在上,则单调递增,
又在上有两个不同的零点,则,
∴,,故①②正确;
对于③,构造函数,,则,,
∴在上单调递增,,即,即,
又∵在上单调递增, ,∴,∴,故③正确.
故选:A
11.已知,,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】先构造函数,通过函数的单调性确定的大致范围,再构造,通过函数的单调性确定与的大小关系,进而得到A选项;先构造函数,通过函数的单调性确定的大致范围,再构,通过函数的单调性确定与的大小关系,进而可知B选项错误;通过,得到,进而可得与的大小关系, 进而可知C选项错误;D与C选项同样的方法即可判断.
【详解】对于A,, ,令,则 ,
所以在单调递减,在上单调递增,且,故.
令
则,所以在上单调递减,且,
, , ,
即 ,故选项A错误;
对于B, ,
令,
则,所以在单调递增,在上单调递减,
且,故.
令
所以在上单调递减,且,
,, ,
,,即,故选项B错误;
对于C,,,
,又在单调递增,, ,故选项C错误;
对于D,由C可知,, 又在单调递减 ,
,故选项D正确.
故选:D.
12.已知,,,均为的解,且,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】A选项:根据“三个等价”,将方程根的问题转化成构造出的函数零点的问题,利用零点存在性定理确定出的取值情况;B,C,D选项:对方程变形,参变分离构造函数,从函数的角度以及利用极值点偏移可以得出相应结论,详细过程见解析.
【详解】对于A,令,因为,所以在上单调递增,与x轴有唯一交点,
由零点存在性定理,得,,则,故A错误.
对于B,C,D,当时,两边同时取对数,并分离参数得到,
令,,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
如图所示,
当时,与的图象有两个交点,
,解得,故B正确;
,由A选项知,,故C错误;
由极值点偏移知识,此时函数的极值点左移,则有,故D错误.
故选:B.
题型二 极值点偏移解决不等式问题
13.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.在R上是增函数
B.,不等式恒成立,则正实数的最小值为
C.若有两个零点,则
D.若过点恰有2条与曲线相切的直线,则
【答案】BD
【分析】A选项,求导,解不等式,求出函数的单调性;B选项,,所以,,结合函数的单调性,得到,分离参数,得到,构造,求导得到函数的单调性,得到,从而求出;C选项,构造差函数,求导得到在单调递增,故,根据在上单调递减,得到所以;D选项,设切点为,得到函数在处的切线方程,将点代入,得到,设,求出的单调性,且,结合函数特殊值,求出有两解,则.
【详解】对于A:因为,所以,
令,解得,令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增.故A错误:
对于B:因为为正实数,,所以,,
结合函数的单调性,可知:.
所以,
设,则,
由可得:.
所以在上单调递增,在上单调递减,所以.
故,所以正实数的最小值为,故正确;
对于C:如图:
因为有两个零点,结合函数的单调性,
不妨设,.则.
设,
那么在上恒成立,
当且仅当,即时,等号成立,又,
故,
所以在单调递增,
所以在上恒成立,所以.
由,且在上单调递减,
所以.故C错误;
对于D:,设切点为,切线斜率为,
所以函数在处的切线方程为:,
因为切线过点,所以,
设,所以,由,
所以在上递增,在上递减,
且,当时,且时,.
因为有两解,则.故D正确.
故选:BD
14.关于函数,下列说法正确的是( )
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.存在正整数k,使得恒成立
D.对任意两个正实数,且,若,则
【答案】BD
【分析】分析导函数可作判断A;考查函数的单调性可作判断B;分离参数,再分析函数最值情况而作出判断C;构造函数讨论其单调性,确定即可判断D.
【详解】对于A,定义域为,,
时,时,是的极小值点,A错误;
对于B,令,
在上递减,,有唯一零点,B正确;
对于C,令,
令,时,时,,
在上递减,在上递增,则,
,在上递减,图象恒在x轴上方,
与x轴无限接近,不存在正实数k使得恒成立,C错误;
对于D,由A选项知,在上递减,在上递增,
由正实数,且,,得,
当时,令,
,即在上递减,
于是有,从而有,
又 ,所以,即成立,D正确.
故选:BD
15.设函数,下面四个结论中正确的是( )
A.函数在上单调递增
B.函数有且只有一个零点
C.函数的值域为
D.对任意两个不相等的正实数,若,则
【答案】AB
【分析】
利用导数判断时,的单调性,根据单调性可求值域,然后结合时,,从而可判断选项A,C;首先利用导数判断时,的零点个数;然后再利用单调性判断时,的零点个数,从而可判断选项B;不妨设,根据题意把要证明,转化为证明;然后构造函数,利用导数判断函数的单调性即可证明,从而判断选项D.
【详解】当时,,所以,
所以当时,,所以在单调递增,
当时,,所以在单调递减,
且当时,故时,,
又当时,,所以,
所以函数在单调递增,值域为,所以A正确,C错误;
当时,令,则,
所以在单调递减,所以当时,,
所以函数在上没有零点;
当时,令,
所以只需求函数在上零点个数,
又因为在上单调递减,且,
所以函数在上只有一个零点.
所以函数有且仅有一个零点,所以B正确;
当时,若,因为函数在单调递增,在单调递减,
所以不妨设,则,
所以要证,只需证,即只需证,
又因为,所以只需证.
因为,
所以令函数,
则,
所以在单调递增,所以,
即恒成立,所以,
即,所以,
从而成立, 所以D错误.
故选:AB.
16.已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.函数与函数有相同的极小值
B.若方程有唯一实根,则a的取值范围为
C.若方程有两个不同的实根,则
D.当时,若,则成立
【答案】ACD
【分析】对于A,根据题目直接对两个函数求导判断极值即可;对于B,根据函数单调性和最值判断函数变化趋势,进而求出参数范围;对于C,利用对数均值不等式直接判断即可;对于D,利用同构方法进行转化即可.
【详解】对于A,定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
定义域,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,故A正确;
对于B,若方程有唯一实根,
由于当时,,且,
结合已求的单调性和最值可知,或,故B错误;
对于C,因为方程有两个不同的实根,假设,则,
则,即,两式相减得,
即,由对数均值不等式,
则,即得证,故C正确;
对于D,当时,若,则,
即,显然,则,
则成立,故D正确.
故选:ACD
下面补证C选项对数均值不等式:
要证,即证,
设,即证,即证,
令,,
则在单调递增,当时,得证.
17.已知函数,则( )
A.
B.若有两个不相等的实根,,则
C.
D.若,,均为正数,则
【答案】BCD
【分析】A:代入、直接计算比较大小;B:求的导函数,分析单调性,可得当有两个不相等实根时、的范围,不妨设,则有,比较的大小关系,因为,可构造,求导求单调性,计算可得成立,可证;C:用在上单调递增,构造可证明;D:令,解出,,做差可证明.
【详解】对于A:,,又,,
所以,所以,则,故A错误;
对于B:函数,定义域为,则,
当时,;当时,;
所以在上单调递增,在上单调递减,
则且时,有,所以若有两个不相等的实根、,有,
不妨设,有,要证,只需证,且,
又,所以只需证,
令,
则有,
当时,,,所以有,
即在上单调递增,且,所以恒成立,
即,即,即,故B正确.
对于C:由B可知,在上单调递增,则有,
即,则有,故C正确;
对于D:令,则,,,
,
,故D正确;
故选:BCD.
18.关于函数,下列说法正确的是( )
A.在上单调递增
B.且,若,则
C.,使得恒成立
D.函数有且只有1个零点
【答案】ABD
【分析】对于A,根据导数与原函数单调性的关系直接判断;
对于B,显然是的极小值点,则时,有,易知,
然后根据,利用导数法判断其符号,
再利用在上的单调性判断;
对于C,由恒成立,转化恒成立,令,利用导数法求解判断;
对于D,设,利用导数法结合零点存在定理判断.
【详解】对于A,对于函数,其定义域为,由于,
由可得,当时,,当时,,则选项A正确
对于B,由A知,是的极小值点,可知若时,,易知,
则
,
令,则,则,
则在上单调递减,,故,
又在上单调递增,则,故,选项B正确,
对于C,若恒成立,则,令,则,
令,则,
当时,,当时,,所以,即,
所以在上递减,无最小值,
所以不存在正实数k,使得恒成立,故C错误;
对于D,设,则,
可知在上单调递减,又,
所以方程有且仅有一个根,即函数有且只有1个零点,选项D正确.
故选:ABD
19.定义在上的函数满足,且,则下列说法正确的是( )
A.在处取得极小值
B.有两个零点
C.若,恒成立,则
D.若,,,,则
【答案】AD
【分析】首先根据题意构造,结合,求得;
对于A,通过导数与函数极值点的关系求解即可;
对于B,令直接求解即可;
对于C,通过研究函数在的单调性与最值情况即可;
对于D,先大致研究函数图像变化趋势,假设,并假设正确,通过转化,从而证明与0的关系,进而证明原不等式正确即可.
【详解】因为,所以,
令,则,
所以设,所以,
又因为,所以;
对于A,因为,所以,
令,得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以在处取得极小值,故A正确;
对于B,令,得,
所以有一个零点,故B错误;
对于C,因为在单调递增,所以时,,
所以,故C错误;
对于D,因为在单调递减,在单调递增,
且唯一零点为,当时,且,
所以若,,,,
可以设,
假设正确,下证明,即证,
因为,在单调递减,
所以即证,即证,
构造,
则,
因为,所以,,,则,
所以在上单调递增,所以,
即得证,原式成立,故D正确.
故选:AD
20.宠物很可爱,但身上会有寄生虫,小猫“墩墩”的主人每月定期给“墩墩”滴抺驱虫剂.刚开始使用的时候,寄生虫的数量还会继续增加,随着时间的推移,奇生虫增加的幅度逐渐变小,到一定时间,寄生虫数量开始减少.若已知使用驱虫剂小时后寄生虫的数量大致符合函数为的导数,则下列说法正确的是( )
A.驱虫剂可以杀死所有寄生虫
B.表示时,奇生虫数量以的速度在减少
C.若存在,使,则
D.寄生虫数量在时的瞬时变化率为0
【答案】BD
【分析】利用导数分析函数的单调性及值域,可判断A,由导数的定义判断BD,再由函数大致图象判断C.
【详解】由可得,
当时,,当时,,
所以在单调递增,在单调递减,
又,所以函数值域为,
对A,由函数值域可知,故A错误;
对B,,根据导数可得函数瞬时变化率,即奇生虫数量以的速度在减少,故B正确;
对C,作函数大致图象,如图,
令,
,
所以单调递增,有,
所以,即,
又因为,所以,
因为,在单调递减,
所以,即,故C错误;
对D,当时,,即瞬时变化率为0,故D正确.
故选:BD.
21.已知且,则( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【分析】不妨设,,则,利用导数可证,利用极值点偏移可证.
【详解】不妨设,,
因为,故,
由可得,故,所以,,
又.
设,则,
故在为增函数,故即,
故即,故C错误,D正确.
函数的导函数为,
当时,,当时,,
因此在上单调递减,在上单调递增,且.
考虑函数,
则,
而,故,故,
所以在上为减函数,故,
所以,所以即,
而,故即,故A正确,B错误.
故选:AD.
22.已知关于的方程有两个不等的实根,且,则下列说法正确的有( )
A.B.C.D.
【答案】ABD
【分析】由已知与有两个不同的交点,利用导数研究函数性质,结合图象确定的范围,判断A,要证明只需证明,结合函数单调性只需证明,故构建函数,利用导数证明结论,判断B,利用比差法比较,判断C,利用的范围,结合指数函数性质证明,判断D.
【详解】方程,可化为,
因为方程有两个不等的实根,
所以与有两个不同的交点,
令,则,
令,可得,
当时,,函数在单调递减,
当时,,函数在单调递增,
,
当时,,且,当时,,
当时,与一次函数相比,指数函数呈爆炸性增长,
故,
当时,,,
根据以上信息,可得函数的大致图象如下:
,且,故A正确.
因为,
构造,
,
在上单调递增,
,
,即,
由在单调递增
所以,故B正确.
对于C,由,,
所以,
又,所以,则,所以,故C错误.
对于D,由,可得,
所以,D正确.
故选:ABD.
23.已知函数,,则下列说法正确的是( )
A.在上是增函数
B.,不等式恒成立,则正实数的最小值为
C.若有两个根,,则
D.若,且,则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项,由题,,判断在上的单调性即可;
B选项,由单调性,;
C选项,由有两个零点,,可得,设,则,又,后研究在上的单调性即可;
D选项,因,及在上单调递增,
可得.
又,则,
故,后结合B选项分析可判断选项.
【详解】对于A选项,,.
又当时,,则在上是增函数,故A正确;
对于B选项,时,,又为正实数,所以,又时,,所以在单调递增,故,即.令,知,所以在上递增,在上递减,所以,得正实数的最小值为,故B正确;
对于C选项,有两个根,,等价于函数有两个零点,.
注意到,则在上单调递减,在上单调递增,因函数有零点,则.
设,又,,
则.令
则,得时,.
又 ,则,.得.
若,则等价于,因在上单调递增,
则等价于,又,
则等价于.
令,,,即在上递增,所以,则时,,所以不成立,故C错误;
对于D选项,由AB选项分析可知,在上单调递增,
又,,
则.由,即,即有,又,在上单调递增,所以,即,所以,其中.由B选项分析可知,,其中时取等号,则,其中时取等号,所以,故D正确.
故选:ABD
24.已知,,,,则有( )
A.B.
C.D.
【答案】BCD
【分析】令,,求导可求得的单调性,利用极值点偏移的求解方法可求得AB正误;由,可确定,结合单调性可得CD正误.
【详解】令,,
,当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,且;
若,则,
令,
则,
当时,,
,
在上恒成立,在上单调递减,,
即,又,,
,,
,,在上单调递增,
,即,A错误;
,当时,;当时,;
在上单调递减,在上单调递增,且;
由得:;
设,,
则;
当时,,,
在上单调递减,,即,
又,,又,,
,,在上单调递增,
,即,B正确;
,,,
,又,,在上单调递减,
,则,C正确;
,又,,在上单调递增,
,则,D正确.
故选:BCD.
题型三 极值点偏移解决双变量问题
25.已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线.
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)若直线与曲线有两个公共点,,与曲线有两个公共点,,求证:
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】(1)首先利用导数的几何意义求切线方程,再联立切线方程与函数,利用,即可求解;
(2)由切线方程转化为证明和,即可证明不等式;
(3)由二次函数的对称性,转化为证明,再根据的范围,构造函数,利用导数判断函数的单调性与最值,再结合函数,即可证明不等式.
【详解】(1),,
所以在处切线方程为,
联立,得,
,得;
(2)设,,
设,,单调递减,且,
所以当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,取得最大值0,所以,当时等号成立,即,
,当时等号成立, 即,
综上可知,,即.
(3),对称轴方程为,由对称性可知,,
所以要证明,只需证明,
,,得,
当时,,单调递增,时,,单调递减,
当时,取得最大值,
当时,,当时,,,,
所以与的图象有两个公共点,,设,
则,,
设,
,
,
当时,,则,,
即时,,单调递增,,
所以当时,,即,
,所以,由,
即,在上单调递减,
所以,即,
综上可知,.
26.已知函数.
(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(2)若函数恰有两个极值点,且的最大值为,求证:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】(1)由题意可得在上恒成立,构造函数,借助导数求出其在上的最小值即可得;
(2)由题意结合导数可得,,即可得, ,通过作差消去变量,得到,从而可得,再通过换元法令,得到函数,利用导数计算其单调性即可得解.
【详解】(1)由题意可得在上恒成立,
即在上恒成立,
令,则,
则当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
则,故,即;
(2),令,
由函数有两个极值点,
则有两个变号零点,
,
当时,,不符,故舍去;
当时,则当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
又,
又当时,,则,
故此时此时至多存在一个零点,不符,故舍去;
当时,则当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
有,则,故,
则有,,
则,即,同理,
则,故,
即,
由的最大值为,令,则有,
即,令,,
则
,
令,,
则恒成立,
故在上单调递增,则,
则,故在上单调递增,
则.
27.已知函数.
(1)证明:;
(2)若,且,证明:.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】(1)对函数变形整理,构造函数,对其进行二次求导,从而可求出的单调性,进而可求出函数的最大值,即可证明结论成立.
(2)对函数进行二次求导,从而可判断函数单调性,要证,只需证,结合在上单调递减知只需证,即证,进而构造函数判断其单调性即可证明.
【详解】(1)由题意,,设
,则
,当时,,单调递增;当时,,
单调递减,从而,故恒成立,
,故.
(2)由题意,,,,
,,
从而在上单调递增,在上单调递减,故,
在上单调递减,且,
若,则,不合题意,
若,则,不合题意,∴,
要证,只需证,结合在上单调递减知只需证,
又,,故只需证,即证①,
令,,
则,
,在上单调递增,
又,,从而在上单调递减,,,
,,即不等式①成立,故.
28.设函数.
(1)判断函数的单调性;
(2)若,且,求证:.
【答案】(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意得,令,根据的正负确定的单调性,得,即得函数的单调性.
(2)构造函数,其中,则,令,得,从而可得在上单调递减,然后根据函数的单调性可得
【详解】(1)∵,,
∴.
令,则.
令,得或.
当时,;当时,;当时,.
∴在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
又,,故对一切恒成立,
∴,于是,故在上单调递增.
(2)不妨设.
构造函数,其中,
则.
由,得.
令,
∵,
∴在单调递增,则.
∴在上单调递减,∴,
即对恒成立.
∵,∴,
∴.
由(1)知在上单调递增,
∴,故.
29.已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的最大值;
(3)若关于的方程有两个实根,,求证:.
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得;
(2)由题意可得在上恒成立,则可构造函数,求导后分及讨论其单调性,在时结合零点的存在性定理研究,即可得的具体范围,即可得其最大值;
(3)借助因式分解可将原问题转化为有两个实根,借助导数研究其单调性可得两根范围,借助换元法,令,,可得,两式作差可得,从而将证明转化为证明,借助换元法令,即证,构造相应函数,借助导数即可证明;再借助(2)中所得,结合两实根的范围,可得,即可得,两式作差即可得证.
【详解】(1),,
又,则有,
即曲线在处的切线方程为;
(2)由题意可得在上恒成立,
令,则,
令,则,
则当时,,故在上单调递增,
则当时,,
当时,,故在上单调递增,
有,符合要求,
当时,由,,
则存在,使,即当时,,
当,,
故在上单调递减,在上单调递增,
则,不符合要求,故舍去,
综上所述,,故实数的最大值为;
(3),
由,即有有两个实根,,
令,,
当时,恒成立,不可能有两个实根,故舍去;
当,则时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减,
则有,即,
又,
不妨令,则有,
有,令,,即有,
则有,即,
即,则要证,只需证,
即证, 令,即证,
令,,
则恒成立,
故在上单调递减,故,
即有在时恒成立,故得证;
由(2)可知,当时,在上恒成立,
即在上恒成立,
则当时,,即,
由,则、,
故,,
则,,
又,即,即,
即,则有,
整理得,即,即,
即;
综上,得证.
30.设.
(1)若,求函数的图象在处的切线方程;
(2)若在 上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数存在两个极值点,求证:.
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得;
(2)借助导数研究及的单调性后,由函数的最小值可分及进行讨论,结合零点的存在性定理可得时不符合要求;
(3)结合极值点定义计算可得,结合函数单调性可得只需证,构造相应函数,结合导数证明其恒成立即可得.
【详解】(1)当时,,则,则,
又,则切线方程为,即;
(2),令,
则,当时,有,
故在上单调递增,即在上单调递增,
则,
当时,,则在上单调递增,
有,满足要求;
当时,则,又,
则必存在,使,即,
当时,,当时,,
即在上单调递减,在上单调递增,
则
,令,
则,
则在上单调递减,则,
即,故此时不符合题意,故舍去,
综上所述,;
(3)由(2)得,
则当时,,当时,,
故在上单调递减,在上单调递增,
又函数存在两个极值点,则,即,
则有,要证,即证,
又,,在上单调递增,
即只需证,又,
即只需证,
令
,,
则
,
即在上恒成立,即在上单调递减,
则,
即,即得证.
31.已知函数.
(1)若的极小值为-4,求的值;
(2)若有两个不同的极值点,证明:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】(1)求出函数的极小值点为,代入函数求解;
(2)首先求出的范围,再通过构造对称函数证明,根据的范围即可证明。
【详解】(1),当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
当时,取得极小值,
由,解得或(舍去).
故的值为。
(2)由题意可知,方程有两个不同的正实数根,即有两个不同的实数根.
令,则,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
验证可知,,
由得,所以.
当时,方程,即方程,则有两个不同的正实数根.
设,则,
所以在上单调递增,在上单调递减.
不妨设,则.
令,
则,
所以在上单调递增,则当时,,
所以
又,函数在上单调递减,
所以,则,
因为,故.
32.已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,若满足,求证:;
(3)若函数,当时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析;(3).
【分析】(1)对求导,分类讨论和,判断的正负即可得出答案;
(2)要证,只需证,令,对求导,结合基本不等式得出在上单调递增,即可得证;
(3)法一:对求导,分类讨论和,得出的单调性证明即可;法二、法三:分类讨论和,分离参数可得,分别由洛必达法则和拉格朗日中值定理求出即可.
【详解】(1)解:,
当时,在上单调递增,
当时,令,解得,
单调递减,
单调递增,
综上:当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由题意,则.
要证,只需证,
而,且函数在上单调递减,
故只需证,
又,所以只需证,
即证,
令,
即
,
由均值不等式可得
(当且仅当,即时,等号成立).
所以函数在上单调递增.
由,可得,即,
所以,
又函数在上单调递减,
所以,即得证.
(3)法一:,则,
令,
当时,,在上单调递增,且.
①当时,在上单调递增,
,符合题意,.
②当时,又在上单调递增,且
当趋近正无穷,趋近正无穷,
,使得,
在上单调递减,
在上单调递增,
而,所以不合题意.
综上:实数的取值范围为.
法二:,
当时,恒成立,
当时,由得,
即,
令,即,
则,
令,
则.
在上单调递增,,
即在上单调递增,而,所以符合洛必达法则.
由洛必达法则得:
实数的取值范围为.
法三:,
当时,恒成立,
当时,由得,
即,
设,又,
则由拉格朗日中值定理可知:
令,
即
又,
在上单调递增,,
实数的取值范围为.
33.已知函数().
(1)求的单调区间;
(2)若函数,是函数的两个零点,证明:.
【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析
【分析】(1)求定义域,求导,对导函数因式分解,分与两种情况,得到函数单调区间;
(2)利用分析法先等价转化所证不等式:要证明,只需证明,即证明,即证明,令,构造函数,利用导数研究函数单调性,确定其最值,得到,即可证得结论.
【详解】(1)函数的定义域为,
,
①当时,,则在上单调递增;
②当时,若,则,若,则,
则在上单调递增,在上单调递减.
综上,当时,单调递增区间为,无递减区间;
当时,单调递增区间为;单调递减区间为.
(2)因为是的两个零点,
所以,,将两式作差可得
,又,
所以,
所以要证,只须证明,
即证明,即证明,
令,即证,,
令,则,
令,则在上恒成立,
∴在上递减,又,
∴在上递增,则,
即,
所以成立,即.
34.已知函数.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时,若方程有三个不相等的实数根,且,证明:.
【答案】(1)在上单调递增(2)证明见解析
【分析】(1)求定义域,求导,结合得到,即在内恒成立,所以在内单调递增;
(2),求导,得到函数单调性,得到,构造,求导得到函数单调性,得到,再构造,求导得到函数单调性,得到,两式结合得到答案.
【详解】(1)由题意可知:的定义域为,
,
令,可得,当时,即,
,可知在上恒成立,
即在上恒成立,所以在上单调递增.
(2)当时,可得,
,
或
故在上单调递增,在上单调递减,
由题意可得:,
因为,
令,
则,
可知在上单调递增,
则,可得在上恒成立,
因为,则,
且在上单调递减
则,即;
令,
则,
可知在上单调递增,则,
可得在上恒成立,
因为,则,
且在上单调递增,
则,即;
由和可得.
35.已知常数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若、是的零点,且,证明:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】(1)求出函数的定义域与导函数,即可得到函数的单调性,求出函数的最小值,依题意,即可求出的取值范围;
(2)由(1)不妨设,设,利用导数说明函数的单调性,即可得到,结合及的单调性,即可证明.
【详解】(1)由已知得的定义域为,
且
,
当时,,即在上单调递减;
当时,,即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值,
,
,
,即的取值范围为.
(2)由(1)知,的定义域为,
在上单调递减,在上单调递增,且是的极小值点.
、是的零点,且,
、分别在、上,不妨设,
设,
则
当时,,即在上单调递减.
,
,即,
,
,
,
,
又,在上单调递增,
,即.
36.已知函数有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】(1)先分离参数将函数的零点个数转化为方程根的个数,构造函数,求其单调性、最值即可得的取值范围;
(2)法一、根据第(1)问得到的取值范围,令,通过比值换元将问题化为证,构造函数求其导函数、单调性最值即可;法二、根据第(1)问得到的取值范围,先判定结论成立,再利用函数的单调性将所证不等式转化为函数不等式来判定时是否成立,通过构造,利用导数研究其单调性及最值即可.
【详解】(1)由得,
则由有两个零点知方程有两个不同的实数根.
令,则,
由得,由得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
而,当时,,当时,,
故,即,实数的取值范围为.
(2)法一、
由(1)知,令,则.
由得,
要证,只需证,
只需证,即证,
即证.
令,
则,
令,,则,
所以单调递增,即,
故在上恒成立,
即在上单调递减,故,得证.
法二、
由(1)知,
当时,显然.
当时,则,
要证,只需证,
又且在上单调递增,
故只需证,即证,
即证,即证,
令,
则,
令,
则,在上单调递减,
所以,故,所以在上单调递减,则,
又,所以当时,,即.
1.已知,且,则下列说法正确的有( )
①; ② ;③; ④.
A.①②③B.②③④C.②④D.③④
【答案】B
【分析】令,利用导数讨论其单调性后可判断①②④正负,利用极值点偏移可判断③的正误.
【详解】令,则,
当时,;当时,;
故在上为增函数,在上为减函数,
而,,故,
而,故,故①错误.
又,故,
故②正确, 此时,故④正确.
设,
则(不恒为零),
故在上为增函数,
故,必有即,
所以,即,
由的单调性可得即,故③成立.
故选:B.
2.已知函数,过点作函数的两条切线,切点分别为,下列关于直线斜率的正负,说法正确的是( )
A.B.C.D.不确定
【答案】A
【分析】求导,写出切线方程,代入点,得到两方程与,
结合斜率公式得到,构造函数判定的符号,求出答案.
【详解】因为,所以,设切点分别为,
则在处的切线方程为,即,
因为该切线过点,所以,即,
且,即,同理,,
且,即,
则
,
下面判定的符号:
令,则,,
当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,,
若,则,
令,
,即在上单调递减,且,
则,即,
因为在上单调递增,
则,即,
即.
故选:A.
3.关于函数,下列说法错误的是( )
A.不存在正实数,使得恒成立
B.对任意,若,有
C.对任意
D.若正实数,满足,则
【答案】C
【分析】根据时,判断A;构造函数,研究其单调性判断B;由题构造函数令,研究其单调性并结合判断C;根据极值点偏移问题判断D.
【详解】对于A选项,,则,故在单调递增,
又,则时,,此时若恒成立,则不可能为正数,故A正确;
对于B选项,,令,则,
令,,
显然当时,,单调递减;当时,,单调递增;
故,则,故在单调递增,
对任意,若,有,即,故B正确;
对于C选项,
即
令,
,
不妨设,由于,故,在上单调递减,
所以,
所以,,故C不正确;
对于D选项,由A知在单调递增,
不妨设,由,知,
所以,
,
设,,
,
,
即,故在上单调递减,
所以,,故D正确.
故选:C
4.已知函数,下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则“”是“”的充要条件
C.若不等式恰有3个整数解,则实数的取值范围是
D.若不等式恰有2023个整数解,则
【答案】ACD
【分析】选项A,由极值点偏移可得;选项B,由“”与 “”可知;选项CD,由两函数的对称性即可求解.
【详解】A选项,,
∴,令,解得,
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;且,
由,不妨设,
画出的图象如图所示,
根据极值点偏移可知,.
证明如下:
由图象可知,,则,
,
设,,则,
则
即在单调递增,故,
即,
故,由在单调递减,
则,故,A选项正确;
B选项,若且,则,
则,
所以,充分性成立;
由,
得与图象关于原点对称,
如图所示,显然但,
故必要性不成立,B选项错误;
C选项,由,
得与的图象关于对称,
由B选项可知,即为把向下平移个单位.
若不等式恰有3个整数解,
如图,由对称性可知,3个整数解恰好是,
所以,即,
解得,故C选项正确;
D选项,若不等式恰有2023个整数解,
由对称性可知,则2023个整数解即为,
且,
所以
,故D选项正确.
故选:ACD.
5.已知,则( )
A.B.
C.D.
【答案】AD
【分析】A.先构造函数,通过函数的单调性确定的大致范围,再构造
,通过函数的单调性确定与的大小关系,进而得到A选项.
B.先构造函数,通过函数的单调性确定的大致范围,再构造
,通过函数的单调性确定与的大小关系,进而可知B选项错误.
C.通过,得到,进而可得与的大小关系, 进而可知C选项错误.
D.与C选项同样的方法即可判断.
【详解】A. 令
则 ,所以在单调递减,在上单调递增,
且,故.
令
则,
所以在上单调递减,且
即 故选项A正确
B. 令
则,所以在单调递增,在上单调递减,
且,故.
令
所以在上单调递减,且
即 故选项B错误
C.
又在单调递增
故选项C错误
D. 由C可知, 又在单调递减
故选项D正确
故选:AD
6.已知函数,若,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.若,则
【答案】ABD
【分析】A. 证明在单调递增.因为,所以,即得解;
B. 设证明在单调递增即得解;
C. 设单调递增,即得解;
D.设,所以,所以时,单调递增,时,单调递减. 因为,所以,再利用极值点偏移的方法求解.
【详解】解:A. 由题得,所以,当时,所以在单调递增.因为,所以,所以,故选项A正确;
B. 设,
当时,所以在单调递增.
因为,所以所以,故该选项正确;
C. 设单调递增,因为,所以
所以,所以该选项错误;
D. 若,所以设,所以,所以时,单调递增,时,单调递减. 因为,所以,等价于,等价于等价于等价于,设,所以,所以时,,所以在单调递增.所以,所以,所以该选项正确.
故选:ABD
7.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.当时,恒成立
B.当时,必有零点
C.若有两个极值点,则
D.若在上单调递增,则
【答案】ABD
【分析】A选项,二次求导,得到当时,,单调递减,当时,,单调递增,,A正确;B选项,转化为两函数的交点问题,画出图象,数形结合求解;C选项,构造差函数,求解极值点偏移问题;D选项,问题转化为若在上单调递增,则恒成立,求出,结合,证明出结论.
【详解】A选项,,,
令,则有,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以在取得极小值,也是最小值,
,又,
所以当时,,当时,,
且当时,恒成立,
故当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以在处取得极小值,也是最小值,
,A正确;
B选项,当时,,
令,则,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
在处取得极小值,也是最小值,,
且当时,恒成立,
而为过原点的直线,画出与的图象如下:
无论为何值,两函数均有交点,即必有零点,B正确;
若有两个极值点,则要有两个异号零点,设为,则有
令,则,
当时,,当时,,
则有,
构造函数,则有
则,
所以在R上单调递增,
因为,所以,即,
又因为,
所以,
其中,而当时,,单调递减,
故,所以,C错误;
若在上单调递增,则恒成立,
令,则,
当时,,当时,,
在处取得极小值,也是最小值,
其中,所以,整理得:,
其中,理由如下:
设,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以在处取得极小值,也是最小值,
,即,
所以,
所以,则,D正确.
故选:ABD
8.已知函数有两个零点、,则下列说法正确的是( ).
A.B.C.D.
【答案】ACD
【分析】分析可知直线与曲线的图象有两个交点,数形结合可判断A选项;证明对数平均不等式,其中,且、均为正数,利用对数平均不等式可判断BCD选项.
【详解】由可得,令,其中,
所以,直线与曲线的图象有两个交点,
,令,可得,列表如下:
作出函数与的图象如下图所示:
由图可知,当时,函数与的图象有两个交点,A对;
接下来证明对数平均不等式,其中,且、均为正数.
先证明,其中,
即证,
令,,其中,则,
所以,函数在上为增函数,当时,,
所以,当时,,
接下来证明:,其中,即证,
令,即证,
令,其中,则,
所以,函数在上为减函数,当时,,
所以,当时,,
由已知可得,两式作差可得,所以,,
因为,故,,B错,CD都对.
故选:ACD.
9.已知函数,则( )
A.
B.若有两个不相等的实根、,则
C.
D.若,x,y均为正数,则
【答案】AD
【分析】A:代入直接计算比较大小;B:求的导函数,分析单调性,可得当有两个不相等实根时、的范围,不妨设,则有,比较的大小关系,因为,可构造,求导求单调性,计算可得成立,可证;C:用在上单调递增,构造可证明;D:令,解出,,做差可证明.
【详解】解:对于A:,又,,,所以,则有,A正确;
对于B:若有两个不相等的实根、,则,故B不正确;
证明如下:函数,定义域为,则,
当时,;当时,;
所以在上单调递增,在上单调递减,则且时,有,所以 若有两个不相等的实根、,有,
不妨设,有,要证,只需证,且,又,所以只需证,令
则有
当时,,,所以有,即在上单调递增,且,所以恒成立,即,即,即.
对于C:由B可知,在上单调递增,则有,即,则有,故C不正确;
对于D:令,则,,,
,
,故D正确;
故选:AD.
10.关于函数f(x)=+ln x,则下列结论正确的是( )
A.x=2是f(x)的极小值点
B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点
C.对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4
D.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立
【答案】ABC
【分析】利用导函数求解极值点,判断出A选项;利用导函数得到g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=1>0,g(2)=ln 2-1<0,有零点存在性定理判断B选项;构造差函数解决极值点偏移问题;D选项,问题转化为存在正实数k,使得恒成立,构造函数,利用二次求导得到其单调性,最终求得答案.
【详解】对于函数f(x)=+ln x,其定义域为(0,+∞),由于,令可得x=2,当0<x<2时,,当x>2时,,可知x=2是f(x)的极小值点,选项A正确;
设g(x)=f(x)-x,则,可知g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=1>0,g(2)=ln 2-1<0,所以方程g(x)=0有且仅有一个根,即函数y=f(x)-x有且只有1个零点,选项B正确;
由x=2是f(x)的极小值点,可知若f(x1)=f(x2)时,x2>2>x1>0,易知4-x1>2,则f(4-x1)-f(x2)=f(4-x1)-f(x1)=,令,则t>1,,则f(4-x1)-f(x2)==F(t)(t>1),,则F(t)在(1,+∞)上单调递减,F(t)<F(1)=0,故f(4-x1)-f(x2)<0,又f(x)在(2,+∞)上单调递增,则4-x1<x2,故x1+x2>4,选项C正确;
令f(x)>kx得:,即.设,x∈(0,+∞),
则,设H(x)=x-xln x-4,x∈(0,+∞),则,
因为,当0<x<1时,,当x>1时,,
所以函数H(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以H(x)max=H(1)=1-0-4=-3<0,
则<0恒成立,所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以不可能存在正实数k,使得恒成立.故选D不正确.
故选:ABC.
11.已知函数有两个极值点,,则( )
A.a的取值范围为(-∞,1)B.
C.D.
【答案】BCD
【分析】利用导数判断函数的单调性,根据零点的个数求出的取值范围,进而确定的取值范围,再利用不等式的性质、构造函数利用导数逐一判断即可.
【详解】由题设,且定义域为,则,
当时,则单调递增,不可能存在两个零点,即不可能存在两个极值点,A错误;
当时,即单调递增,当时,即单调递减,即,
当时,,所以至多有一个零点;
当时,,而,当趋向于0时趋于负无穷大,当趋向于正无穷时趋于负无穷大,
综上,,在内各有一个零点,且,
B:由且趋向于0时趋于负无穷大,所以,故,
令,
,
又,所以单调递减,
故当时,,
又,所以,
而,因此,故正确;
C:,
令,显然有,令,显然,
因此有:,
设,则,
当时,单调递减,当时,单调递增,
因为,所以,
令,即,
因为,所以单调递增,
因为,所以,
而,所以,
因为,所以,
当时,单调递减,因此有,即,正确;
D:由,则,故,正确.
故选:BCD
12.已知关于的方程有两个不等的正根,且,则下列说法正确的有( )
A.B.C.D.
【答案】ABD
【分析】根据题意构造函数,研究其函数图像得,可判断A;再构造函数,根据极值点偏移问题的方法得判断B;进而得判断C;根据等价得判断D.
【详解】解:对于A选项,根据题意,方程有两个不等的正根,且,
故令,则,
所以当时,,函数为单调递减函数,当时,,函数为单调递增函数,
所以函数有极小值,
因为趋近于,趋近于,趋近于,趋近于,
所以方程有两个不等的正根等价于,且故A选项正确;
对于B选项,令,
则,
所以在上单调递减,
所以,,
因为,所以,
因为时,函数为单调递增函数,
所以,即,故B选项正确;
对于C选项,因为,所以,
所以,故C选项错误;
对于D选项,若,则,
所以,所以,显然满足.故D选项正确.
故选:ABD
13.设函数,下列四个结论中正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.函数有且只有两个零点
C.函数的值域是
D.对任意两个不相等正实数,若,则
【答案】CD
【分析】利用导数判断时,的单调性,根据单调性可求值域,然后结合时,,从而可判断选项A,C;
首先利用导数判断时,的零点个数;然后再利用单调性判断时,的零点个数,从而可判断选项B;
不妨设,根据题意把要证明,转化为证明;然后构造函数,利用导数判断函数的单调性即可证明,从而判断选项D.
【详解】当时,,所以,
所以当时,在单调递增,
当时,在单调递减,
故时,,
又当时,,所以,,
所以函数在单调递增,所以A错误,C正确;
当时,令,则,
所以在单调递减,所以当时,,
所以函数在上没有零点;
当时,,所以只需求函数在上零点个数,
又因为在上单调递减,且,
所以函数在上只有一个零点.
所以函数有且仅有一个零点,所以B错误;
当时,若,因为函数在单调递增,在单调递减,
所以不妨设,则,
所以要证,只需证,即只需证,
又因为,所以只需证.
因为,
所以令函数,
则,
所以在单调递增,所以,
即恒成立,所以,
即,所以,
从而成立. 所以选项D正确.
故选:CD.
14.已知函数,则下面结论成立的是( )
A.当时,函数有两个实数根
B.函数只有一个实数根,则
C.若函数有两个实数根,,则
D.若函数有两个实数根,,则
【答案】AC
【分析】令参变分离可得,令,利用导数说明其单调性,即可得到函数的函数图象,从而判断A、B,若函数有两个实数根,,则,即可得到,再令,,利用导数研究函数的单调性,即可判断C、D;
【详解】解:根据题意,令则,令,则,所以当时,,当时,,即函数在上单调递增,在上单调递减,画出函数图象如下:
函数的最大值在处取得,最大值为,所以选项A正确,当或时函数只有一个实数根,故选项B不正确,
若函数有两个实数根,,则,所以,令,,对函数求导可得,,令,则恒成立,所以函数单调递增,又,所以,所以在时单调递增,的函数图象如下所示:
可得,所以选项C正确,选项D不正确.
故选:AC
15.已知函数的极大值点为0,则实数m的值为 ;设,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为 .
【答案】 1
【分析】求出函数的导函数,即可得到,从而求出,令,即可得到,令,利用导数说明函数的单调性,即可得到函数草图,即可得到,再令,利用导数说明函数的单调性,即可得到,从而得解;
【详解】解:,则,则,解得,
此时,,当时,当时,
所以在上的单调递增,在上单调递减,则在处取极大值,符合题意;
令,则
构造函数,则.
因为,所以当时,当时,
即在上单调递增,在上单调递减,又,
易知的图象如图所示:
不妨令,
令
∵
∴在上单调递增,即
∵,∴,即
∵,∴
∵在上单调递减,∴
故答案为:1;
16.已知函数.
(1)若函数是减函数,求的取值范围;
(2)若有两个零点,且,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)在上恒成立,参变分离在上恒成立,构造函数求出的最大值,从而求出的取值范围;
(2)由零点得到,令,从而得到,,,构造,求导得到其单调性,从而证明出结论.
【详解】(1)的定义域为,
,
函数是减函数,故在上恒成立,
即在上恒成立,
令,,
,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
故在处取得极大值,也是最大值,且,
故,解得,
故的取值范围是;
(2)若有两个零点,则,
得.
,令,则,
故,
则,
,
令,则,
令,则,
在上单调递增,
,
,则在上单调递增,
,即,
故.
17.已知函数.若函数有两个不相等的零点.
(1)求a的取值范围;
(2)证明:.
【答案】(1);
(2)证明见详解.
【分析】(1)利用导数研究函数的单调性及最值,结合零点存在性定理计算即可;
(2)构造函数,利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】(1)由题意可知:,
若,则恒成立,即单调递增,不存在两个不等零点,
故,
显然当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
所以若要符合题意,需,
此时有,且,
令,
而,
即在上递减,故,
所以,
又,
故在区间和上函数存在各一个零点,符合题意,
综上;
(2)结合(1),不妨令,
构造函数,
则,
即单调递减,所以,
即,
因为,所以,
由(1)知在上单调递增,所以由,
故.
18.已知函数有两个不同的零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)求证:.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】(1)利用导数求单调区间,结合图象可解;
(2)利用单调性将问题转化为证明,然后构造差函数,利用导数证明即可.
【详解】(1)的定义域为,
因为,所以当时,,当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,取得最小值.
又当x趋近于0或时,趋于,
所以,要使有两个不同的零点,只需满足,即.
所以实数的取值范围为.
(2)不妨设,由(1)可知,,则,
要证,只需证,
又在上单调递增,所以只需证,即证.
记,
则,
当时,,单调递增,
又,
所以,即.
所以.
19.已知函数.
(1)讨论的极值;
(2)若(e是自然对数的底数),且,,,证明:.
【答案】(1)答案见解析;
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据题意,求导得,然后分讨论,即可得到结果;
(2)根据题意,将原式变形为,然后构造函数,,求导可得函数在上单调递增,即可证明.
【详解】(1)函数的定义域为,求导得,
若,则,无极值;
若,由,可得,
若,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,
此时,函数有唯一极小值,无极大值;
若,当时,,则单调递增,当时,,则单调递减,
此时,函数有唯一极大值,无极小值;
所以当时,函数无极值;
当时,函数有极小值,无极大值;
当时,函数有极大值,无极小值;
(2)证明:由,两边取对数可得,即,
当时,,,
由(1)可知,函数在上单调递增,在上单调递减,所以,
而,时,恒成立,
因此,当时,存在且,满足,
若,则成立;
若,则,
记,,
则 ,
即有函数在上单调递增,所以,即,
于是,而,,,
函数在上单调递增,因此,即.
20.已知函数.
(1)当时,,求的取值范围.
(2)若函数有两个极值点,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)参变分离可得在恒成立,令,,利用导数求出函数的最大值,即可得解;
(2)求出函数的导函数,依题意可得函数与函数,的图象有两个交点,利用导数说明的单调性,不妨设,要证,即证,令,,利用导数说明函数的单调性,即可得证.
【详解】(1)当时,在恒成立,
令,,
则,
函数在上单调递减,
,
,
的取值范围是.
(2)函数,.
则,
函数有两个极值点,,
有两个正实数解方程有两个正实数解函数与函数,的图象有两个交点.
,令,解得,
当时,则单调递增,当时,则单调递减,
函数的极大值即最大值为.
又时,且当时,,又,
.
不妨设,
要证明,.
令,,.
所以
,
当且仅当,即时取等号,
函数在单调递增,
,,即,
因此成立.
减
极小值
增
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