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清单02 一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版）
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这是一份清单02 一元二次方程（12个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）（解析版），共35页。
【清单01】 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【清单02】 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【清单03】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【清单04】 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【清单05】 解一元二次方程
1.直接开方
注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【清单06】 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
【清单07】一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【清单08】一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为
【考点题型一】一元二次方程的概念
【典例1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2=0C．x2+1x=1D．(x−1)2+1=x2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】A、当a=0时，方程为bx+c=0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2=0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程x2+1x=1的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程(x−1)2+1=x2整理为−2x+2=0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【典例1-2】若m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．−1B．1C．±1D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，
∴m+1=2且m−1≠0，
解得m=−1，
故选：A．
【变式1-1】将一元二次方程2x2−4x=−5化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4，5B．−4，5C．−4，−5D．5，4
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解．
【详解】解：一元二次方程2x2−4x=−5的一般式为：2x2−4x+5=0，
若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为−4，5，
故选：B．
【变式1-2】若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
【答案】k≠3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可．
【详解】解：∵方程kx2+x=3x2+1，即k−3x2+x−1=0是一元二次方程，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故答案为：k≠3．
【变式1-3】一元二次方程3xx−1=2化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】 3x2−3x−2=0 3 −2
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出二次项系数，常数项即可．
【详解】解：3xx−1=2，整理得：3x2−3x−2=0．
其中二次项系数为∶3，常数项为：−2．
故答案为：3x2−3x−2=0；3；−2
【考点题型二】一元二次方程的解
【典例2】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，则此方程必有一个根为（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a−b+c，由a−b+c=0得到方程左右两边相等，即x=−1是方程的解．
【详解】解：将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边得：a×−12+b×−1+c=a−b+c，
∵a−b+c=0，
∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的根．
即方程的一个根为x=−1．
故选：C．
【变式2-1】关于x的方程x2−6x+k=0的一个根是2，则k的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x=2代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，把x=2代入得，22−6×2+k=0，
解得，k=8，
故答案为：8 ．
【变式2-2】已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则2024−2a2−2a的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得a2+a=1，根据2024−2a2−2a=2024−2a2+a，利用整体思想即可求解．
【详解】解：由题意得：a2+a−1=0
∴a2+a=1
∴2024−2a2−2a=2024−2a2+a=2024−2×1=2022
故答案为：2022．
【变式2-3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个解是x=1，则2023−a−b= ．
【答案】2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到a+b=1，然后把2023−a−b变形为2023−(a+b)，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0得a+b−1=0，
所以a+b=1，
所以2023−a−b=2023−(a+b)=2023−1=2022.
故答案为：2022.
【变式2-4】若a是方程x2−2x−3=0的一个根，则代数式2a2−4a+1的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出a2−2a−3=0，推出a2−2a=3，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵a是方程x2−2x−3=0的一个根，
∴a2−2a−3=0，
∴a2−2a=3，
∴2a2−4a+1=2a2−2a+1=2×3+1=7，
故答案为：7．
【考点题型三】解一元二次方程
【典例3】解下列方程：
(1)2x+12=18；
(2)x2−6x=11；
(3)3x2−4x−2=0；
(4)x−12=5x−5．
【答案】(1)x1=2,x2=−4
(2)x1=3+25,x2=3−25
(3)x1=2+103,x2=2−103
(4)x1=1,x2=6
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：2x+12=18
x+12=9
x+1=±3，
x+1=3或x+1=−3，
x1=2,x2=−4；
（2）解：x2−6x=11
x2−6x+9=11+9
x−32=20
x−3=±25，
x−3=25或x−3=−25，
x1=3+25,x2=3−25；
（3）解：3x2−4x−2=0，
Δ=−42−4×3×−2=40>0
∴x=4±402×3=2±103
x1=2+103,x2=2−103；
（4）解：x−12=5x−5
x−12=5x−1
x−12−5x−1=0
x−1x−1−5=0
x−1x−6=0
x−1=0或x−6=0，
x1=1,x2=6．
【变式3-1】一元二次方程x2−6x+5=0配方可变形为（ ）
A．x−32=4B．x+32=14C．x−32=14D．x+32=4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【详解】解：x2−6x+5=0，
∴x2−6x+5+4=4，
∴x−32=4，
故选：A．
【变式3-2】用公式法解方程x2+2x=−3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a=1，b=2，c=−3 B．a=1，b=2，c=0
C．a=1，b=2，c=3 D．a=0，b=2，c=−3
【答案】C
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：方程整理得x2+2x+3=0，
∴a=1，b=2，c=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式3-3】解一元二次方程：
(1)2x−32=9x+22；
(2)3x2+6x−4=0．
【答案】(1)x1=−9，x2=−35；
(2)x1=−1+213，x2=−1−213
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可求解；
（2）利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2x−32=9x+22，
∴2x−3=±3x+2，
即2x−3=3x+2或2x−3=−3x+2，
解得x1=−9，x2=−35；
（2）解：∵a=3，b=6，c=−4，
∴Δ=62−4×3×−4=84>0，
∴x=−6±842×3=−6±2216，
∴x1=−1+213，x2=−1−213．
【变式3-4】用适当的方法解方程：
(1)3x2−2x=0；
(2)x−12=4；
(3)x2+2x−5=0；
(4)3x+2x+3=8x+15．
【答案】(1)x1=0，x2=23；
(2)x1=−1，x1=3；
(3)x1=−6−1，x2=6−1；
(4)x1=−1−132，x2=−1+132．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；
（2）利用直接开平方法解答即可求解；
（3）移项，利用配方法解答即可求解；
（4）把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵3x2−2x=0，
∴x3x−2=0，
∴x=0或3x−2=0，
∴x1=0，x2=23；
（2）解：∵x−12=4，
∴x−1=±2，
∴x1=−1，x1=3；
（3）解：∵x2+2x−5=0，
∴x2+2x=5，
∴x2+2x+1=6，
即x+12=6，
∴x+1=±6，
∴x1=−6−1，x2=6−1；
（4）解：方程整理得，x2+x−3=0，
∴a=1，b=1，c=−3，
∴Δ=12−4×1×−3=13>0，
∴x=−1±132×1=−1±132，
∴x1=−1−132，x2=−1+132．
【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例4】一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ=0，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵在方程x2+2x+1=0中，Δ=22−4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等的两个实数根．
故选：A．
【变式4-1】关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，Δ=m2−4×−8=m2+32>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例5】关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤4且m≠2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有实数根
∴Δ=b2−4ac=42−4×m−2×2≥0且m−2≠0，
解得m≤4且m≠2，
故答案为：m≤4且m≠2．
【变式5-1】若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k<1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到−22−4k>0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ=−22−4k>0，
解得k<1．
故答案为：k<1．
【变式5-2】若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】m<−1
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解为本题的关䋖．
当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．根据Δ<0求解即可．
【详解】解：∵x2+2x−m=0没有实数根，
∴Δ=22+4m<0，
∴m<−1，
故为案为：m<−1．
【变式5-3】若关于x的一元二次方程ax2+x+4=1a≠0有两个相同的实数解，则a的值为 ．
【答案】112
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；判别式小于0时，方程没有实数根．由已知方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】解：∵ax2+x+4=1a≠0，
∴ax2+x+3=0a≠0，
∵ax2+x+4=1a≠0有两个相等的实数根，
∴Δ=1−12a=0，且a≠0，
解得：a=112．
故答案为：112．
【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系
【典例6】若x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x1+x2−4x1x2的值为（ ）
A．4B．−3C．0D．7
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得x1+x2=−1，x1x2=−2，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，
∴x1+x2=−1，x1x2=−2，
∴x1+x2−4x1x2=−1−4×−2=7，
故选：D．
【变式6-1】若x1、x2是方程x2−2x−1=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=−1，代入x1+x2+x1x2即可求解．
【详解】∵x1,x2是方程x2−2x−1=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=2−1=1，
故选D．
【变式6-2】若m、n是关于x的方程2x2−4x+1=0的两个根，则1m+1n的值为（ ）
A．4B．−4C．14D．−14
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出m+n=2，mn=12，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程2x2−4x+1=0的两个实数根，
∴m+n=2，mn=12，
∴1m+1n=m+nmn=212=4，
故选：A．
【变式6-3】若α，β是一元二次方程x2−x−2020=0的两个实数根，则α2−3α−2β+3的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义得出α+β=1，α2−α=2020，据此代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握方程的解的定义和整体代入思想的运用．
【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2−x−2020=0的两个实数根，
∴α+β=1，α2−α=2020，
∴α2−3α−2β+3
=α2−α−2α+β+3
=2020−2+3
=2021，
故选：C．
【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题
【典例7】2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
(1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
(2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．
【答案】(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%
(2)66.55万元
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解．
【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得，
501+x2=60.5，
解得：x1=0.1=10%,x2=−2.1（不合题意，舍去）．
答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%；
（2）解：该夜市9月份的总销售额为60.5×1+10%=66.55（万元）．
【变式7-1】雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）．
A．361+x2=25B．361−x2=25
C．251+x2=36D．361−2x=25
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a1±x2=b，由此可解．
【详解】解：若设每年的下降率为x，则2023年雾霾天气天数为361−x，2024年雾霾天气天数为361−x2，
故所列方程为361−x2=25．
故选B．
【变式7-2】某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．25(1+x)2=182B．25+25(1+x)+25(1+2x)=91
C．25(1+2x)=91D．25+25(1+x)+25(1+x)2=91
【答案】D
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，则五月份生产零件251+x个，六月份生产零件251+x2个，根据“第二季度共生产零件91万个”即可列出方程．
【详解】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意，得
25+25(1+x)+25(1+x)2=91．
故选：D
【变式7-3】据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A．207.9+207.91+x+207.91+x2=1027.96
B．207.91−x2=1027.96
C．207.9+207.91+x2=1027.96
D．207.91+x2=1027.96
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：a1+x2=b，列出方程即可，注意题目中1027.96亿元是3天的收入之和．
【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，由题意，得：
207.9+207.91+x+207.91+x2=1027.96；
故选A．
【变式7-4】随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
(1)若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？
【答案】(1)该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%
(2)小区最多可建室内车位21个
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，据此列一元一次不等式组，求出a的取值范围，据此即可解答．
【详解】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意可得：64(1+x)2=100，
解得：x=0.25=25%或x=−2.25（舍去），
答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%．
（2）解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位2a个，
根据题意可得：5000a+1000×2a≤150000，
解得：a≤2137，
∵a为整数，
∴小区最多可建室内车位21个．
答：小区最多可建室内车位21个．
【考点题型八】有关一元二次方程传播问题
【典例8】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后共有729人会患流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x(x+1)=81，
整理，得：x2+2x−80=0，
解得：x1=8，x2=−10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：81+81×8=729（人)．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【变式8-1】贵阳某小区有一人感染了新冠肺炎，由于不知情没居家隔离，经过两轮传染后共有100人患了新冠，引起了全省人民的关注，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人B．9人C．10人D．11人
【答案】B
【分析】本题考査了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有100个人患新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：每轮传染中平均一个人传染m人，
依题意，得：1+m+mm+1=100
解得：m1=9,m2=−11 (不合题意，舍去)
每轮传染中平均一个人传染9个人，
故选：B．
【变式8-2】进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）
A．1+x+xx+1=81B．1+1+x+xx+1=81
C．1+x+x2=81D．xx+1=81
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有xx+1人被感染．
根据题意得：1+x+xx+1=81．
故选：A．
【变式8-3】生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）
A．9B．10C．−10D．9或10
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出x个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每个支干分出x个小分支，
根据题意得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=−10（舍去），
故选：A．
【考点题型九】有关一元二次方程单双循环问题
【典例9】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是（ ）
A．40B．30C．29D．39
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送x−1条祝福短信，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送x−1条祝福短信，
根据题意得：xx−1=870，
整理得：x2−x−870=0，
解得x1=30，x2=−29（不符合题意，舍去），
∴这个班级的学生总人数是30，
故选：B．
【变式9-1】有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．x2=91B．1+x2=91C．1+x+x(1+x)=91D．1+x+x2=91
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为1+x+x2=91，
故选：D．
【变式9-2】某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（ ）
A．xx−1=1260B．xx+1=1260
C．2xx−1=1260D．2xx+1=1260
【答案】A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设全班共有x名同学，则每名同学都要给其他x−1名同学赠送一本图书，再根据全班共互赠了1260本书列出方程即可．
【详解】解：设全班共有x名同学，
由题意得，xx−1=1260，
故选：A．
【变式9-3】在足球联赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共进行了20场比赛，请问共有多少支足球队参加了足球联赛？（ ）
A．10B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分析出每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有x(x−1)场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．
【详解】解：设有x个足球队参加，依题意，
x(x−1)=20，
整理，得x2−x−20=0，
(x−5)(x+4)=0，
解得：x1=5，x2=−4（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：C．
【变式9-4】一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ）
A．12xx−1=28B．12xx+1=28
C．xx−1=28D．xx+1=28
【答案】A
【分析】根据题意，由传播问题的解法列一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】解：设有x个球队参加比赛，则12xx−1=28，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，掌握传播问题的求解方法是解决问题的关键．
【考点题型十】有关一元二次方程面积问题
【典例10】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设AB=x米时，鸡舍面积为S平方米．
(1)若a=14，求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当AB为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
【答案】(1)S=−2x−72+981(2)当AB为9米时，鸡舍的面积为90平方米
(3)不能
【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可；
（2）根据题意得：−2x2+28x=90求得x的值，然后代入验证即可；
（3）根据题意得x2−14x+50=0，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】（1）解：设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，鸡舍面积为S平方米，
根据题意得，S=27+1−2xx=−2x2+28x=−2x−72+98；
∵27+1−2x>0，x>1
∴x<14，x>1
∴x的取值范围为1（2）解：根据题意得：−2x2+28x=90，解得x1=5，x2=9，
当x=5时，27+1−2x=18>14（不合题意舍去），
当x=9时，27+1−2x=10<14．
答：当AB为9米时，鸡舍的面积为90平方米．
（3）解：根据题意得：−2x2+28x=100，整理得，x2−14x+50=0，
∵Δ=142−4×50<0，
∴方程没有实数根，
∴鸡舍面积不能达到100平方米．
【变式10-1】如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．54x+38x−x2=1800B．54−x38−x+x2=1800
C．54×38−54x−38x−x2=1800D．54−x38−x=1800
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为54−x米，宽为38−x米，根据矩形的面积公式可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得54−x38−x=1800．
故选：D．
【变式10-2】有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的14，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的16．
(1)设道路的宽为xm，则正方形的面积为______m2．（用含x的代数式表示）
(2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【答案】(1)16x2
(2)道路的宽为1米
【分析】（1）根据设道路的宽为x米以及道路的宽为正方形边长的14，进行列式计算，即可作答．
（2）首先设道路的宽为x米，根据道路的宽为正方形边长的14，得出道路与正方形的面积进而得出答案；
此题主要考查了一元二次方程的应用，①根据已知表示出阴影部分的面积是解题关键；②读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设道路的宽为x米．
∵道路的宽为正方形边长的14
∴正方形边长4x米
4x⋅4x=16x2
∴则正方形的面积为16x2m2
故答案为：16x2．
（2）解：设道路的宽为x米．
列方程x(12−4x)+x(20−4x)+16x2=16×20×12，
整理得x2+4x−5=0，
解得x1=1，x2=−5（舍去）．
答：道路的宽为1米；
【变式10-3】东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知AD=50m，AB=30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为800m2.
(1)求道路的宽是多少米?
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民?
【答案】(1)5米
(2)上涨20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为x米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 800m2，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，根据“该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）道路的宽为x米,
由题意得：50−2x30−2x=800,
整理得：x2−40x+175=0,
解得： x1=35(不合题意，舍去)， x2=5,
答：道路的宽是5米；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元,
由题意得：200+y50−y5=10120，
整理得：y2−50y+600=0，
解得：y1=20，y2=30，
∵尽可能让利于居民，
∴y=20，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．
【变式10-4】劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为650m2的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加4m，另一边增加5m构成一个正方形区域．
(1)求正方形区域的边长；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积812m2，求小道的宽度．
【答案】(1)30m
(2)1m
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设正方形区域的边长为xm，则矩形空地长为x−4m，宽为x−5m，依题意得，x−4x−5=650，计算求出满足要求的解即可；
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长30−ym，宽30−1−ym的矩形，依题意得，30−y30−1−y=812，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设正方形区域的边长为xm，则矩形空地长为x−4m，宽为x−5m，
依题意得，x−4x−5=650，
整理得：x2−9x−630=0，
∴x−31x+20=0，
解得：x1=30，x2=−21（舍去），
∴正方形区域的边长为30m；
（2）解：设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长30−ym，宽30−1−ym的矩形，
依题意得，30−y30−1−y=812，
整理得，y2−59y+58=0，
∴y−1y−58=0，
解得：y4=1，y1=58（舍去），
∴小道的宽度为1m．
【考点题型十一】有关一元二次方程利润问题
【典例11】某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．己知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
(2)每个模型应降价10元．
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量=20+2×=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利40−x元，平均每天可售出20+2x个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：20+2×4=20+8=28（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型．
可获利：40−420+4×2=36×28=1008元．
答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元．
（2）解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利40−x元，平均每天可售出20+2x个，
根据题意得：40−x20+2x=1200，整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x=10．
答：每个模型应降价10元．
【变式11-1】某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售x（元/千克）之间函数关系如图所示．
(1)求y与x函数关系式；
(2)商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为多少？
【答案】(1)y=−2x+240；
(2)商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为90元．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可；
（1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点40,160，120,0，从而可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
则40k+b=160120k+b=0，
解得，k=−2b=240，
即y与x函数关系式是y=−2x+240；
（2）商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，设销售单价应定为x元/千克，
x−40×−2x+240=3000，
解得，x=70或x=90，
又∵40−2x+240≤3800，
解得，x≥72.5，
故x=90，
即商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为90元．
【变式11-2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：
(1)若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？
(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】(1)1008
(2)20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利=每天销售量×每件盈利”进行解答；
（2）设每件衬衫应降价x元，根据“每天售出件数×每件盈利=每天盈利”，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：45×10+20×40−4=1008（元），
答：若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得：40−x20+2x=1200，
整理，得：x2−30x+200=0，
分解因式，得：x−10x−20=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵要“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=20，
答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．
【变式11-3】某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)7770元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
200+30−20×40−3010=7770（元）；
（2）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：a−2040−a−20010=8400，
解得：a=300或a=320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
【考点题型十二】有关一元二次方程动点问题
【典例12】已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从A，C处同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，一直到B为止，点Q以1cm/s的速度向D移动．当点P停止运动时点Q也停止运动，设运动的时间为t．
(1)点P和点Q两点从出发开始到几秒，四边形PBCQ的面积是4cm2；
(2)点P和点Q两点从出发开始到几秒，点P和点Q之间的距离是4cm；
(3)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)t=2秒
(2)6−233秒
(3)当t为−6+2333或65或3+72或3−72时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了．
（1）由题意，根据运动的时间为t，表示出AP=2t，CQ=t，PQ=6−2t，BC=2，根据四边形PBCQ的面积是4cm2可列方程，解方程即可解答；
（2）过QM⊥AB于M，则PM=6−3t，MQ=2，PQ=4，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目．
（3）过QM⊥AB于M，由勾股定理得：PD2=4+4t2，PQ2=4+(6−3t)2，DQ=6−t，分为三种情况：①DP=DQ时，②PQ=DP时，③DP=DQ时，分别求解即可；
【详解】（1）解：AP=2t，CQ=t，PB=6−2t，BC=2，
∴S四边形PBCQ=(t+6−2t)×22=4，
∴t=2；
（2）解：作QM⊥AB于M，则PM=6−3t，MQ=2，PQ=4，
由勾股定理得4+(6−3t)2=16，
解得：t1=6−233,t2=6+233(舍)．
（3）解：作QM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=∠QMP=90°，
由勾股定理得：PD2=AD2+AP2=22+(2t)2=4+4t2，
PQ2=QM2+PM2=22+(6−2t−t)2=4+(6−3t)2，
DQ=6−t，
分为三种情况：①DP=DQ时，即4+4t2=(6−t)2，
解得：t1=−6+2333,t2=−6−2333(舍)，
②PQ=DP时，即4+(6−3t)2=4+4t2，
解得：t=6或t=65，
∵t=6时，2t>6，此时舍去；
③PQ=DQ时，4+(6−3t)2=(6−t)2，
解得：t=3+72或t=3−72，
当t为−6+2333或65或3+72或3−72时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【变式12-1】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cms的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cms的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
(1)几秒后△PBQ的面积等于5cm2；
(2)几秒后PQ⊥DQ．
【答案】(1)1秒后或5秒后△PBQ的面积等于5cm2
(2)32秒或6秒后PQ⊥DQ
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设t秒后△PBQ的面积等于5cm2，则AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=6−tcm，再利用△PBQ的面积等于5cm2得出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）设t秒后PQ⊥DQ，结合矩形的性质可知PQ2=BP2+BQ2=6−t2+2t2，DQ2=CQ2+CD2=12−2t2+62，DP2=AD2+AP2=122+t2，根据PQ2+DQ2=DP2，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设t秒后△PBQ的面积等于5cm2，
则AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB−AP=6−tcm，
根据题意得：12×2t6−t=5，
解得：t1=1，t2=5，
答：1秒后或5秒后△PBQ的面积等于5cm2；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，
设t秒后PQ⊥DQ，
则AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB−AP=6−tcm，CQ=BC−BQ=12−2tcm，
则PQ2=BP2+BQ2=6−t2+2t2，
DQ2=CQ2+CD2=12−2t2+62，
DP2=AD2+AP2=122+t2，
∴PQ2+DQ2=DP2，
即：6−t2+2t2+12−2t2+62=122+t2，
解得：t1=32，t2=6，
即：32秒或6秒后PQ⊥DQ．
【变式12-2】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1)AP= ，BP= ，CQ= ，DQ= （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【答案】(1)3tcm；16−3tcm；2tcm；16−2tcm
(2)当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
(3)当t为85或245时，点P和点Q的距离为10cm
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=16−5t，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，AP=3tcm，BP=16−3tcm，CQ=2tcm，DQ=16−2tcm．
故答案为：3tcm；16−3tcm；2tcm；16−2tcm．
（2）依题意得：1216−3t+2t×6=33，
整理得：16−t=11，
解得：t=5．
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=16−3t−2t=16−5t，如图所示．
依题意得：16−5t2+62=102，
即16−5t2=82，
解得t1=85，t2=245．
答：当t为85或245时，点P和点Q的距离为10cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式12-3】如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是53cm？
【答案】(1)2或4
(2)175秒
【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）设x秒后，△PBQ面积为8cm2，用含x的代数式表示出BP和BQ，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设t秒后，P，Q两点间距离是53cm，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：设x秒后，△PBQ面积为8cm2，则BP=6−x，BQ=2x，
由12BP⋅BQ=8可得12(6−x)×2x=8，
解得x1=2，x2=4；
答：经过2秒或4秒后，△PBQ面积为8cm2．
（2）解：设t秒后，P，Q两点间距离是53cm，
由勾股定理，得BP2+BQ2=PQ2，即6−t2+2t2=532，
解得：t1=−1（舍去）t2=175；
答：175秒后，P，Q两点间距离是53cm．
【清单01】 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【清单02】 一元二次方程的一般形式
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【清单03】一元二次方程的解
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
【清单04】 一元二次方程的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【清单05】 解一元二次方程
1.直接开方
注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
2.配方法
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
3.公式法
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
4.因式分解
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【清单06】 一元二次方程的判别式
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
【清单07】一元二次方程的根与系数
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【清单08】一元二次方程的实际应用
1. 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
2. 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
3. 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。
4. 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
5. 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
6. 动点与几何问题
关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为
【考点题型一】一元二次方程的概念
【典例1-1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2=0C．x2+1x=1D．(x−1)2+1=x2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】A、当a=0时，方程为bx+c=0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2=0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程x2+1x=1的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程(x−1)2+1=x2整理为−2x+2=0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【典例1-2】若m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．−1B．1C．±1D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程m−1xm+1−2x=3是关于x的一元二次方程，
∴m+1=2且m−1≠0，
解得m=−1，
故选：A．
【变式1-1】将一元二次方程2x2−4x=−5化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为（ ）
A．4，5B．−4，5C．−4，−5D．5，4
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．把一元二次方程化为一般式，即可求解．
【详解】解：一元二次方程2x2−4x=−5的一般式为：2x2−4x+5=0，
若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别为−4，5，
故选：B．
【变式1-2】若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是 ．
【答案】k≠3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，先把方程化为一般式，再根据二次项系数不为0进行求解即可．
【详解】解：∵方程kx2+x=3x2+1，即k−3x2+x−1=0是一元二次方程，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故答案为：k≠3．
【变式1-3】一元二次方程3xx−1=2化成一般形式为 ，其中二次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】 3x2−3x−2=0 3 −2
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出二次项系数，常数项即可．
【详解】解：3xx−1=2，整理得：3x2−3x−2=0．
其中二次项系数为∶3，常数项为：−2．
故答案为：3x2−3x−2=0；3；−2
【考点题型二】一元二次方程的解
【典例2】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，则此方程必有一个根为（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a−b+c，由a−b+c=0得到方程左右两边相等，即x=−1是方程的解．
【详解】解：将x=−1代入方程ax2+bx+c=0中的左边得：a×−12+b×−1+c=a−b+c，
∵a−b+c=0，
∴x=−1是方程ax2+bx+c=0的根．
即方程的一个根为x=−1．
故选：C．
【变式2-1】关于x的方程x2−6x+k=0的一个根是2，则k的值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把x=2代入计算即可求解．
【详解】解：根据题意，把x=2代入得，22−6×2+k=0，
解得，k=8，
故答案为：8 ．
【变式2-2】已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则2024−2a2−2a的值为 ．
【答案】2022
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得a2+a=1，根据2024−2a2−2a=2024−2a2+a，利用整体思想即可求解．
【详解】解：由题意得：a2+a−1=0
∴a2+a=1
∴2024−2a2−2a=2024−2a2+a=2024−2×1=2022
故答案为：2022．
【变式2-3】如果关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个解是x=1，则2023−a−b= ．
【答案】2022
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到a+b=1，然后把2023−a−b变形为2023−(a+b)，再利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=1代入方程ax2+bx−1=0得a+b−1=0，
所以a+b=1，
所以2023−a−b=2023−(a+b)=2023−1=2022.
故答案为：2022.
【变式2-4】若a是方程x2−2x−3=0的一个根，则代数式2a2−4a+1的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出a2−2a−3=0，推出a2−2a=3，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵a是方程x2−2x−3=0的一个根，
∴a2−2a−3=0，
∴a2−2a=3，
∴2a2−4a+1=2a2−2a+1=2×3+1=7，
故答案为：7．
【考点题型三】解一元二次方程
【典例3】解下列方程：
(1)2x+12=18；
(2)x2−6x=11；
(3)3x2−4x−2=0；
(4)x−12=5x−5．
【答案】(1)x1=2,x2=−4
(2)x1=3+25,x2=3−25
(3)x1=2+103,x2=2−103
(4)x1=1,x2=6
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：2x+12=18
x+12=9
x+1=±3，
x+1=3或x+1=−3，
x1=2,x2=−4；
（2）解：x2−6x=11
x2−6x+9=11+9
x−32=20
x−3=±25，
x−3=25或x−3=−25，
x1=3+25,x2=3−25；
（3）解：3x2−4x−2=0，
Δ=−42−4×3×−2=40>0
∴x=4±402×3=2±103
x1=2+103,x2=2−103；
（4）解：x−12=5x−5
x−12=5x−1
x−12−5x−1=0
x−1x−1−5=0
x−1x−6=0
x−1=0或x−6=0，
x1=1,x2=6．
【变式3-1】一元二次方程x2−6x+5=0配方可变形为（ ）
A．x−32=4B．x+32=14C．x−32=14D．x+32=4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方．
【详解】解：x2−6x+5=0，
∴x2−6x+5+4=4，
∴x−32=4，
故选：A．
【变式3-2】用公式法解方程x2+2x=−3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A．a=1，b=2，c=−3 B．a=1，b=2，c=0
C．a=1，b=2，c=3 D．a=0，b=2，c=−3
【答案】C
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：方程整理得x2+2x+3=0，
∴a=1，b=2，c=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【变式3-3】解一元二次方程：
(1)2x−32=9x+22；
(2)3x2+6x−4=0．
【答案】(1)x1=−9，x2=−35；
(2)x1=−1+213，x2=−1−213
【分析】（1）利用直接开平方法解答即可求解；
（2）利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵2x−32=9x+22，
∴2x−3=±3x+2，
即2x−3=3x+2或2x−3=−3x+2，
解得x1=−9，x2=−35；
（2）解：∵a=3，b=6，c=−4，
∴Δ=62−4×3×−4=84>0，
∴x=−6±842×3=−6±2216，
∴x1=−1+213，x2=−1−213．
【变式3-4】用适当的方法解方程：
(1)3x2−2x=0；
(2)x−12=4；
(3)x2+2x−5=0；
(4)3x+2x+3=8x+15．
【答案】(1)x1=0，x2=23；
(2)x1=−1，x1=3；
(3)x1=−6−1，x2=6−1；
(4)x1=−1−132，x2=−1+132．
【分析】（1）利用因式分解法解答即可求解；
（2）利用直接开平方法解答即可求解；
（3）移项，利用配方法解答即可求解；
（4）把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵3x2−2x=0，
∴x3x−2=0，
∴x=0或3x−2=0，
∴x1=0，x2=23；
（2）解：∵x−12=4，
∴x−1=±2，
∴x1=−1，x1=3；
（3）解：∵x2+2x−5=0，
∴x2+2x=5，
∴x2+2x+1=6，
即x+12=6，
∴x+1=±6，
∴x1=−6−1，x2=6−1；
（4）解：方程整理得，x2+x−3=0，
∴a=1，b=1，c=−3，
∴Δ=12−4×1×−3=13>0，
∴x=−1±132×1=−1±132，
∴x1=−1−132，x2=−1+132．
【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例4】一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ=0，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键．
【详解】解：∵在方程x2+2x+1=0中，Δ=22−4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等的两个实数根．
故选：A．
【变式4-1】关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，Δ=m2−4×−8=m2+32>0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例5】关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤4且m≠2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式Δ=b2−4ac，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m−2x2+4x+2=0有实数根
∴Δ=b2−4ac=42−4×m−2×2≥0且m−2≠0，
解得m≤4且m≠2，
故答案为：m≤4且m≠2．
【变式5-1】若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k<1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到−22−4k>0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ=−22−4k>0，
解得k<1．
故答案为：k<1．
【变式5-2】若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】m<−1
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解为本题的关䋖．
当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．根据Δ<0求解即可．
【详解】解：∵x2+2x−m=0没有实数根，
∴Δ=22+4m<0，
∴m<−1，
故为案为：m<−1．
【变式5-3】若关于x的一元二次方程ax2+x+4=1a≠0有两个相同的实数解，则a的值为 ．
【答案】112
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；判别式小于0时，方程没有实数根．由已知方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】解：∵ax2+x+4=1a≠0，
∴ax2+x+3=0a≠0，
∵ax2+x+4=1a≠0有两个相等的实数根，
∴Δ=1−12a=0，且a≠0，
解得：a=112．
故答案为：112．
【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系
【典例6】若x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x1+x2−4x1x2的值为（ ）
A．4B．−3C．0D．7
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得x1+x2=−1，x1x2=−2，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键
【详解】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，
∴x1+x2=−1，x1x2=−2，
∴x1+x2−4x1x2=−1−4×−2=7，
故选：D．
【变式6-1】若x1、x2是方程x2−2x−1=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．−2B．−1C．0D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=−1，代入x1+x2+x1x2即可求解．
【详解】∵x1,x2是方程x2−2x−1=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1x2=−1，
∴x1+x2+x1x2=2−1=1，
故选D．
【变式6-2】若m、n是关于x的方程2x2−4x+1=0的两个根，则1m+1n的值为（ ）
A．4B．−4C．14D．−14
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出m+n=2，mn=12，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程2x2−4x+1=0的两个实数根，
∴m+n=2，mn=12，
∴1m+1n=m+nmn=212=4，
故选：A．
【变式6-3】若α，β是一元二次方程x2−x−2020=0的两个实数根，则α2−3α−2β+3的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义得出α+β=1，α2−α=2020，据此代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握方程的解的定义和整体代入思想的运用．
【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2−x−2020=0的两个实数根，
∴α+β=1，α2−α=2020，
∴α2−3α−2β+3
=α2−α−2α+β+3
=2020−2+3
=2021，
故选：C．
【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题
【典例7】2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同．
(1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率；
(2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额．
【答案】(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%
(2)66.55万元
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解．
【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得，
501+x2=60.5，
解得：x1=0.1=10%,x2=−2.1（不合题意，舍去）．
答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10%；
（2）解：该夜市9月份的总销售额为60.5×1+10%=66.55（万元）．
【变式7-1】雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）．
A．361+x2=25B．361−x2=25
C．251+x2=36D．361−2x=25
【答案】B
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a1±x2=b，由此可解．
【详解】解：若设每年的下降率为x，则2023年雾霾天气天数为361−x，2024年雾霾天气天数为361−x2，
故所列方程为361−x2=25．
故选B．
【变式7-2】某农机厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．25(1+x)2=182B．25+25(1+x)+25(1+2x)=91
C．25(1+2x)=91D．25+25(1+x)+25(1+x)2=91
【答案】D
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．
设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，则五月份生产零件251+x个，六月份生产零件251+x2个，根据“第二季度共生产零件91万个”即可列出方程．
【详解】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，根据题意，得
25+25(1+x)+25(1+x)2=91．
故选：D
【变式7-3】据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ）
A．207.9+207.91+x+207.91+x2=1027.96
B．207.91−x2=1027.96
C．207.9+207.91+x2=1027.96
D．207.91+x2=1027.96
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系：a1+x2=b，列出方程即可，注意题目中1027.96亿元是3天的收入之和．
【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x，由题意，得：
207.9+207.91+x+207.91+x2=1027.96；
故选A．
【变式7-4】随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆．
(1)若该小区2022年底到2024年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资不超过15万元，再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量是室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？
【答案】(1)该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%
(2)小区最多可建室内车位21个
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，根据某小区2022年底拥有家庭轿车64辆，2024年底家庭轿车的拥有量达到100辆列一元二次方程求出x的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位a个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，据此列一元一次不等式组，求出a的取值范围，据此即可解答．
【详解】（1）解：设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意可得：64(1+x)2=100，
解得：x=0.25=25%或x=−2.25（舍去），
答：该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率为25%．
（2）解： 设该小区可建室内车位a个，则露天车位2a个，
根据题意可得：5000a+1000×2a≤150000，
解得：a≤2137，
∵a为整数，
∴小区最多可建室内车位21个．
答：小区最多可建室内车位21个．
【考点题型八】有关一元二次方程传播问题
【典例8】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
(1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后共有729人会患流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数=经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x(x+1)=81，
整理，得：x2+2x−80=0，
解得：x1=8，x2=−10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）解：81+81×8=729（人)．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【变式8-1】贵阳某小区有一人感染了新冠肺炎，由于不知情没居家隔离，经过两轮传染后共有100人患了新冠，引起了全省人民的关注，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人B．9人C．10人D．11人
【答案】B
【分析】本题考査了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有100个人患新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：每轮传染中平均一个人传染m人，
依题意，得：1+m+mm+1=100
解得：m1=9,m2=−11 (不合题意，舍去)
每轮传染中平均一个人传染9个人，
故选：B．
【变式8-2】进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（ ）
A．1+x+xx+1=81B．1+1+x+xx+1=81
C．1+x+x2=81D．xx+1=81
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人，
第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有xx+1人被感染．
根据题意得：1+x+xx+1=81．
故选：A．
【变式8-3】生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（ ）
A．9B．10C．−10D．9或10
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出x个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设每个支干分出x个小分支，
根据题意得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=−10（舍去），
故选：A．
【考点题型九】有关一元二次方程单双循环问题
【典例9】毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是（ ）
A．40B．30C．29D．39
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送x−1条祝福短信，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个班级的学生总人数是x，则每一位同学需发送x−1条祝福短信，
根据题意得：xx−1=870，
整理得：x2−x−870=0，
解得x1=30，x2=−29（不符合题意，舍去），
∴这个班级的学生总人数是30，
故选：B．
【变式9-1】有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A．x2=91B．1+x2=91C．1+x+x(1+x)=91D．1+x+x2=91
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为1+x+x2=91，
故选：D．
【变式9-2】某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（ ）
A．xx−1=1260B．xx+1=1260
C．2xx−1=1260D．2xx+1=1260
【答案】A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设全班共有x名同学，则每名同学都要给其他x−1名同学赠送一本图书，再根据全班共互赠了1260本书列出方程即可．
【详解】解：设全班共有x名同学，
由题意得，xx−1=1260，
故选：A．
【变式9-3】在足球联赛中，每两支足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，共进行了20场比赛，请问共有多少支足球队参加了足球联赛？（ ）
A．10B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分析出每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x个足球队，比赛场次共有x(x−1)场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．
【详解】解：设有x个足球队参加，依题意，
x(x−1)=20，
整理，得x2−x−20=0，
(x−5)(x+4)=0，
解得：x1=5，x2=−4（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：C．
【变式9-4】一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ）
A．12xx−1=28B．12xx+1=28
C．xx−1=28D．xx+1=28
【答案】A
【分析】根据题意，由传播问题的解法列一元二次方程求解即可得到答案．
【详解】解：设有x个球队参加比赛，则12xx−1=28，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，读懂题意，掌握传播问题的求解方法是解决问题的关键．
【考点题型十】有关一元二次方程面积问题
【典例10】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设AB=x米时，鸡舍面积为S平方米．
(1)若a=14，求S关于x的函数表达式及x的取值范围．
(2)在（1）的条件下，当AB为多少时，鸡舍的面积为90平方米？
(3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？
【答案】(1)S=−2x−72+981
(3)不能
【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
（1）设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可；
（2）根据题意得：−2x2+28x=90求得x的值，然后代入验证即可；
（3）根据题意得x2−14x+50=0，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】（1）解：设AB=x米时，则BC=27+1−2x米，鸡舍面积为S平方米，
根据题意得，S=27+1−2xx=−2x2+28x=−2x−72+98；
∵27+1−2x>0，x>1
∴x<14，x>1
∴x的取值范围为1
当x=5时，27+1−2x=18>14（不合题意舍去），
当x=9时，27+1−2x=10<14．
答：当AB为9米时，鸡舍的面积为90平方米．
（3）解：根据题意得：−2x2+28x=100，整理得，x2−14x+50=0，
∵Δ=142−4×50<0，
∴方程没有实数根，
∴鸡舍面积不能达到100平方米．
【变式10-1】如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．54x+38x−x2=1800B．54−x38−x+x2=1800
C．54×38−54x−38x−x2=1800D．54−x38−x=1800
【答案】D
【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为54−x米，宽为38−x米，根据矩形的面积公式可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得54−x38−x=1800．
故选：D．
【变式10-2】有一个长、宽分别为20m和12m的矩形水池ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与AB平行，另两条与BC平行，已知道路的宽为正方形边长的14，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的16．
(1)设道路的宽为xm，则正方形的面积为______m2．（用含x的代数式表示）
(2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【答案】(1)16x2
(2)道路的宽为1米
【分析】（1）根据设道路的宽为x米以及道路的宽为正方形边长的14，进行列式计算，即可作答．
（2）首先设道路的宽为x米，根据道路的宽为正方形边长的14，得出道路与正方形的面积进而得出答案；
此题主要考查了一元二次方程的应用，①根据已知表示出阴影部分的面积是解题关键；②读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设道路的宽为x米．
∵道路的宽为正方形边长的14
∴正方形边长4x米
4x⋅4x=16x2
∴则正方形的面积为16x2m2
故答案为：16x2．
（2）解：设道路的宽为x米．
列方程x(12−4x)+x(20−4x)+16x2=16×20×12，
整理得x2+4x−5=0，
解得x1=1，x2=−5（舍去）．
答：道路的宽为1米；
【变式10-3】东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地ABCD建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知AD=50m，AB=30m，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为800m2.
(1)求道路的宽是多少米?
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民?
【答案】(1)5米
(2)上涨20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为x米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 800m2，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元，根据“该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）道路的宽为x米,
由题意得：50−2x30−2x=800,
整理得：x2−40x+175=0,
解得： x1=35(不合题意，舍去)， x2=5,
答：道路的宽是5米；
（2）设每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10120元,
由题意得：200+y50−y5=10120，
整理得：y2−50y+600=0，
解得：y1=20，y2=30，
∵尽可能让利于居民，
∴y=20，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10120元．
【变式10-4】劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉．某中学对劳动教育进行积极探索和实践，创建学生劳动教育基地，该中学有面积为650m2的矩形空地，计划在矩形空地上一边增加4m，另一边增加5m构成一个正方形区域．
(1)求正方形区域的边长；
(2)在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积812m2，求小道的宽度．
【答案】(1)30m
(2)1m
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设正方形区域的边长为xm，则矩形空地长为x−4m，宽为x−5m，依题意得，x−4x−5=650，计算求出满足要求的解即可；
（2）设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长30−ym，宽30−1−ym的矩形，依题意得，30−y30−1−y=812，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设正方形区域的边长为xm，则矩形空地长为x−4m，宽为x−5m，
依题意得，x−4x−5=650，
整理得：x2−9x−630=0，
∴x−31x+20=0，
解得：x1=30，x2=−21（舍去），
∴正方形区域的边长为30m；
（2）解：设小道的宽度为ym，则栽种鲜花的区域可合成长30−ym，宽30−1−ym的矩形，
依题意得，30−y30−1−y=812，
整理得，y2−59y+58=0，
∴y−1y−58=0，
解得：y4=1，y1=58（舍去），
∴小道的宽度为1m．
【考点题型十一】有关一元二次方程利润问题
【典例11】某网店为满足航空航天爱好者的需求，推出了“中国空间站”模型．己知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
(1)若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
(2)在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【答案】(1)平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
(2)每个模型应降价10元．
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用平均每天的销售量=20+2×=20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量和获利的钱数；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利40−x元，平均每天可售出20+2x个，利用“总利润=每个的销售利润×日销售量”列出关于x的一元二次方程，求解并取其符合题意的值即可．
【详解】（1）解：20+2×4=20+8=28（个）；即：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型．
可获利：40−420+4×2=36×28=1008元．
答：平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元．
（2）解：设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利40−x元，平均每天可售出20+2x个，
根据题意得：40−x20+2x=1200，整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x=10．
答：每个模型应降价10元．
【变式11-1】某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售x（元/千克）之间函数关系如图所示．
(1)求y与x函数关系式；
(2)商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为多少？
【答案】(1)y=−2x+240；
(2)商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为90元．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，利用数形结合的思想解答即可；
（1）根据函数图像可以设出函数解析式，函数图像过点40,160，120,0，从而可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
则40k+b=160120k+b=0，
解得，k=−2b=240，
即y与x函数关系式是y=−2x+240；
（2）商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，设销售单价应定为x元/千克，
x−40×−2x+240=3000，
解得，x=70或x=90，
又∵40−2x+240≤3800，
解得，x≥72.5，
故x=90，
即商店想在销售成本不超过3800元的情况下，使销售利润达到3000元，销售单价应定为90元．
【变式11-2】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．求：
(1)若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？
(2)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】(1)1008
(2)20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，因式分解法解一元二次方程，有理数的混合运算等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据题意得到每天的销售量，然后由“每天盈利=每天销售量×每件盈利”进行解答；
（2）设每件衬衫应降价x元，根据“每天售出件数×每件盈利=每天盈利”，列出方程解答即可．
【详解】（1）解：45×10+20×40−4=1008（元），
答：若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元；
（2）解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意，得：40−x20+2x=1200，
整理，得：x2−30x+200=0，
分解因式，得：x−10x−20=0，
解得：x1=10，x2=20，
∵要“扩大销售量，减少库存”，
∴x1=10应舍去，
∴x=20，
答：若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元．
【变式11-3】某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
(1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
(2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】(1)7770元
(2)房价定为300元或320元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程．
（1）根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得；
（2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得．
【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
200+30−20×40−3010=7770（元）；
（2）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：a−2040−a−20010=8400，
解得：a=300或a=320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
【考点题型十二】有关一元二次方程动点问题
【典例12】已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从A，C处同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，一直到B为止，点Q以1cm/s的速度向D移动．当点P停止运动时点Q也停止运动，设运动的时间为t．
(1)点P和点Q两点从出发开始到几秒，四边形PBCQ的面积是4cm2；
(2)点P和点Q两点从出发开始到几秒，点P和点Q之间的距离是4cm；
(3)当t为何值时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【答案】(1)t=2秒
(2)6−233秒
(3)当t为−6+2333或65或3+72或3−72时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形
【分析】本题属于动点问题，动点几何问题的解题方法：根据图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置），利用动点位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用数形结合的转化的思想将几何问题转化为函数和方程问题，进而通过函数的性质或解方程就可以解决问题了．
（1）由题意，根据运动的时间为t，表示出AP=2t，CQ=t，PQ=6−2t，BC=2，根据四边形PBCQ的面积是4cm2可列方程，解方程即可解答；
（2）过QM⊥AB于M，则PM=6−3t，MQ=2，PQ=4，由勾股定理可求出t的值，从而解答题目．
（3）过QM⊥AB于M，由勾股定理得：PD2=4+4t2，PQ2=4+(6−3t)2，DQ=6−t，分为三种情况：①DP=DQ时，②PQ=DP时，③DP=DQ时，分别求解即可；
【详解】（1）解：AP=2t，CQ=t，PB=6−2t，BC=2，
∴S四边形PBCQ=(t+6−2t)×22=4，
∴t=2；
（2）解：作QM⊥AB于M，则PM=6−3t，MQ=2，PQ=4，
由勾股定理得4+(6−3t)2=16，
解得：t1=6−233,t2=6+233(舍)．
（3）解：作QM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=∠QMP=90°，
由勾股定理得：PD2=AD2+AP2=22+(2t)2=4+4t2，
PQ2=QM2+PM2=22+(6−2t−t)2=4+(6−3t)2，
DQ=6−t，
分为三种情况：①DP=DQ时，即4+4t2=(6−t)2，
解得：t1=−6+2333,t2=−6−2333(舍)，
②PQ=DP时，即4+(6−3t)2=4+4t2，
解得：t=6或t=65，
∵t=6时，2t>6，此时舍去；
③PQ=DQ时，4+(6−3t)2=(6−t)2，
解得：t=3+72或t=3−72，
当t为−6+2333或65或3+72或3−72时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
【变式12-1】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cms的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cms的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
(1)几秒后△PBQ的面积等于5cm2；
(2)几秒后PQ⊥DQ．
【答案】(1)1秒后或5秒后△PBQ的面积等于5cm2
(2)32秒或6秒后PQ⊥DQ
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设t秒后△PBQ的面积等于5cm2，则AP=tcm，BQ=2tcm，则BP=6−tcm，再利用△PBQ的面积等于5cm2得出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）设t秒后PQ⊥DQ，结合矩形的性质可知PQ2=BP2+BQ2=6−t2+2t2，DQ2=CQ2+CD2=12−2t2+62，DP2=AD2+AP2=122+t2，根据PQ2+DQ2=DP2，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设t秒后△PBQ的面积等于5cm2，
则AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB−AP=6−tcm，
根据题意得：12×2t6−t=5，
解得：t1=1，t2=5，
答：1秒后或5秒后△PBQ的面积等于5cm2；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，
设t秒后PQ⊥DQ，
则AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB−AP=6−tcm，CQ=BC−BQ=12−2tcm，
则PQ2=BP2+BQ2=6−t2+2t2，
DQ2=CQ2+CD2=12−2t2+62，
DP2=AD2+AP2=122+t2，
∴PQ2+DQ2=DP2，
即：6−t2+2t2+12−2t2+62=122+t2，
解得：t1=32，t2=6，
即：32秒或6秒后PQ⊥DQ．
【变式12-2】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1)AP= ，BP= ，CQ= ，DQ= （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
【答案】(1)3tcm；16−3tcm；2tcm；16−2tcm
(2)当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
(3)当t为85或245时，点P和点Q的距离为10cm
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=16−5t，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，AP=3tcm，BP=16−3tcm，CQ=2tcm，DQ=16−2tcm．
故答案为：3tcm；16−3tcm；2tcm；16−2tcm．
（2）依题意得：1216−3t+2t×6=33，
整理得：16−t=11，
解得：t=5．
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=16−3t−2t=16−5t，如图所示．
依题意得：16−5t2+62=102，
即16−5t2=82，
解得t1=85，t2=245．
答：当t为85或245时，点P和点Q的距离为10cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式12-3】如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
(1)经过_____________________秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
(2)经过几秒后，P，Q两点间距离是53cm？
【答案】(1)2或4
(2)175秒
【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）设x秒后，△PBQ面积为8cm2，用含x的代数式表示出BP和BQ，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设t秒后，P，Q两点间距离是53cm，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：设x秒后，△PBQ面积为8cm2，则BP=6−x，BQ=2x，
由12BP⋅BQ=8可得12(6−x)×2x=8，
解得x1=2，x2=4；
答：经过2秒或4秒后，△PBQ面积为8cm2．
（2）解：设t秒后，P，Q两点间距离是53cm，
由勾股定理，得BP2+BQ2=PQ2，即6−t2+2t2=532，
解得：t1=−1（舍去）t2=175；
答：175秒后，P，Q两点间距离是53cm．
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