初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数同步测试题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册22.1.1 二次函数同步测试题，共79页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五，题型六等内容，欢迎下载使用。

目录TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc22761" 题型一：线段周长问题 PAGEREF _Tc22761 \h 1
\l "_Tc9643" 题型二：面积问题 PAGEREF _Tc9643 \h 12
\l "_Tc7425" 题型三：角度问题 PAGEREF _Tc7425 \h 23
\l "_Tc18334" 题型四：特殊三角形问题 PAGEREF _Tc18334 \h 40
\l "_Tc22943" 题型五：特殊四边形问题 PAGEREF _Tc22943 \h 54
\l "_Tc25347" 题型六：其他问题 PAGEREF _Tc25347 \h 67
一、题型一：线段周长问题
1．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是0,4，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长．
【详解】解：在中，
令，则，
点，
又轴，
点、的纵坐标都是，
直线交抛物线于点，
在中，令，则，
解得：，
，，
，
故答案为：8．
2．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，与y轴交于点B，C、D分别为x轴、直线上的动点，当四边形的周长最小时，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数解析式的确定，对称点的确定与求解，三线段和最小问题，分别构造定点关于轴，对称轴的对称点是解题的关键．先把点代入解析式，确定函数的表达式，根据的长是定值，想使四边形的周长最小，只需的和最小，为此过点作对称轴的对称点，作点B关于x轴的对称点F，连接，交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，据此求解即可．
【详解】解：作点A关于对称轴的对称点E，则，作点B关于x轴的对称点F，
连接交x轴于点C，交对称轴于点D，此时四边形的周长取得最小值，
将点代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴点B坐标为0,1，
则点，
设所在直线解析式为，
将，代入得，
解得，
所以所在直线解析式为．
当时，，
．
故答案为：．
3．（2024·山西·二模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点M，交于点N求线段长的最大值．
【答案】(1)；线段所在直线的函数表达式
(2)3
【分析】（1）分别令，解方程即可得到A，B，C 三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段所在直线的函数表达式；
（2）根据题意，结合（1）线段所在直线的函数表达式，设点P的坐标为，点N的坐标为，由，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，
令，则，
点C的坐标为，
令，则，
即，
解得：或，
点A在点B的左侧，
点A的坐标为，点B的坐标为，
设线段所在直线的函数表达式为，
将点代入，得，
解得：，
线段所在直线的函数表达式为；
（2）解：点P在抛物线上，
设点P的坐标为，
轴交于点N，
点N的坐标为，
点P在线段上方的抛物线上，
且，
，且，
当时，有最大值，线段长的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．
4．（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
(1)求二次函数的解析式和直线的函数解析；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围______．
(3)是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限内时，求线段长度的最大值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)最大值为
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；
（2）根据图象即可求得使一次函数值大于二次函数值的的取值范围；
（3）设出点坐标，从而可表示出的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，方程思想等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质
【详解】（1）解： 抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，
解得，
抛物线解析式为，即，
点在轴上，令可得，
点坐标为，
可设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得，
直线解析式为；
（2）解：∵且直线与二次函数的图象交这两点
结合图象：一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）解：设点横坐标为，
则，
，
当长度的最大值为．
5．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在；或或或
【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标；
（3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可；
【详解】（1）解：在中，
令，得，
，
令，得，
，
把两点的坐标代入中得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P，
垂直平分，，
，
为定值，
当A、、P三点共线时，有最小值为．
点B为的中点，

在中，
令，得（舍），
，
，
的最小值为，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
，
，
，
，
设直线解析式为，
则，
解得，
直线解析式为，
直线与直线的交点P的坐标满足方程组：
，
解得，
点P的坐标为．
（3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，，
相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，
∴平移后新抛物线为
设点M的坐标为，
，
要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：
①当为对角线时，点N的坐标为；
此时若点N在抛物线上，
则，解得，
，
②当为对角线时，点N的坐标为，
此时若点N在抛物线上，
则，解得，
，
③当为对角线时，点N的坐标为；
此时若点N在抛物线上，
则，解得，
当时，得到，
当时，得到
综上，点M的坐标为或或或．
【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
二、题型二：面积问题
6．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，面积最大值为
(3)存在，或或或
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键．
（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论．
【详解】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
③以、为对角线，，
，
，
；
综上所述：或或或．
7．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于点A，直线的函数解析式为．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形的面积有最大值，最大值为8，此时
【分析】（1）在直线y＝﹣x+2中分别令和，可得A和C的坐标；
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；
（3）方法一：过M点作轴，与交于点N，设则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
【详解】（1）解：对于一次函数．
令，得，令，得，
∴，
（2）解：将，代入得
解得
∴
（3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线，
∴B−2,0，
∴
如图过点M作直线轴交直线于点N
设则
∴
∴
∵，
∴当时，四边形最大值为8且；
方法二：由（1）知：
∴抛物线的对称轴是直线
∵，∴B−2,0
连接，设
∴
∴当时，四边形的面积有最大值，最大值为8，此时．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式．
8．（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)当点P的坐标为时，的面积有最大值
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）过过点P向x轴作垂线交直线于点Q，设，则，
得到与的关系式，进而得到，再根据二次函数的性质计算即可；
【详解】（1）解：在中，当时，，
当时，，
，，
将，，代入中可得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过点P向x轴作垂线交直线于点Q，
设，则，
，
，
，
当时，最大，最大值为，
，
当点P的坐标为时，的面积有最大值．
9．（24-25九年级上·云南昆明·开学考试）若直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过点，点，且与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点为直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标；
【答案】(1)
(2)当时，最大，最大为，这时点P的坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图像和性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点P作轴交AB于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据计算即可．
【详解】（1）解：当x=0时，，
∴点A的坐标为，
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
设抛物线的解析式为，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点P作轴交AB于点Q，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
当时，最大，最大为，这时点P的坐标为．
10．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴正半轴交于点，与轴于点，且过点，连接．
(1)求的面积；
(2)若点是抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而求出点坐标，最后利用即可求解；
（）由可得抛物线的对称轴为直线，利用待定系数法可得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为，可得，进而得，再根据三角形的面积可得，据此即可求解；
本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得，，
∴，
把x=0代入得，，
∴，
设直线AB的解析式为，直线AB与轴相交于点，
把、代入得，
，
解得，
∴直线AB的解析式为，
把x=0代入得，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由可得抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为y=mx+n，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与抛物线对称轴相交于点，点坐标为，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴点的坐标为或．
三、题型三：角度问题
11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识．
（1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案；
（2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图，
∵，．
∴，
∵，，
∴，
点P的坐标为0,1；
②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图，
同理可证，，
，
∴.点的坐标为.
综上所述，点P的坐标为0,1或；
（2）如解图，设直线的解析式为，
由点B、P的坐标可得
则
解得
∴直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，，
当时，
解得（舍去）或，
当时，，
点D的坐标为，
当时，
解得（舍去）或，
则
点的坐标为.
综上所述，点D的坐标为或.
12．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作，轴于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，使得，点的横坐标为或
【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：，把点代入即可求解；
（2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，设与交于点，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且A−2,0，，，结合二次函数图象的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，分类讨论：第一种情况，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作，交抛物线与点，接触直线的解析式为，联立抛物线为方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入可得，，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
设直线的解析式为：y=kx+bk≠0，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
如图所示，设与交于点，
∵轴，
∴，且，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
设，则，，且A−2,0，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴；
（3）解：存在点，点的横坐标为或，理由如下，
∵抛物线，
∴将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：，
令x=0，则，令，则，得，
∴，，
∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点A−2,0到轴的距离的一半，
∴，且，
把代入得，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
新抛物线图像如图所示，
第一种情况，过点作，交抛物线与点，则，
∴设直线的解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为：，
联立新抛物线与直线为方程组得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或，
∴；
第二种情况，作，交抛物线与点，交直线于点，
∴，
设，且，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立抛物线与直线为方程组得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，
∴；
综上所述，存在点，使得，点的横坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．
13．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．
AI
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解；
（3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：对于，令，则
解得：
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）解：设，，
∵点为AB中点，，
∴，
∵，，三点共线，
∴可设直线的解析式，
联立
消去得，
∴
∵，
∴可设直线解析式为，直线的解析式为
联立
解得：
∴
∵，
∴，
∴
而不为定值，
∴在直线上运动，
∴到轴的距离为定值，
∴的面积是定值，且的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)两点，与y轴交于点C．直线经过A，C两点，连接．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得?若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将沿x轴正方向平移得到 (点A，O，C的对应点分别为)，，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，将，代入得，，可求，进而可得；
（2）如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，则，当时，，可求或，即，待定系数法求直线的解析式为，联立，计算可求；
（3）由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，则，同理（1），直线的解析式为，设，其中，由平移可得，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，联立，可求，则，，可求满足要求的解为，则，，，，，，当时，，即，，根据与重叠部分的面积为，计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
将，代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：如图1，作，使与关于对称，直线与轴交于点，
∴，
当时，，
解得，或，
∴，
设直线的解析式为，
将、代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，或，
∴，
∴存在，；
（3）解：由题意知，当与的面积相等时，与的面积相等，
∴，
同理（1），直线的解析式为，
设，其中，
由平移可得，设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
联立，
解得，，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，，，，，，
∵，
∴轴，
当时，，即，
∴，
∴与重叠部分的面积为，
∴与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平移的性质，坐标与图形，二次函数与角度综合是解题的关键．
15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．

(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标；
(3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解；
（3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解．
【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，

∵的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，，
将，代入抛物线解析式，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，

∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得，
解得：，，
当时，，
则；
（3）解：设，
由，，
设直线解析式为：，
则，
解得：，
∴直线解析式为：，
设直线解析式为：，
则，
解得：，
直线解析式为：，
当时，，，
∴，
∵恒为定值，
∴．
四、题型四：特殊三角形问题
16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或
【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键．
（1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧，
∴点的坐标为，
将，代入．
，解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形．
理由如下：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，
∴当时，，
∴点的坐标为，则，
∴
当时，则，过点作于点，如图．
则是等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得：，（舍），
当时，，
点的坐标为；
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，
则，可设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为．
∴，解得：或．
∴点的坐标为或．
综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
17．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为．
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若，求此时点的坐标；
(3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的解析式为，
(2),
(3)，，或
【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案；
（2）设，，根据，则，即可解答；
（3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可．
【详解】（1）解：设，将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
抛物线经过点，两点，将，代入，
，
解得，
；
（2）设，，，则，
当时
∵
，
整理得，
，（舍去）
；
当时
∵
，
整理得，
∴（舍去）或x=6；
∴
当时
∴不存在
综上所述：,
（3）设，则
，，，
①当时，即，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），

②时，即，
，
，
，
而，
，
，
③时，即，
，
，
（舍去）或 ，
或，
或，
综上所述：，，或
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
18．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等
【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案；
（2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
令，即，解得，，
∴A−2,0，B4,0，
∵，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴，
∴，
∵A−2,0，
∴，，
设点，
∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，
∴，
∴，
∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等，
∴当时，，
∴，解得，（舍），
∴；
当时，，
∴，解得，（舍），
∴，
综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等.
19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过A1,0， 两点，与x轴交于点B．
(1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，进而求解；
（3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，
∴，
设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，解得，
∴抛物线的解析式为：；
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设直线与对称轴的交点为M，则此时的值最小，
把代入直线得，故，
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为；
（3）设，
∵，，
∴，
若点B为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点C为直角顶点时，则，
即
解得，
若P为直角顶点时，则，
∴，
解得，
综上，点P的坐标为或或或．
20．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标．
(3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解；
（3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：，，
∴，
，
如图，
点N在抛物线的对称轴上，
，
当点N在x轴上方时，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
抛物线的对称轴为，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
；
当点N在x轴下方时，
由对称性得：；
综上，点N的坐标为或；
（3）解：如图，过点M作交于点H，
设，
点M是抛物线的顶点，
当时，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最大，
此时点D的坐标为1,0．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了用待定系数法求二次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象及最大值，二次函数与特殊三角形问题，二次函数与相似三角形问题，涉及分类讨论思想及方程思想，有一定的难度和运算量．
五、题型五：特殊四边形问题
21．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)平行四边形，理由见解析
(3)
【分析】（1）将点代入，可得；
（2）作交轴于点，连接、，由点在上，可知，，连接，得到，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得到结论；
（3）由题意得，，连接，在上方作，使得，，证明，根据（当，，三点共线时最短），得到的最小值为，利用勾股定理求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点
答：抛物线的表达式为．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
如图1，作交轴于点，连接、，
点在上，
，，
连接，
，
．
当时，
，
，
，
轴，轴，
，
四边形是平行四边形．
（3）解：如图2，由题意得，，连接，
在上方作，使得，，
，，
，
，
，，，
，
，
（当，，三点共线时最短），
的最小值为，
，
即的最小值为．
答：的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
22．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解；
（2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解；
（3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点，
连接交直线于点，
设直线的表达式为
把，代入
得
解得
直线的表达式为：，
当时，，
即点，
则，
则四边形的面积
；
（3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线，
设点F的坐标为，
①当为边，为对角线时，，
，
，
解得，
点F的坐标为或；
②当为边，为对角线时，，
，
，
解得，
点F的坐标为或，
综上所述，点F的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
23．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标；
(3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点M的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解；
（3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点，代入得，
，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵当时，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
最大值为：；
∴；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形；
如图，当为对角线时，
∵，，设，，
∴，解得：，
∴；
当为对角线时，如图，
同理可得：，解得：，
∴；
如图，当为对角线时，
同理可得：，解得：，
∴；
综上：点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
24．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标；
(3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
【答案】(1)
(2)点或或或
(3)点F坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可；
（2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可；
（3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点，
，
设点，
，
，
或，
∴点或或或；
（3）解：若为边，且四边形是平行四边形，
，
∴点F与点C纵坐标相等，
，
，，
∴点，
若为边，且四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，
∴点F的纵坐标为，
，
，
∴点或；
若为对角线，则四边形是平行四边形，
与互相平分，
中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，
∴点F的纵坐标为3，
∴点，
综上所述，点F坐标−2,3或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
25．（2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为．
(1)分别求出点，的坐标（用表示）；
(2)证明：函数与的图象相交于，两点；
(3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值．
【答案】(1)；
(2)详见解析
(3)
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点．
（1）由顶点坐标公式即可求解；
（2）证明：令，得或，即可求解；
（3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解．
【详解】（1），对称轴，
当时，，
∴，
，对称轴，
当时，，
∴；
（2）令，得：，
化简得：，即，
解得：，，
将，分别代入二次函数中，得：，，
∴交点坐标为和，
即：函数与相交于、两点．
（3）当时，，顶点；，顶点，
∴直线解析式为：，
设，则
∴，
则，则，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
六、题型六：其他问题
26．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点C0,−3．
(1)求的值及点的坐标；
(2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)4，；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．
本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
【详解】（1）解：把和C0,−3代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，则，解得：
∴点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为：．
把代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设，则
，
，
∴当时，有最大值4，此时，
点的坐标为．
（3）解：由题意，得，
抛物线的对称轴为直线，
，
当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示：
点在抛物线的对称轴直线上，
，
，
，即，
点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点，
则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点；
当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示：
设抛物线的对称轴直线与轴交于点，
点在抛物线的对称轴直线上，
，
，即，
点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点，
则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点，
综上所述，点的坐标为或．
27．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．
【初步感知】
（1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象；
【深入探究】
（2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点0,1，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）上， 3，右，2；
（2）右平移3个单位长度；
（3）的取值范围为，，或．
【分析】(1)根据抛物线顶点，向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得抛物线，顶点得出结论；
(2)设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，再由已知可得: ，由“x为任意实数”可得，从而得出结论；
(3)把代入，得到，从而得到: 的图象与直线有交点时b的取值范围及交点的坐标，再由已知条件“在x轴上方只有一个交点”得出结论．
【详解】解：（1）抛物线的顶点是，抛物线的顶点为2,3，而点向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得点2,3，
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得的图象，
故答案为：上，3，右，2；
（2）设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，
将的图象平移，使得平移后的图象始终过点0,1且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，，
整理，得，，
为任意实数，
，，
，
，
最多将的图象向右平移3个单位长度；
（3）①当平移后两个图象相切，只有一个交点时，，
即：，
两函数图象相切，
，
解得：，，
当时，两图象交于点2,1，
当时，两图象交于点，
，都在轴上方，
当或，两图象在轴上方只有一个交点，
（2）当平移后两个图象不相切，在轴上方只有一个交点时，
与轴的交点为，
时，二次函数的值为：，
过点为0,3，
过点为0,1，
当时，两图象在轴上方只有一个交点，另一个交点在轴上.
解得：，
两图象在轴上的交点坐标为或，另一个交点在轴上方，.
与轴的交点为，
的对称轴为.
与轴的交点横坐标小于大于0，
的对称轴大于，
两个图象的一个交点在第四象限，一个交点在第一象限，，
与轴的交点为，
的对称轴为，
与轴的交点横坐标大于小于0，
的对称轴小于，
两个图象的一个交点在第三象限，一个交点在第二象限.
当或是，两图象在轴上方只有一个交点，
综上所述：的取值范围为，，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键．
28．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且．
(1)求a的值；
(2)点D为抛物线的顶点，点P在第三象限的抛物线上，轴，交直线于点Q，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，连接、，交y轴于点E，连接、，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，射线交y轴于点K，当时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）当时求出A、B点坐标，再由，求出C点坐标，根据，求出a的值即可；
（2）求出直线的解析式为，则，，可得；
（3）分两种情况讨论：当E点在K点上方时，当E点在K点下方时，分别得到，，分别求P点坐标即可．
【详解】（1）解：∵，当时，，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点P的横坐标为t，
，
轴，
，
；
（3）解：当E点在K点上方时，连接，，延长交于点G，
，，，
，，，
，
是直角三角形，，
由旋转可知，
，
，，
，
，
，
，
∴点A、G、B、D四点共圆，
，
，
，
，
，
，
过点A作交于点Q，过点Q作轴交于N点，过点P作轴交于H点，
，
，，
，
，
，，
，
，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
，
，
解得（舍）或，
；
当E点在K点下方时，延长交于点T，交于点M，连接，，
同理可知，
，
，
，
∴点A、T、B、D四点共圆，
，
，，
，
，
过点P作交的延长线于W点，过点P作轴交x轴于点L，过点W作交于S点，
，
，
，
，，
，
∵直线的解析式为，
当时，，
，
∴直线的解析式为，
，
解得（舍）或，
；
综上所述：P点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
29．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于点A−2,0，点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)若点是抛物线上一动点，连接，点在抛物线上运动时；
①取的中点，求点运动轨迹的函数的解析式；
②在线段上取中点，点运动轨迹的函数的解析式为，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为，，在线段上取中点，点的运动轨迹的函数的解析式为（n为正整数）；则函数的解析式为 （用含n的式子表示）．
③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)，
(2)；；
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再令，则，即可得解；
（2）①根据中点坐标公式计算即可得出答案；②根据中点坐标公式计算即可得出答案；③若直线与系列函数，，，，的图象共只有4个交点，临界点为直线线与，有一个交点，联立方程解之即可．
【详解】（1）解：把点A−2,0，点代入抛物线，
∴，
解得，
∴抛物线，
令，则，；
（2）解：①∵点在抛物线上，设点的横坐标为，
∴，
∴的中点的坐标为，
设，则，
；
同理可得，的坐标为，
∴；
的坐标为，
∴；
……，
∴的坐标为，
；
若直线与函数有两个交点，与函数有两个交点时，共有4个交点，
联立，整理得，，
当直线与函数有一个交点时，，解得；
……，
联立，整理得，，
当直线与函数有一个交点时，，解得；
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，中点坐标公式，抛物线与直线的交点等相关问题，关键是掌握重点坐标公式．
30．（2024·湖南岳阳·模拟预测）我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0．
(1)求c的值；
(2)设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值；
(3)若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质．
（1）根据题意得出点A的坐标，将其代入，即可求出c的值；
（2）先得出该直线的解析式为，把代入得出，则，把代入得出，进而得出，最后根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答；
（3）根据题意得出抛物线为，则y有最小值，当时，，当时，，令，，，画出的函数图象，根据图象，即可解答．
【详解】（1）解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为
∴，
把代入y=ax2+bx+c得：；
（2）解：把代入得：，
∴该直线的解析式为，
把代入得：，
整理得：，
∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上，
∴，
∴，
把代入得：，
整理得：，
把代入得：，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，解得：，
∵抛物线 y=ax2+bx+c上偏离距离为0的两个点在x轴上，
∴和为方程的两根，
∴；
（3）解：∵，，
∴抛物线为，
∵，
∴，
当时，，
当时，，
令，，，
画出的函数图象如图所示：
由图可知，当时，d取最小值．