初中数学华东师大版（2024）九年级上册23.4 中位线说课ppt课件

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三角形的中位线 三角形的重心 中点四边形
在23.3节中，我们曾得到如下结论: 如图23.4.1,在△ABC中，DE//BC，则△ADE∽△ABC. 在推理过程中，我们由DE∥BC推得 那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容易推知点 E也是AC的中点，并且 现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
画画看，你能有什么猜想？
如图23.4. 2，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC 的中点.根据画出的图形，可以猜想：DE // BC,且DE = BC.对此，我们可以用演绎推理给出证明.
在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC∵∠ADE = ∠ABC,∴
1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．一个三角形共有3条中位线.易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，它的周长等于原三角形周长的 ，面积等于原三角形面积的
【例1】 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB， AC的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为 ________．
导引：直接根据三角形的中位线定理解答即可．因为D， E分别是边AB，AC的中点，所以DE是△ABC的 中位线，所以DE＝ BC＝ ×6＝3(cm)．
证明：连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第 三边，并且 等于第三边的一半）. 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分.
【例2】 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中 线互相平分. 已知：如图,在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解答．
如图，以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2 (中考·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(　　) A．15° B．20° C．25° D．30°
如图23. 4. 4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点， ∴DE//AC ， (三角形的中位线平行于第 三边，并且等于第三边的一半）. ∴△ACG∽△DEG, ∴
如果在图23. 4.4中取AC的中点F,假设BF与AD相交于点Gˊ如图23.4.5，那么我们同理可得 所以 即两图中的点G与点Gˊ 是重合的.
三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三条 中线的交点．2. 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的连 线的长是对应中线长的
【例4】 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面 积为________．
导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为 BC边上的中线，且DG＝ AD， 故S△ABD＝ S△ABC＝3 cm2， 由△BGD与△ABD同高不等底易 得 故S△BGD＝ S△ABD＝ ×3＝1(cm2)．
已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要准确把握以下几点：三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线 长的 (2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长 的(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF 的长为(　　) A．2 B．1.5 C．3 D．4
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有(　　) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
1. 中点四边形：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2．常见的中点四边形：(1) 顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；(2) 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是菱形；(3) 顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；(4) 顺次连结正方形各边中点所得的四边形是正方形；(5) 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形．
【例5】〈猜想说理题〉如图23.4­4所示，四边形ABCD中， 点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．(1) 请判断四边形EFGH的形状，并说明理由；(2) 若四边形EFGH为正方形，则四边形ABCD的对 角线应满足怎样的条件？
导引：(1)由点E，F，G，H分别是各边的中 点可以联想到中位线，故连结AC， 把四边形ABCD分成△ABC和△ADC， 然后利用三角形的中位线定理判断四边形EFGH的 形状；(2)在(1)的基础上结合正方形的判定方法考 虑对角线AC，BD应满足的条件．
解：(1)四边形EFGH是平行四边形． 理由如下：如图23.4­5所示，连结AC. ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF＝ AC. ∵G，H分别是CD，DA的中点， ∴GH是△ADC的中位线， ∴GH∥AC，GH＝ AC. ∴EF∥GH，EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形． (2)四边形ABCD的对角线应满足：AC⊥BD且AC＝BD.
本题是一道猜想说理题，首先应根据题目给出的条件进行初步推断，然后进行判断，最后对猜想的结论进行推理论证，以证明猜想的正确性．判断中点四边形的形状，关键是三角形中位线定理的运用．
1. 求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边 形是平行边形.