高中1 曲线运动精品课时练习

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作业01 曲线运动 运动的合成与分解
一、曲线运动的条件及特点
1．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
(2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。
2．速率变化的判断
二、小船渡河的两种方式
1．船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种相关速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v。
3．两种渡河方式
三、绳和杆的关联速度的合成与分解问题
1．模型特点：沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．分解思路：
3．解题原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。

1．“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”是唐代诗人张志和的名句。有一雨滴从静止开始自由下落一段时间后，进入如图所示的斜风区域并下落一段时间，若雨滴受到的阻力可忽略不计，则下列选项中最接近雨滴真实运动轨迹的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】一雨滴从静止开始自由下落一段时间后，具有一定的竖直向下的初速度，进入如图所示的斜风区域，可知小球受到竖直向下的重力和斜向下偏右的风力，则小球受到的合力斜向下偏右，小球在斜风区域做曲线运动，且小球受到的合力位于曲线的凹侧。
故选A。
2．篮球从高处无转动下落将沿竖直方向运动，若在释放瞬间给篮球一个转动速度，篮球仍在竖直平面内运动，运动轨迹变成曲线，如图1所示。图2为其侧视图，篮球运动到M点时速度方向如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．篮球下落过程中只受重力
B．篮球的速度可以保持不变
C．M点处篮球受到的合力可能指向左下方
D．M点处篮球的加速度方向指向轨迹的凹侧
【答案】D
【详解】A．由题知，篮球做曲线运动，根据图2篮球所受力在曲线凹侧，重力方向竖直向下，故篮球下落过程中还受到其他力，A错误；
B．篮球做曲线运动，故为变速运动，B错误；
CD．根据曲线运动的特点可知，M点处篮球速度方向沿运动轨迹切线方向，合外力方向指向运动轨迹的凹侧，则加速度方向指向运动轨迹的凹侧，C错误，D正确；
故选D。
3．嫦娥五号的返回舱采用“打水漂”的技术来减速并成功着陆在预定区域，如图所示为其飞行轨迹的示意图，它的特点是航天器多次进出大气层，这种轨道与传统直接再入式轨道相比，能够有效降低航天器再入式的速度，避免产生较大的过载，安全性好。图中标出了返回舱在飞行轨迹上4个位置处所受合外力的情况，其中一定错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】做曲线运动的物体，受到的合外力一定指向轨迹的凹侧，所以位置处标记的返回舱的受力一定是错误的。
故选B。
4．2021年4月6日，爱国华侨领袖陈嘉庚先生创立的厦门大学迎来了百年校庆。当晚，百架无人机在夜空中排列出“厦门大学100周年校庆”的字样。若分别以水平向右、竖直向上为x、y的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的图像分别如图甲、乙所示，则时间内，该无人机的运行轨迹为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，在时间内，无人机在x方向上向右做匀减速运动，加速度沿x轴负向，在y方向上做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴正向，则合力方向沿坐标平面的第三象限，根据合力方向位于轨迹的凹侧，可知无人机的轨迹向上偏转；在时间内，无人机在x方向上做匀速运动，在y方向上向上做匀减速运动，加速度沿y轴负向，合力方向沿y轴负向，可知无人机的轨迹向下偏转。
故选A。
5．如图1所示是杂技演员正在表演情景的简化图，杂技演员在水平方向的位移与时间关系如图2所示，在竖直方向上的速度与时间关系如图3所示，则（ ）
A．杂技演员在做变加速运动
B．杂技演员相对于地面的运动轨迹为直线
C．4s内杂技演员的位移大小为
D．4s末杂技演员的速度大小为5m/s
【答案】D
【详解】AB．由题目可知杂技演员在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为2m/s的匀加速直线运动，根据运动的合成规律可知，运动轨迹为抛物线，只有竖直方向有加速度，且加速度不变，故AB错误；
C．4s内杂技演员水平方向位移为12m，竖直方向位移也是12m，所以4s内杂技演员合位移为，故C错误；
D．4s末杂技演员的水平速度为3m/s，竖直方向上速度为4m/s，根据速度合成规律，合速度为5m/s，故D正确。故选D。
6．长征途中，红军强渡湘江。为安全起见，侦察小分队先行渡江，如图所示，侦察员乘坐渡船从A点渡江，只有与A点正对的B点适合登陆，若河宽600m，水流的速度大小恒为，渡船在静水中的速度大小恒为，侦察员沿直线到达对岸的B点，则侦察员渡江的时间为（ ）
A．200sB．150sC．120sD．80s
【答案】A
【详解】
由题意可得，渡船的合速度侦察员渡江的时间
故选A。
7．在三个不同的时间段，一只小船船头始终垂直于河岸且在静水中的速度大小相等，都从A点过河，三次过河时水流速度不同，但每次过河时水流速度各处相同且恒定，小船三次运动的轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A．小船沿AC轨迹过河所用的时间最短
B．小船沿AD轨迹过河所用的时间最长
C．小船到达D点时速度最大
D．小船到达C点时速度最大
【答案】C
【详解】AB．因小船船头始终垂直于河岸且在静水中的速度大小相等，可知三次过河的时间相等，均为
选项AB错误；
CD．因到达D点时小船沿水流方向的位移最大，可知水流速度最大，根据
可知，到达D点时速度最大，选项C正确，D错误。
故选C。
8．船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点，AB和河岸的夹角为，假设河水速度保持不变且，已知A点和B点的距离为，船在静水中的速度大小为，则船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为（ ）
A．3sB．C．D．4s
【答案】D
【详解】由于船在静水中的速度满足
船头的指向应该和AB连线垂直，如图所示
由几何关系可得则甲船从河岸A点沿直线AB到达对岸B点所用时间为故选D。
9．在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过定滑轮的轻绳相连，现A物体以的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面的夹角分别为α、β时（如图所示），B物体的运动速度为（绳始终有拉力）（ ）
A．B．C．D．
【答案】D【详解】A、B两物体通过轻绳相连，沿绳方向速度大小相等，有解得B物体的运动速度故选D。
10．如图所示，甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲套球在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，甲乙间杆长为4m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右运动，对于两球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．乙球距离起点3m时，甲、乙两球的速度大小之比为
B．乙球距离起点3m时，甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度不为零
【答案】B【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则在沿杆方向的分速度为在沿杆方向的分速度为而乙球距离起点3m时，有解得此时甲、乙两球的速度大小之比为故A错误，B正确；
CD．当甲球即将落地时，，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故CD错误。
故选B。
11．如图所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力、的方向恰好在同一直线上。下列说法正确的是（ ）
A．若只撤去，物体做匀加速直线运动
B．若只撤去，物体做匀加速直线运动
C．若只撤去，物体做曲线运动，速度大小先减小后增大
D．若只撤去，物体做曲线运动，速度大小先减小后增大
【答案】AD
【详解】由于初始时物体做匀速直线运动，则可知初始时合力为零。
A．由于初始时合力为零，则只撤去F1时，剩余三个力的合力与F1等大反向，与速度方向相同，则可知物体做匀加速直线运动，故A正确；
B．由于初始时合力为零，则只撤去F3时，剩余三个力的合力与F3等大反向，与速度方向相相反，则可知物体做匀减速直线运动，故B错误；
C．由于初始时合力为零，则只撤去F2时，剩余三个力的合力与F2等大反向，与速度方向夹角小于90°，则可知物体做曲线运动且速度越来越大，故C错误；
D．由于初始时合力为零，则只撤去F4时，剩余三个力的合力与F4等大反向，与速度方向夹角大于90°，则可知物体做曲线运动且速度先减小后增大，故D正确；
故选AD 。
12．如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．在D点的速度比在C点的速度大
B．在A点到B点的过程中，合外力做正功
C．在A点的加速度和在D点的加速度相等
D．从A到D过程中，合外力先做负功，后做正功，总功之和为零
【答案】AC
【详解】A．由于在B点时速度方向与加速度方向垂直，故加速度方向向下，可知质点从C点到D点的过程中，速度方向与加速度方向的夹角为锐角，合外力做正功，动能增大，所以质点由C点到D点速度增大，故A正确；
B．从A点到B点，力和速度夹角大于90°，合外力做负功，故B错误；
C．质点做匀变速曲线运动，所以加速度不变，故C正确；
D．从A到D过程中，合力与速度的夹角先是钝角后为锐角，所以合外力先做负功，后做正功，由于D点比A点低，总功之和为正功，故D错误。
故选AC。
13．修建高层建筑经常会用到塔式起重机，某塔式起重机某次提升质量为的建材（可视为质点），使得建材正在沿竖直方向以的速度向上做匀速直线运动，同时又使建材在水平方向上做匀加速运动，其水平方向的速度一时间关系图像如图甲所示（水平向右为正方向），下列说法正确的是（ ）
A．内建材的加速度大小为
B．末建材受到的合力大小为
C．末建材的速度大小为
D．建材的运动轨迹是图乙中的抛物线
【答案】AC
【详解】AB．由图甲，内建材的加速度大小
由牛顿第二定律可知末建材受到的合力大小
故A正确；B错误；
C．末建材的水平分速度大小为、竖直分速度大小为，此时合速度大小为
故C正确；
D．由于建材在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，因此建材的运动轨迹不可能是题图乙中的抛物线，故D错误。
故选AC。
14．潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉深”。如图甲所示，某潜艇在高密度区水平方向向右做匀速直线运动，时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉深”后其竖直方向的速度随时间t变化的图像如图乙所示，水平速度始终保持不变。下列说法正确的是（ ）
A．内潜艇做直线运动
B．内潜艇做曲线运动
C．内潜艇竖直方向上的位移大小为300m
D．内潜艇的速度变化量大小为20m/s
【答案】BC
【详解】A．内潜艇水平方向做匀速运动，竖直方向做匀加速运动，可知合运动为曲线运动，选项A错误；
B．内潜艇水平方向做匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为曲线运动，即潜艇做曲线运动，选项B正确；C．由图像可知，内潜艇竖直方向上的位移大小为选项C正确；
D．内潜艇水平速度不变，竖直速度变化量大小为10m/s，则潜艇的速度变化量大小为10m/s，选项D错误。
故选BC。
15．在研究某些复杂的曲线运动时，常常采用运动的合成与分解的方法。如图所示，某同学偶然发现汽车轮胎边缘的一个白色漆点，在随汽车向前匀速直线运动过程中，其运动轨迹很有特点，像一个个“桥拱”一样，该同学猜测白色漆点同时参与了随汽车向前的匀速直线运动和随轮胎绕车轴的匀速圆周运动。若汽车轮胎半径为r，汽车向前匀速运动的速度为v，轮胎与地面接触时不发生相对滑动，则（ ）
A．每形成一个“桥拱”的轨迹经历时间
B．漆点在与轮胎圆心等高点时相对地面的速度大小
C．漆点相对地面的最大速度
D．漆点相对地面的最小速度
【答案】AC
【详解】A．由运动的等时性得，每形成一个“桥拱”的轨迹经历时间T等于其中的匀速圆周运动一周的时间，为故A正确；
B．由运动的合成与分解，漆点在与轮胎圆心等高点时相对地面的速度大小为故B错误；
C．由运动的合成与分解，漆点在“桥拱”最高点时，此时随轮胎绕车轴的匀速圆周运动的线速度方向与汽车速度方向相同，漆点相对地面的速度最大，为故C正确；
D．由运动的合成与分解，漆点在“桥拱”最低点时，此时随轮胎绕车轴的匀速圆周运动的线速度方向与汽车速度方向相反，漆点相对地面的速度最小，为故D错误。故选AC。
16．民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。如图甲所示，选手骑马沿如图乙所示直线匀速前进，速度大小为，运动员静止时射出的箭速度大小为，且有，靶中心P到的距离为d，垂足为D，忽略箭在竖直方向的运动，下列说法正确的是（ ）
A．为保证箭能命中靶心，选手应瞄准靶心P放箭
B．为保证箭能命中靶心，选手在D点放箭也可以命中靶心
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，箭射中靶心的最短时间为
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，箭射中靶心的时间为
【答案】BCD
【详解】A．为保证箭能命中靶心，则箭的合速度方向应该指向靶心，而选手应瞄准靶心P左侧位置放箭，选项A错误；
B．为保证箭能命中靶心，选手在D点放箭也可以命中靶心，此时箭头应该指向P点左侧，合速度方向指向P点，选项B正确；
C．为保证箭能命中靶心，且运动时间最短，则箭应该垂直方向射出，此时箭射中靶心的最短时间为选项C正确；
D．为保证箭能命中靶心，且运动位移最短，即合速度方向指向P点且垂直于方向，此时箭射中靶心的时间为选项D正确。故选BCD。
17．截至目前，巴以冲突已导致双方超1.73万人死亡，为了避免冲突，我国进一步加强军事演练，假设在演练时士兵驾驶坦克向东的速度大小为，坦克静止时射出的炮弹速度大小为，且出膛方向沿水平面内可调整，坦克轨迹距离目标最近为d，忽略炮弹受到的空气阻力和炮弹竖直方向的下落，且不计炮弹发射对坦克速度的影响，下列说法正确的是（ ）
A．炮弹轨迹在地面上的投影是一条直线
B．要想命中目标且炮弹在空中飞行时间最短，坦克发射处离目标的距离为
C．炮弹命中目标最短时间为
D．若到达距离目标最近处时再开炮，不管怎样调整炮口方向，炮弹都无法射中目标
【答案】AC【详解】A．炮弹向东和向北的运动均为匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动，轨迹在地面上的投影是一条直线，故A正确；BC．炮弹速度向北发射时时间最短，则命中目标最短时间为坦克发射处离目标的距离为故B错误，C正确；
D．由于，若到达距离目标最近处时再开炮，应调整炮口至左上方，可能射中目标，故D错误。
故选AC。
18．如图所示，长为L的轻直棒一端可绕固定轴O在竖直面内转动，另一端固定一质量为m的小球，小球搁在光滑水平升降台上，升降平台以速度v匀速上升。下列说法正确的是（ ）

A．小球做匀速圆周运动
B．棒的角速度逐渐增大
C．当棒与竖直方向的夹角为α时，小球的速度为
D．当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为
【答案】CD
【详解】棒与平台接触点（小球）的运动可视为竖直向上的匀速运动和沿平台向左的运动的合成。小球的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上方的，如图所示，设棒的角速度为，则合速度，沿竖直方向向上的速度分量等于v,即所以小球速度为由此可知棒（小球）的角速度随棒与竖直方向的夹角的增大而减小，小球的速度随棒与竖直方向的夹角的增大而减小。故选CD。
19．甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河。河水流速为v0.两船在静水中的速率均为v。甲、乙两船船头均与河岸夹角为θ，如图所示，已知甲船恰好能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为l。则下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙两船同时到达对岸
B．若仅是河水流速v0增大，则两船的渡河时间都不变
C．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ，甲船总能到达正对岸的A点
D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离大于l
【答案】AB
【详解】A．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直河岸两个方向的分运动，可知分运动与合运动具有等时性，则有在垂直河岸方向的分速度为，设河宽为d，则有渡河的时间为
可知两船渡河时间相等，即甲、乙两船同时到达对岸，A正确；
B．若仅是河水流速v0增大，由A选项解析可知，小船渡河时间与水流速度无关，渡河的时间仍为
则两船的渡河时间都不变，B正确；
C．若河水流速v0改变，只有甲船在静水中的速度大于水流速度时，适当改变θ，甲船才可能到达正对岸的A点，C错误；
D．若仅是河水流速v0增大，由于两船到达对岸的时间不变，由速度的分解可知，两船在平行于河岸方向相对分速度不变，则两船到达对岸时，两船之间的相对位移不变，即两船距离仍为l，D错误。
故选AB。
20．如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为v0，半圆柱体上有一根能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，下列说法正确的是（ ）

A．竖直杆向下做加速直线运动
B．竖直杆向下做减速直线运动
C．v0：v杆=tanθ：1
D．v0：v杆=1：tanθ
【答案】AD
【详解】
AB．杆受半圆柱体的作用力如图所示

因两接触运动物体沿接触弹力方向的分速度相等，所以有v0sinθ=v杆csθ杆向下运动，θ变大，tanθ变大，则v杆=v0tanθ变大，杆做加速直线运动，A正确，B错误；CD．根据v杆=v0tanθ得v0：v杆=1：tanθC错误，D正确。故选AD。
21．《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。如图所示，A处的下游靠河岸B处是个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸（笔直）的最大夹角θ = 37°，河流中水流的速度大小恒为v0。取sin37° = 0.6，cs37° = 0.8。
（1）要使大龟从A点以恒定的速度安全到达对岸，求大龟在静水中的最小速度vmin；
（2）若河宽为d，求在（1）中情况下，大龟渡河的时间t。
【答案】（1）0.2v0；（2）
【详解】（1）当大龟在静水中的速度v2与其在河流中的速度v垂直时，大龟在静水中的速度v2最小，且最小值
（2）此时大龟航行的实际速度大小则大龟的位移为联立解得，大龟渡河的时间
22．深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图甲所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x2。小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图乙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。

【答案】能射中，
【详解】如图所示

箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t从P运动至小球初始位置D处，位移为x1＝L脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体运动，经相同时间t从P运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此时箭将到达F处。小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t运动的位移与箭在竖直方向分位移x2相同，即小球与箭同时到达F处，能够射中小球。若不受重力，箭从P运动至小球初始位置D处的时间射中时小球下落的高度解得
23．如图，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历的时间为t，A、B两点间距离为d，到B点绳与水平面成的角为θ角，缆绳质量忽略不计。求：
(1)小船从A点运动到B点的全过程阻力做的功Wf；
(2)小船经过B点时的速度大小v1；
(3)小船经过B点时电动机拖动缆绳的速度大小v2。
【答案】(1)－fd；(2)；(3)
【详解】(1)小船从A点运动到B点的过程中阻力做功
(2)小船从A点运动到B点，电动机牵引缆绳对小船做功由动能定理有以上三式联立解得(3)小船运动到B点时，由运动的分解可知
方式
图示
说明
渡河时间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
当v水v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝eq \f(dv水,v船)