人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第1章 章末复习+单元检测（2份打包，原卷版+教师版）

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章末复习一、空间向量的概念及运算1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．2．向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力．例1　(1)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(A1E,\s\up6(—→))＝eq \f(1,4)eq \o(A1C1,\s\up6(—→))，若eq \o(AE,\s\up6(→))＝xeq \o(AA1,\s\up6(—→))＋y(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))，则x＝_____，y＝_____.(2)(多选)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.下列选项中，正确的是(　　)A.eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))＋eq \o(SD,\s\up6(→))＝0 B.eq \o(SA,\s\up6(→))＋eq \o(SB,\s\up6(→))－eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0C.eq \o(SA,\s\up6(→))－eq \o(SB,\s\up6(→))＋eq \o(SC,\s\up6(→))－eq \o(SD,\s\up6(→))＝0 D.eq \o(SA,\s\up6(→))·eq \o(SB,\s\up6(→))＝eq \o(SC,\s\up6(→))·eq \o(SD,\s\up6(→))反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使eq \o(AP,\s\up6(→))＝xeq \o(AB,\s\up6(→))＋yeq \o(AC,\s\up6(→)).跟踪训练1　(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|eq \o(PA,\s\up6(→))|＝|eq \o(PB,\s\up6(→))|，则P点坐标为(　　)A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.①求eq \o(AC1,\s\up6(—→))的长；②求eq \o(BD1,\s\up6(—→))与eq \o(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值．二、利用空间向量证明位置关系1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．例2　在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证)．跟踪训练2　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求证：AC⊥BC1；(2)请说明在AB上是否存在点E，使得AC1∥平面CEB1.三、利用空间向量计算距离1．空间距离的计算思路(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为 eq \r(a2 －a·u2) (如图)．(2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．例3　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．跟踪训练3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \o(AA1,\s\up6(—→))，则点P到直线AB的距离为(　　)A.eq \f(25,144) B.eq \f(5,12) C.eq \f(13,20) D.eq \f(\r(105),15)四、利用空间向量求空间角1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cos θ＝|cos〈m，n〉|.2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．例4　如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq \r(2)，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF和BE所成的角；(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标．(2)直线和平面所成的角、两个平面的夹角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量．跟踪训练4　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝eq \r(6)，AB＝4.(1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小；(2)若M是PB的中点，求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．1.(2019·全国Ⅱ改编)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E是棱AA1的中点，BE⊥EC1，求平面BEC和平面ECC1夹角的余弦值．2．(2019·天津改编)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.(1)求证：BF∥平面 ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．章末检测试卷(一)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CC1,\s\up6(—→))－eq \o(D1C1,\s\up6(—→))等于(　　)A.eq \o(AD1,\s\up6(—→)) B.eq \o(AC1,\s\up6(—→)) C.eq \o(AD,\s\up6(→)) D.eq \o(AB,\s\up6(→))2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是(　　)A．a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)D．a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)3．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则eq \o(AO1,\s\up6(—→))·eq \o(AC,\s\up6(→))的值为(　　)A．－1 B．0 C．1 D．24．已知△ABC的三个顶点为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　　)A．2 B．3 C．4 D．55．若向量a＝(x，4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为eq \f(\r(2),6)，则x等于(　　)A．3 B．－3 C．－11 D．3或－116．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量ν＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，y，\f(1,2)))，已知α∥β，则x＋y等于(　　)A.eq \f(15,4) B.eq \f(17,4) C．3 D.eq \f(5,2)7．已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为(　　)A．－1,2 B．1，－2 C．1,2 D．－1，－28.如图，四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为(　　)A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(6),6) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(6),3)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若eq \o(AP,\s\up6(→))∥eq \o(BC,\s\up6(→))，且|eq \o(AP,\s\up6(→))|＝eq \r(14)，则点P的坐标为(　　)A．(4，－2,2) B．(－2,2,4)C．(－4,2，－2) D．(2，－2,4)10．在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC的中点，则直线AE和BC(　　)A．垂直 B. 相交 C．共面 D．异面11．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交12．已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是(　　)A．(1，－4,2) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－1，\f(1,2)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，1，－\f(1,2))) D．(0，－1,1)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋meq \o(AB,\s\up6(→))－neq \o(AA1,\s\up6(→))，则m＝________.14．设平面α的法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n＝(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________.15．在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为________．16．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.(1)若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________；(2)|A1P|的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)四．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a＝(x，4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．18．(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，∠PBC＝30°，求证：CM∥平面PAD.19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：BC⊥平面BDE.20．(12分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离．21．(12分)如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD －A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，求平面B1A1B与平面A1BE夹角的余弦值．22．(12分)如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．(1)求证：BM⊥EF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．