高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品习题

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3．1.1 椭圆及其标准方程
学习目标
1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程．
知识点一 椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
知识点二 椭圆的标准方程
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案 能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．
1．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( × )
2．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( × )
3．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × )
4．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( √ )
一、求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))；
(3)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2))).
反思感悟 确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－eq \r(2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))；
(2)过点(eq \r(3)，－eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同的焦点．
二、椭圆的定义及其应用
例2 已知P为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
延伸探究
若将本例中“ ∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
反思感悟 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
跟踪训练2 (1)已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
(2)椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若＝eq \r(3)，求∠F1PF2的大小．
三、与椭圆有关的轨迹问题
例3 (1)已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为__________．
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
反思感悟 求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
跟踪训练3 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝eq \f(3,2)，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值．建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程．
1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq \r(15)，则此椭圆的标准方程为________________．
5．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________．
1．知识清单：
(1)椭圆的定义．
(2)椭圆的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法．
3．常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，c的条件．
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
1．椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,169)＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
3．“20)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线
6．已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．
7．已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________．
8．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
9．点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
10．已知椭圆M与椭圆N：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1有相同的焦点，且椭圆M过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(2\r(5),5))).
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
11．P是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为( )
A．60° B．30° C．120° D．150°
12．椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为( )
A．±eq \f(3,4) B．±eq \f(\r(2),2) C．±eq \f(\r(3),2) D．±eq \f(\r(3),4)
13．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
14．已知椭圆C：eq \f(x2,9) ＋eq \f(y2,4)＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________.
15．如图所示，F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq \r(3)的正三角形，则b2＝________.
16．如图，点A是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线l交椭圆于点B，若点P的坐标为(0,1)，且满足BP∥x轴，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝9，求椭圆C的方程．
3．1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
学习目标
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．
知识点 椭圆的简单几何性质
思考 离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
答案 e＝eq \f(c,a)，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
1．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是a.( × )
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.( × )
3．离心率相同的椭圆是同一个椭圆．( × )
4．设F为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．( √ )
一、椭圆的简单几何性质
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为eq \f(1,2)，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
跟踪训练1 已知椭圆C1：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质．
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2) 过点(3,0)，离心率e＝eq \f(\r(6),3).
反思感悟 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置．
(2)设出相应椭圆的标准方程．
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．
(4)写出椭圆标准方程．
跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为______________．
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，则椭圆的标准方程是__________．
三、求椭圆的离心率
例3 设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
延伸探究
1．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．
2．若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．
反思感悟 求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3 (1)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>b>0))的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5)－1,2) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(1＋\r(5),4) D.eq \f(\r(3)＋1,4)
(2)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________．
1．已知椭圆的离心率为eq \f(1,2)，焦点是(－3,0)和(3,0)，则椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率为eq \f(1,2)，则C的方程是( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1
3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．
5．已知椭圆的一个顶点是(0，eq \r(3))，且离心率e＝eq \f(\r(3),2)，则椭圆的标准方程是____________．
1．知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质．
(2)由椭圆的几何性质求标准方程．
(3)求椭圆的离心率．
2．方法归纳：直接法、方程法(不等式法)．
3．常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系．
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(2\r(2),3)
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4eq \r(5)，0)的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1 C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq \r(5)，则椭圆的方程为( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,36)＝1 C.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,4)＝1
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆C经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，求椭圆C的离心率．
10．(1)求与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同的焦点，且离心率为eq \f(\r(5),5)的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
11．若O和F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为( )
A．2 B．3 C．6 D．8
12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \r(3)－eq \r(2) D.eq \r(3)－1
13．经过点M(1,2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________．
14．在平面直角坐标系中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
15．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
16．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，求椭圆E的离心率．
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用
学习目标
1.了解椭圆在实际生活中的应用.
2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．
知识点 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq \f(y2,2)＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(7,3))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,2)，－\f(17,2)))
3．椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.
4．过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是________．
一、实际生活中的椭圆
例1 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表．如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B .a1－c1＝a2－c2
C.eq \f(c1,a1)eq \f(c2,a2)
反思感悟 解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
跟踪训练1 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8eq \r(7) 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是________米．
二、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
例2 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点？
反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，eq \r(2))且斜率为k的直线l与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
命题角度2 弦长问题
例3 已知动点P与平面上两定点A(－eq \r(2)，0)，B(eq \r(2)，0)连线的斜率的积为定值－eq \f(1,2).
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝eq \f(4\r(2),3)时，求直线l的方程．
反思感悟 求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
跟踪训练3 已知斜率为1的直线l过椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
1．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是( )
A.eq \f(2b2,a) B.eq \f(2a2,b) C.eq \f(2c2,a) D.eq \f(2c2,b)
2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
3．已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
4．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )
A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n D．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
5．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．
1．知识清单：
(1)直线与椭圆的位置关系．
(2)弦长公式．
2．方法归纳：判别式法．
3．常见误区：代数计算中的运算失误．
1．直线y＝x＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
3．直线x－y＋1＝0被椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于( )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \r(2) C．2eq \r(2) D．3eq \r(2)
4．若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．00)的离心率为eq \f(\r(2),2)，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．±eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．±eq \f(1,2)
12．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,19)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 C.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
13．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的最大值为________．
14．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________．
15．已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,5) D.eq \f(5,7)
16．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，离心率为eq \f(1,2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△F2AB的面积为eq \f(12\r(2),7)时，求直线的方程．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ