高中3.2 双曲线优秀一课一练

这是一份高中3.2 双曲线优秀一课一练，文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第3章32双曲线原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第3章32双曲线教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。

学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
答案 (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
知识点二 双曲线标准方程
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × )
2．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
3．双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a> b．( × )
4．在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( × )
一、双曲线的定义的应用
例1 (1)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2eq \r(5)，则该双曲线的方程为__________．
(2)已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
反思感悟 双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
跟踪训练1 (1)若双曲线E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,24)＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3) C．24 D．48
二、求双曲线的标准方程
例2 (1)以椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,5)＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，eq \r(10))的双曲线的标准方程为________．
(2)求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4)))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,3)，5))且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．
反思感悟 求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线．
跟踪训练2 (1)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2eq \r(6)，2eq \r(2))的双曲线的标准方程为________．
(2)已知方程eq \f(x2,k－5)－eq \f(y2,|k|－2)＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是________．
双曲线在生活中的应用
典例 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
[素养提升] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系．
(2)求出双曲线的标准方程．
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)．
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
2．方程eq \f(x2,2＋m)－eq \f(y2,2－m)＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
3．椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,a2)＝1与双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B．1或－2
C．1或eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
4．“0≤k<3”是“方程eq \f(x2,k＋1)＋eq \f(y2,k－5)＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________．
1．知识清单：
(1)双曲线的定义．
(2)双曲线的标准方程．
2．方法归纳：待定系数法、分类讨论．
3．常见误区：
双曲线焦点位置的判断， 忽略双曲线上的点到焦点距离的范围．
1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝1
C.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≤－3) D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，0)) D．(eq \r(3)，0)
3．已知双曲线eq \f(x2,a－3)＋eq \f(y2,2－a)＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于( )
A.eq \f(3,2) B．5 C．7 D.eq \f(1,2)
4．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A．3或7 B．6或14
C．3 D．7
5．(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是( )
A．2 B．－1 C. 4 D．－3
6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________．
7．以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程为______________．
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则eq \f(|sin A－sin B|,sin P)的值等于________．
9．已知与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1共焦点的双曲线过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，－\r(6)))，求该双曲线的标准方程．
10．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(—→))·eq \(MF2,\s\up6(—→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程．
11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．双曲线的一支 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
12．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
13．已知F是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为________.
14．已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝________，△PF1Q的周长为________．
15.光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C′：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为__________．
16．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
3．2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
知识点一 双曲线的性质
思考 双曲线的离心率有什么作用？
答案 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq \r(2).
1．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的形状相同．( √ )
2．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．( × )
3．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．( × )
4．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )
一、由双曲线方程研究其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
延伸探究
求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
二、由双曲线的几何性质求标准方程
例2 求满足下列条件的双曲线的方程：
(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为eq \f(5,3)，且经过点M(－3,2eq \r(3))；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
反思感悟 由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧
渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq \f(5,3)；
(2)过点(2,0)，与双曲线eq \f(y2,64)－eq \f(x2,16)＝1离心率相等．
三、求双曲线的离心率
例3 已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \r(2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(5,2) D.eq \r(5)
反思感悟 求双曲线离心率的方法
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq \f(c,a)得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
跟踪训练3 已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
1．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为8eq \r(2) B．虚轴长为4
C．焦距为6 D．离心率为eq \f(3\r(2),4)
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4
C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
4．中心在坐标原点，离心率为eq \f(5,3)的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为________．
5．已知点(2,3)在双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
1．知识清单：
(1)双曲线的几何性质．
(2)等轴双曲线．
(3)双曲线的离心率．
2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．
3．常见误区：
求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5)＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )
A.eq \f(3\r(14),14) B.eq \f(3\r(2),4) C.eq \f(3,2) D.eq \f(4,3)
3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( )
A.eq \f(x2,25)－eq \f(y2,25)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1 C.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1
4．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
6．如图，双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,10)＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是________．
7．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.
10．设双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(011．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
C.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,20)＝1 D.eq \f(x2,20)－eq \f(y2,80)＝1
12．若双曲线与椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
13．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A.eq \r(5) B．2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
14．如果双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
15．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))的取值范围为( )
A．[3－2eq \r(3)，＋∞) B．[3＋2eq \r(3)，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,4)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，＋∞))
16．已知双曲线E：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,5)＝1.
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
(2)若双曲线E的离心率为e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(2)))，求实数m的取值范围．
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用
学习目标
1.了解双曲线在实际生活中的应用.
2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用．
知识点一 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．
思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点
知识点二 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).
1．已知双曲线的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
2．过双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．
3．过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1作倾斜角为eq \f(π,6)的弦AB，则|AB|＝________.
一、直线与双曲线的位置关系
例1 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq \r(2)，求实数k的值．
反思感悟 直线与双曲线
(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)．
(2)弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2).
跟踪训练1 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．
二、与双曲线有关的轨迹问题
例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A．北偏西45°方向，距离680eq \r(10) m
B．南偏东45°方向，距离680eq \r(10) m
C．北偏西45°方向，距离680eq \r(5) m
D．南偏东45°方向，距离680eq \r(5) m
反思感悟 和双曲线有关的轨迹
(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线．
(2)直接法．根据点满足条件直接代入计算
跟踪训练2 若动圆P经过定点A(3,0)，且与定圆B：(x＋3)2＋y2＝16外切，试求动圆圆心P的轨迹．
1．已知双曲线方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2)
C．(－2,2] D．[－2,2]
3．过双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3)
4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝eq \f(1,2)x交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(15)，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
5．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．
1．知识清单：
(1)判断直线与双曲线交点个数．
(2)弦长公式．
2．方法归纳：
定义法，直接法．
3．常见误区：
直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系．代数计算中的运算失误．
1．若直线x＝a与双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1有两个交点，则a的值可以是( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．a＝1 B．0C．a>1 D．a≥1
4．直线l：y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是( )
A．(0,1) B．(－eq \r(2)，eq \r(2))
C．(－1,1) D．[－1,1]
5．设点F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若△ABF2的面积为2eq \r(6)，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x
6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为________．
7．直线y＝x＋1与双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________.
8．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________.
9．已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1，直线l过点P(1,1)，斜率为k. 当k为何值时，直线l与双曲线有一个公共点？
10．斜率为2的直线l在双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1上截得的弦长为eq \r(6)，求直线l的方程．
11．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，则a的取值范围是____________．
12．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
13．双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
14．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左、右顶点为A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线斜率为________．
15．设双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1上有两点A，B，AB中点M(1,2)，则直线AB的方程为________________．
16．已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)．
(1)若a＝eq \f(1,2)，求l与C相交所得的弦长；
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
焦点
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)