人教A版高中数学选择性必修第一册同步精品讲义第3章 章末复习+单元检测（2份打包，原卷版+教师版）

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章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数．2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1　(1)已知动点M的坐标满足方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．以上都不对答案　C解析　把轨迹方程5eq \r(x2＋y2)＝|3x＋4y－12|写成eq \r(x2＋y2)＝eq \f(|3x＋4y－12|,5).∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足eq \o(PD,\s\up6(→))＝2eq \o(MD,\s\up6(→))，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程．解　方法一　由eq \o(PD,\s\up6(→))＝2eq \o(MD,\s\up6(→))，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由eq \o(PD,\s\up6(→))＝2eq \o(MD,\s\up6(→))，得x0＝x，y0＝2y，因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)＝4，(*)把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4，所以曲线C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．跟踪训练1　(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案　x2－eq \f(y2,3)＝1解析　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(c＝2，,\f(c,a)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝2，))则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.(2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2,3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．解　抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作PD垂直于准线x＝－2，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4，所以|PM|＋|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为eq \f(9,8)，即点P的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，3)).二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点．(2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(6),2)答案　D解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2eq \r(3).因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2eq \r(2)，因此对于双曲线有a＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，所以C2的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2).(2)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________．答案　x±eq \r(2)y＝0解析　设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝eq \f(\r(a2－b2),a)，e2＝eq \f(\r(a2＋b2),a).因为e1·e2＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(\r(a4－b4),a2)＝eq \f(\r(3),2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))4＝eq \f(1,4)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2).故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x，即x±eq \r(2)y＝0.反思感悟　求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝eq \f(c,a)，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练2　(1)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是eq \r(3)c2，则此椭圆的离心率是(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)答案　A解析　eq \f(1,2)ab＝eq \r(3)c2，即a2(a2－c2)＝12c4，所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0，所以a2＝4c2，a＝2c，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).(2)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为_________．答案　x±y＝0解析　c2＝a2＋b2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知，双曲线过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(p,2)))，即eq \f(c2,a2)－eq \f(p2,4b2)＝1.②由|FA|＝c，得c2＝a2＋eq \f(p2,4)，③ 由①③得p2＝4b2.④将④代入②，得eq \f(c2,a2)＝2. ∴eq \f(a2＋b2,a2)＝2，即eq \f(b,a)＝1，故双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例3　已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点(0，eq \r(3))，离心率为eq \f(1,2)，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－eq \f(1,2)x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(5\r(3),4)，求直线l的方程．解　(1)由题设知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,\f(c,a)＝\f(1,2)，,b2＝a2－c2，))解得a＝2，b＝eq \r(3)，c＝1，∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝eq \f(2|m|,\r(5))，由d<1得|m|< eq \f(\r(5),2).(*)∴|CD|＝2eq \r(1－d2)＝2eq \r(1－\f(4,5)m2)＝eq \f(2,\r(5))eq \r(5－4m2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2－mx＋m2－3＝0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,2)))2))[m2－4m2－3])＝eq \f(\r(15),2)eq \r(4－m2).由eq \f(|AB|,|CD|)＝eq \f(5\r(3),4)，得 eq \r(\f(4－m2,5－4m2))＝1，解得m＝±eq \f(\r(3),3)，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),3)或y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(\r(3),3).反思感悟　(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断．(2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3　已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，其焦点为F1，F2，离心率为eq \f(\r(2),2)，直线l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．解　(1)由椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)，得a＝eq \r(2)c，由A(2,0)，得a＝2，∴c＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.(2)由e＝eq \f(\r(2),2)，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(2y2,a2)＝1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(2y2,a2)＝1，,x＋2y－2＝0，))得6y2－8y＋4－a2＝0，若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y2－8y＋4－a2＝0在y∈[0,1]上有解．设f(y)＝6y2－8y＋4－a2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f0≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2≥\f(4,3)，,4－a2≥0，))∴eq \f(4,3)≤a2≤4，故a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)).四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2,2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值．解　(1)由抛物线C：y2＝2px经过点P(2，2)知4p＝4，解得p＝1.则抛物线C的方程为y2＝2x.抛物线C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,2).(2)由题意知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：x＝ty＋a，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ty＋a，,y2＝2x，))消去x，得y2－2ty－2a＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a.因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即eq \f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4)＋y1y2＝0，解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4.所以－2a＝－4，解得a＝2.所以直线AB：x＝ty＋2.所以直线AB过定点(2,0)．S△AOB＝eq \f(1,2)×2×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1－y2))＝eq \r(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2)－2y1y2)＝eq \r(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2)＋8)≥eq \r(2\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1y2))＋8)＝4.当且仅当y1＝2，y2＝－2或y1＝－2，y2＝2时，等号成立．所以△AOB面积的最小值为4.反思感悟　(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．跟踪训练4　已知动圆P与圆O1：x2－x＋y2＝0内切，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过曲线C上一点M(2，y0)(y0>0)作两条直线l1，l2与曲线C分别交于不同的两点A，B，若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝1.证明：直线AB过定点．(1)解　由题意可知，动圆圆心P到点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离与到直线x＝－eq \f(1,2)的距离相等，所以点P的轨迹是以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))为焦点，直线x＝－eq \f(1,2)为准线的抛物线，所以曲线C的方程为y2＝2x.(2)证明　易知M(2,2)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋b，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝my＋b，,y2＝2x，))得y2－2my－2b＝0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2m，,y1y2＝－2b，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2m2＋2b，,x1x2＝b2，))因为k1k2＝eq \f(y1－2,x1－2)·eq \f(y2－2,x2－2)＝1，即y1y2－2(y1＋y2)＝x1x2－2(x1＋x2)，所以b2－2b－4m2＋4m＝0，所以(b－1)2＝(2m－1)2，所以b＝2m或b＝－2m＋2.当b＝－2m＋2时，直线AB的方程为x＝my－2m＋2过定点(2,2)与M重合，舍去；当b＝2m时，直线AB的方程为x＝my＋2m过定点(0，－2)，所以直线AB过定点(0，－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2sin 40° B．2cos 40°C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cos 50°)答案　D解析　由题意可得－eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq \f(1,|cos 130°|)＝eq \f(1,cos 50°).2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于(　　)A．2 B．3 C．4 D．8答案　D解析　由题意知，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1答案　B解析　由题意设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝eq \f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝eq \f(2m2＋3m2－3m2,2×2m·3m)＝eq \f(1,3)，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以eq \f(1,3)＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．(1)解　由题意，得b2＝1，c＝1，所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则直线AP的方程为y＝eq \f(y1－1,x1)x＋1.令y＝0，得点M的横坐标xM＝－eq \f(x1,y1－1).又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,kx1＋t－1))).同理，|ON|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,kx2＋t－1))).由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，则x1＋x2＝－eq \f(4kt,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2t2－2,1＋2k2).所以|OM|·|ON|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1,kx1＋t－1)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x2,kx2＋t－1)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1x2,k2x1x2＋kt－1x1＋x2＋t－12)))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t))).又|OM|·|ON|＝2，所以2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,1－t)))＝2.解得t＝0，所以直线l经过定点(0,0)．章末检测试卷(三)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　)A.eq \r(6) B．2eq \r(6) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)答案　D解析　方程化为标准方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2eq \r(3)，∴2c＝4eq \r(3).2．设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1 C.eq \f(x2,2)＋y2＝1 D.eq \f(x2,4)＋y2＝1答案　A解析　因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝eq \r(3).所以椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线的距离是(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)答案　B解析　抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线eq \r(3)x－y＝0的距离为eq \f(|\r(3)×1－1×0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq \f(\r(3),2)，故选B.4．已知F1，F2为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为eq \f(\r(3),2)，则椭圆的方程是(　　)A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,3)＝1 C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1答案　D解析　由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，所以c＝2eq \r(3)，所以b2＝42－(2eq \r(3))2＝4，所以椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.5．已知双曲线eq \f(x2,2)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq \r(3)，y0)在双曲线上，则eq \o(PF1,\s\up6(—→))·eq \o(PF2,\s\up6(—→))等于(　　)A．－12 B．－2 C．0 D．4答案　C解析　由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq \r(3)，1)或P(eq \r(3)，－1)．不妨取点P(eq \r(3)，1)，则eq \o(PF1,\s\up6(—→))＝(－2－eq \r(3)，－1)，eq \o(PF2,\s\up6(—→))＝(2－eq \r(3)，－1)．所以eq \o(PF1,\s\up6(—→))·eq \o(PF2,\s\up6(—→))＝(－2－eq \r(3)，－1)·(2－eq \r(3)，－1)＝－(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＋1＝0.6.如图，已知F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是(　　)A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)答案　A解析　因为PF⊥x轴，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).又OP∥AB，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\f(b2,a),c)，即b＝c.于是b2＝c2，即a2＝2c2.所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2\r(2),3)答案　D解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以00，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)A．2 B.eq \r(15) C.eq \r(13) D.eq \r(3)答案　C解析　∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝eq \r(13)，∴e＝eq \r(13).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则(　　)A．当mn>0时，方程表示椭圆B．当mn<0时，方程表示双曲线C．当m＝0时，方程表示两条直线D．方程表示的曲线不可能为抛物线答案　BD解析　A项，取m＝n＝1，此时表示圆，错误；B项，当mn<0时，方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，正确；C项，当m＝0，n＝0时，方程不成立，错误；D项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确．10．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)A．开口向上，准线方程为y＝－eq \f(1,16)B．开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－1答案　AB解析　抛物线可化为x2＝eq \f(1,4)y，故开口向上，焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).准线方程为y＝－eq \f(1,16).11．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq \r(2)，则实数k的值为(　　)A．±eq \r(7) B．±eq \r(3) C．±eq \r(5) D．±eq \f(\r(41),3)答案　BD解析　由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq \f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq \f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq \r(2)，解得k＝±eq \r(3)或±eq \f(\r(41),3).12．设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是(　　)A.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2eq \r(2)B．离心率e＝eq \f(\r(6),2)C．△PF1F2面积的最大值为eq \r(2)D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq \r(2)＝0相切答案　AD解析　对于A选项，由椭圆的定义可知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝2eq \r(2)，所以A选项正确．对于B选项，依题意a＝eq \r(2)，b＝1，c＝1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以B选项不正确．对于C选项，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值为eq \f(1,2)·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．对于D选项，线段F1F2为直径的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(\r(2),\r(2))＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq \r(2)＝0相切，所以D选项正确．综上所述，正确的为AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．答案　eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1解析　双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)，所以椭圆方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1.14．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq \f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq \r(5)，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)答案　5x2－eq \f(5,4)y2＝1　y＝±2x解析　抛物线x＝eq \f(1,4)y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)，易求得a2＝eq \f(1,5)，b2＝eq \f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2－eq \f(5,4)y2＝1，渐近线方程为y＝±2x.15．过点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.答案　4解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，又|AF|＝3，所以x1＝3－eq \f(p,2)，由中点坐标公式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(x2－\f(p,2),2)，,y1＝\f(y2＋0,2)，))所以x2＝6－eq \f(p,2)，y2＝2y1，所以yeq \o\al(2,2)＝4yeq \o\al(2,1)，2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(p,2)))＝4yeq \o\al(2,1)＝4×2px1＝4×2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，结合p>0可得p＝4.16．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝eq \r(2)|AF|，则△AFK的面积为________．答案　8解析　由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为eq \f(1,2)|KF|·|y0|＝eq \f(1,2)×4×4＝8.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(6),3)，短轴的一个端点到右焦点的距离为eq \r(3)，求椭圆C的方程．解　设椭圆的半焦距为c，依题意，得a＝eq \r(3)且e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，所以a＝eq \r(3)，c＝eq \r(2)，从而b2＝a2－c2＝1，因此所求椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.18．(12分)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为eq \f(\r(2),2)，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)若|MN|＝eq \f(3\r(2),2)，求直线MN的方程．解　(1)由题意有eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，a2－b2＝c2，解得a＝eq \r(6)，b＝eq \r(3)，c＝eq \r(3)，所以椭圆方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(12k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(18k2－6,2k2＋1)，|MN|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(k2＋1x1－x22)＝eq \r(k2＋1[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(3\r(2),2)，解得k＝±eq \f(\r(2),2)，满足k2<1，所求直线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)(x－3)．19．(12分)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1及直线l：y＝eq \f(3,2)x＋m.(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解　(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．因为直线l与椭圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3eq \r(2)≤m≤3eq \r(2).故所求实数m的取值范围为[－3eq \r(2)，3eq \r(2)]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得x1＋x2＝－eq \f(6m,9)，x1x2＝eq \f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq \f(\r(13),3)·eq \r(－m2＋18)，当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为eq \r(26).20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．(1)解　由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝eq \f(1,2).所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，准线方程为x＝－eq \f(1,4).(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋eq \f(1,2)(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x))得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.则x1＋x2＝eq \f(1－k,k2)，x1x2＝eq \f(1,4k2).因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝eq \f(y2,x2)x，点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(y2x1,x2))).因为y1＋eq \f(y2x1,x2)－2x1＝eq \f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))x1－2x1x2,x2)＝eq \f(2k－2x1x2＋\f(1,2)x2＋x1,x2)＝eq \f(2k－2×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋eq \f(y2x1,x2)＝2x1，即y1－x1＝x1－eq \f(y2x1,x2)，即|AM|＝|BA|，故A为线段BM的中点．21．(12分)已知F1，F2分别为椭圆eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为eq \f(64\r(3),3)，求b的值．解　 (1)|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.(2)＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°＝eq \f(64\r(3),3)，∴|PF1|·|PF2|＝eq \f(256,3).①由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos 60°，))∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，∴b＝8.22．(12分) 已知抛物线C：y2＝4x，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，0))，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.(1)当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；(2)若eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.(1)证明　由题意l：x＝5，代入y2＝4x中，解得y＝±2eq \r(5)，不妨取M(5,2eq \r(5))，N(5，－2eq \r(5))，则eq \o(AM,\s\up6(→))＝(4,2eq \r(5)－2)，eq \o(AN,\s\up6(→))＝(4，－2eq \r(5)－2)，所以eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝(4,2eq \r(5)－2)·(4，－2eq \r(5)－2)＝16－(20－4)＝0，所以AM⊥AN，即△AMN为直角三角形得证．(2)解　由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，设直线l：y＝2(x－m)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝2x－m，,y2＝4x，))得y2－2y－4m＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，因为AM⊥AN则eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝0，又eq \o(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－1，y1－2))，eq \o(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)－1，y2－2))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)－1))＋(y1－2)(y2－2)＝0，化简，得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，代入解得m＝6.故m＝6时，有AM⊥AN.