湖北省黄梅县第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 直线过点，的直线的倾斜角的范围是，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（）
A. 3B. C. D. 1
3. 直线，，若两条直线平行，则实数（）
A. B. 1C. 3D. 或3
4. 如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点，则（）
A. B.
C. D.
5. 在不超过12质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）
A. B. C. D.
6. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（）．

A. B. C. D.
7. 已知中，，，则面积的最大值为（）
A. 2B. 4C. D.
8. 在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（）
A. 2B. 3C. D.
二、多项选择题（每题有两个或者两个以上正确答案，每题6分，共18分）
9. 下列说法中不正确的是（）
A. 经过定点直线都可以用方程来表示
B. 经过定点的直线都可以用方程来表示
C. 不与坐标轴重合或平行直线其方程一定可以写成截距式
D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
10. 以下四个命题表述正确的是（）
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1
C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则
D. 已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
11. 如图，四边形ABCD中，，，，，将沿AC折到位置，使得平面平面ADC，则以下结论中正确是（）
A. 三棱锥的体积为8
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 二面角的正切值为
D. 异面直线AC与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．
12. 已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为，则它邻边所在的直线方程为___________．
13. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______．
14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线所在直线方程为．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求的面积．
16. 如图，在四棱维中，平面平面，，，，，，．
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）在上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
（1）求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
（2）若在点球大战第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
18. 已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程：
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．
19. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．

（1）求证：直线平面，并求三棱锥的体积：
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．