湖南省长沙市师大附中2025届高三上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

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命题人､审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部是（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知是单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 1
3. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数对任意的，且，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
5. 如图，圆柱的母线长为分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且，三棱锥的体积为，则圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数，其中.若，都有.则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知定义域为的函数满足：，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 若，则
D. 若，则
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60
B. 若样本数据标准差为8，则数据，的标准差为16
C. 数据的第70百分位数是23
D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小
10. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为
B. 图象的对称中心为
C. 当时，在区间内单调递减
D. 当时，有两个极值点
11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数是圆的一个太极函数
B. 对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数是圆的太极函数，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线与抛物线相切，则__________.
13. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.
14. 设函数，若是从四个数中任取一个，是从六个数中任取一个，则恒成立的概率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的最小值.
16. 已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点.
（1）求的方程；
（2）过作两条相互垂直直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值.
17. 如图，侧面水平放置的正三棱台，侧棱长为为棱上的动点.
（1）求证：平面；
（2）是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.
18. 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质.
（1）若，
（i）判断数列是否具有性质，并说明理由；
（ii）记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（2）已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质.
19 已知函数，（且）.
（1）令是的导函数，判断的单调性；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.