江苏省连云港高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题(每题5分，共40分）
1. 已知直线的斜率为0，且直线，则直线的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率定义可判断直线与轴平行，再由直线得解．
【详解】因为直线的斜率为0，所以直线与轴平行，又直线，故直线的倾斜角为．
【点睛】本题考查了直线斜率与倾斜角的定义．
2. 已知直线和之间的距离是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线可以转化为，
由两条平行直线间的距离公式可得.
故选：D
3. 圆和圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 相交C. 外切D. 内含
【答案】C
【解析】
【分析】计算两圆圆心之间的距离和半径比较，即得答案.
【详解】圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为0,3，半径为2，
两圆的圆心距为，所以两圆外切.
故选：C
4. 已知圆与轴相切，则（ ）
A. 1B. 0或C. 0或1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解.
【详解】将化为标准式为：，
故圆心为半径为，且或，
由于与轴相切，故，
解得，或（舍去），
故选：D
5. 已知点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据中点在对称直线上及与对称直线垂直列方程求解.
【详解】设，则，解得，.
故选：B
6. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A. 8B. C. 10D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合椭圆定义可得的周长为，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】椭圆的方程为，则，，，
连接，，
则由椭圆的中心对称性可知，
可知为平行四边形，则，
可得的周长为，
当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，
所以周长为．
故选：C.
7. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
8. 已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.
【详解】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
故选：B.
二、多选题(每小题6分，本题18分)
9. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是2
D. 直线，若，则或2
【答案】BC
【解析】
【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D.
【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
10. 已知是圆上任一点，，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆心的坐标为B. 点在圆内
C. 的最大值为D. 过的最短弦长是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由圆标准方程可判断A，由点和圆的位置关系可判断B，由圆外一点到圆的距离的最值可判断C，由圆的几何性质可判断D.
【详解】将圆的方程化为标准方程，
圆心，如图所示：
对于A：圆心C的坐标为，故A正确；
对于B：因为，所以点在圆C外，故B错误；
对于C：因为，
所以，即，故C正确；
对于D：因为，所以点在圆内，
当弦垂直于时弦长最短，又，
最短弦长为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ）
A. C的离心率为B.
C. 的最大值为D. 使为直角的点P有4个
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D.
【详解】由原方程可得椭圆标准方程为，
，，故A错误；
由椭圆定义可知，故B正确；
由椭圆的性质知，故C正确；
易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确.
故选：BCD
三、填空题(每小题5分，本题15分)
12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.
【详解】三点A，B，C在同一直线上，
，，解得.
故答案为：3.
13. 已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若为等腰三角形，则C的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的性质计算即可.
【详解】不妨设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为，
则，且根据椭圆的性质易知，
所以，
显然若为等腰三角形，则只能有，
即，
则.
故答案为：
14. 如果实数满足等式，那么的最大值是________；的最大值是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】画出图形，通过数形结合，以及直线与圆的位置关系、所求代数式的几何意义逐一求解即可.
【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方．
因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，
则的最大值是．
令，则是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，
此时，圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为．
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知点和直线.
（1）若直线经过点P，且，求直线的方程；
（2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）和
【解析】
【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，
（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.
【小问1详解】
由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2.
又直线经过点，所以直线的方程为：，即；
【小问2详解】
若直线经过原点，设直线方程为，
代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
代入可得，故直线方程为.
综上，直线的方程为和.
16. （1）椭圆C与椭圆C1:有相同的焦点，且经过点M，求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且，求点到轴的距离.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）确定椭圆焦点坐标，根据椭圆定义求得，即得答案；
（2）设，可得，；由得，结合椭圆方程求出，即得答案.
【详解】（1）椭圆C1：的焦点坐标为，
所以椭圆C的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆C过点M，∴，
∴，∴椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆方程得，，，

设，则，；
由得：（1）；
又点在椭圆上，可得（2）；
（1）（2）联立消去得，，即；
故点到轴的距离是．
17. （1）已知点A，B的坐标分别为，2,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程；
（2）如图，已知圆和定点，P为圆O外一点，直线PQ与圆O相切于点Q，若，求点P的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）0.
【解析】
【分析】设动点坐标为，用坐标表示动点满足的条件，列出方程，化简即可.
【详解】（1）设Mx,y，则，，
，
化简整理得，，
所以点的轨迹方程为：.
（2）设Px,y，依题意，则，
即，即，
整理得.
18. （1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程.
（2）若过点作圆的切线，求切线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由圆的切线 性质求出直线的方程，进而求出圆心的坐标及圆半径即可得解.
（2）按切线斜率存在与否分类讨论，借助点到直线距离公式列式计算即得.
【详解】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即，
由，解得，则圆圆心，，
所以所求圆的方程为：.
（2）圆的圆心，半径，
当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意；
当切线的斜率存在时，设，即，
则，解得，
所以切线的斜率为.
19. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
【小问1详解】
由题意得解得，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
小问3详解】
直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.