湖北省八校2025届高三上学期9月质量检测数学试题（Word版附解析）

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本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列的前项和为，且，若，其前项和为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
7. 椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面对应的点是−1,7
D. 若是关于的方程的一个根，则
10. 设正项等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C 若，则当取得最小值时，
D. 若，则
11. 在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点棱上
B. 当时，点到平面的距离为定值
C. 当时，点在以的中点为端点的线段上
D 当时，平面
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．
13. 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为__________.

14. 函数满足恒成立，则的取值范围是_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为．
（1）求的值及关于的表达式；
（2）证明数列是等比数列，并求出的通项公式．
16. 已知，，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，求的值；
（3）在锐角中，角A，B，C分别为a，b，c三边所对的角，若，，求周长的取值范围．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
19. 设函数导函数为f′x，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．
（1）判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；
（2）若函数为上“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；
（3）若函数为区间0,1上的“一阶有界函数”，求的取值范围．