四川省达州市高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份四川省达州市高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，下列结论正确的是，已知函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则“”是“是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．已知函数对任意，都有的图象关于点称，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．的图象与轴的交点坐标为D．函数的图象关于直线对称
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上
12．某班共有60名学生，其中参加物理竞赛的有27人，参加数学竞赛的有25人，只参加这两个竞赛中的一个竞赛的共有44人，则这两个竞赛都没参加的学生有______________人．
13．若，且，则______________．
14．已知，函数，且，恒有，则的最大值为______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知命题．当为假命题时，设的取值集合为．
（1）求；
（2）请写出一个非空集合，使得“”是“”的必要不充分条件．
16．（15分）
已知的内角的对应边分别为，且．
（1）求角；
（2）若的面积为，周长为15，求．
17．（15分）
已知函数．
（1）若，求的极值点；
（2）若，讨论的单调性．
18．（17分）
已知函数．
（1）讨论在区间上的单调性；
（2）求的最大值和最小值；
（3）设，证明：．
19．（17分）
当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数．已知函数与互为反函数，若两点在曲线上，两点在曲线上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”．
（1）若函数，且点在曲线上．
（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积．
（2）若函数，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为．证明：．（参考数据：）
25届高三数学试题参考答案
1．C 存在量词命题的否定为全称量词命题．
2．A 因为，所以．
3．D 依题意，，其中，为坐标原点，则，所以．
4．A 由，得，则当时，是增函数，故“”是“是增函数”的充分不必要条件．
5．B 由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润当时，，当且仅当时，等号成立，则．当时，，当且仅当时，等号成立．故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间．
6．B （方法一）因为的图象关于点对称，所以，又，所以，所以是周期为的周期函数，所以．
（方法二）取满足题意，得．
7．B 因为，所以，令，则方程有2个根，所以，解得，则的取值范围是．
8．D 令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数．由，得，即，从而，即．
9．AD 对于A，当时，，A正确．
对于B，若，则，此时，B错误．
对于C，，当且仅当时，等号成立，C错误．
对于D，因为所以，故，D正确．
10．AD 由图可知，的最小正周期，则，由，得，即，则．由的图象关于点对称，可得函数的图象关于直线对称．
11．ACD ．
令，则在上单调递减，所以，即．因为，所以．令，则在上单调递减，所以，即．
12．12 由题可得这两个竟赛都参加的学生有人，所以这两个竟赛都没参加的学生有人．
13． 由，得．因为，所以，则，则．由，得，则，解得．
14．8 因为，且，恒有，
所以在上恒成立．
设，
可得函数在上单调递增，
所以在上恒成立，故．
当时，恒成立．
设，则，
令，得，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，又因为，所以的最大值为8．
15．解：（1）因为命题为假命题，所以为真命题．
由，得，
，因为，所以，
所以，即．
所以．
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，
则符合题意（答案不唯一）．
16．解：（1）因为，所以．
由正弦定理得，
则，
即．
在中，，故．
因为，所以．
（2）因为的面积为，所以，得．
由余弦定理得，则．
又，所以，解得．
17．解：（1）因为，所以，
则．
当时，单调递减；当时，单调递增．
故的极小值点为1，无极大值点．
（2）由，得．
若，即，则方程的解为
若，即，则．当时，，当时，，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
若，即，则．当时，，当时，，则的单调递增区间为，单调递减区间为．
18．（1）解：由题可得．
令在上的根为，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递减，当时，单调递增．
综上，在和上单调递减，在和上单调递增．
（2）解：因为，
所以的一个正周期为．
根据（1）中结论，，
所以的最大值为1，最小值为．
（3）证明：，
又，
所以
，
所以，得证．
19．（1）解：（ⅰ）因为点在曲线上，所以．
由，得，则，
则曲线在点处的切线方程为．
（ⅱ）由，得．
根据对称性可设关于直线对称，可得，则．
若，则直线的方程为，与曲线相切，不符合题意．
若，则直线的方程为联立方程组解得或（舍去），
则，
则该“关联矩形”的面积．
（2）证明：由，得．
显然，根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，且．设，其中，且．
因为“关联矩形”是正方形，所以．，得．
由，可得．
令，则，则在上单调递增．由，可得．
．
令，则，当时，单调递增，则
从而．