山东省名校考试联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷

这是一份山东省名校考试联盟2024-2025学年高一上学期10月联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，已知集合，则，若，则下列不等式成立的是，正确表示图中阴影部分的是，若，则的最小值为，若关于x的不等式的解集为，则，若非空集合满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“x为自然数”是“为自然数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题；命题，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题C．p和都是真命题D．和都是真命题
4．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．正确表示图中阴影部分的是（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的最小值为（ ）．
A．2B．C．4D．6
二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．若关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
10．若非空集合满足：，则（ ）
A．B．C．D．
11．长方体的长、宽、高分别为．长方体的表面积为16．则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题；本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．“”的否定是_______．
13．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有100名学生，其中参加参加合唱社团的学生有63名，表示参加科技社团的学生，有75名（并非每个学生必须参加某个社团），则在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有_______名学生，最少有_______名学生．（第一空2分，第二空3分）．
14．已知，则的最小值为_______．
四、解答题；本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）设集合．
（1）若且，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
16．（15分）如图所示，某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪．
（1）若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度是多少？
（2）为了美观，要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？
17．（15分）已知函数．
（1）若对任意，都有，求实数a的取值范围；
（2）若对任意满足的x，都有，求实数a的取值范围．
18．（17分）（1）设，证明：的充要条件为．
（2）设，求证：至少有一个为负数．
19．（17分）（1）设，求证：，
（2）设，求证：，
2024—2025学年第一学期考试高一数学试题答案解析与评分标准
1．答案：A
解析：由x为自然数能推出为自然数，故“x为自然数”是“为自然数”的充分条件，由为自然数不能推出x为自然数，故“x为自然数”是“为自然数”的不必要条件，综上所述，“x为自然数”是“为自然数”的充分不必要条件，故选：A．
2．答案：C
解析：因为，所以．故选C．
3．答案：B
解析：对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题，
对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题，综上，和q都是真命题．故选B．
4．答案：B
解析：若，则错误，如时，，所以该选项A错误；
若，则，所以该选项B正确；
若，则，所以该选项C错误；
若，则，所以该选项D错误．
故选：B
5．答案：D
解析：因为，所以，则，故选D．
6．答案：B．
解析：因为，所以，故选B．
7．答案：C
解析：阴影部分中的元素既不属于集合A，也不属于集合B，故选C．
8．答案：C
解析：，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为4，故选C．
9．答案：BCD
解析：由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误；
一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，即，故B正确；
由上分析可得，故C正确；
由上分析可得，故D正确．
故选BCD．
10．答案：ABD
解析：由得，由得，所以
，B正确；
，A正确；
，C错误；
，D正确．故选ABD．
11．答案：BC
解析：长方体的表面积为，所以，
因为，得，当且仅当时取等号，
即，所以，得到，所以，故选A错误，选项B正确，又由，得到，当且仅当时取等号，即，整理得到，解得，所以选项C正确，选项D错误，故选BC．
12．答案：
解析：由命题否定的定义，可知命题“”的否定是“”．
13．答案：6338
解析：用集合U表示高一年级100名学生，用集合A表示参加合唱社团的学生，用集合B表示参加科技社团的学生，，当，即时，最多，为63名；
当，即时，最少，为名．
14．答案：
解析：．
当且仅当，即时取等号，的最小值为．
15．解析：（1）因为，且，
所以，-------3分（一个不等式1分）
解得，---5分
综上所述，a的取值范围为．----6分
（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，-------7分
解得，满足题意；--8分
当时，因为，
所以，---9分
解得，-----10分
或无解；-----12分（不等式组正确1分，结论无解1分）
综上所述，a的取值范围为或．----13分
16．解析：设花卉带的宽度为，
（1）由题意得，--3分
解得或（舍去）．------6分（无“（舍去）”扣3分，有“”无“（舍去）”扣2分）
即．----7分
（2）由题意得，-----9分
整理得，----11分
解得或．-------13分（一个范围1分，少“”扣1分）
由实际意义得．----15分（多“”本步骤不得分）
17．解析（1）依题意可得：，-----3分
解得，-----6分
所以实数a的取值范围为．-----7分
（2）对任意满足的x，都有，
即，-----9分
又．所以对恒成立，---10分
由于，当时等号成立．----13分（无等号成立条件扣1分）
所以，
即实数a的取值范围为．-----15分（只有“所以”不扣分）
18．解析：（1）充分性：若，
则，
，-----1分
，----2分
，---3分
．----4分
必要性：若，
则，----5分
，----6分
，----7分
．---8分
（2）方法一假设，-------9分
，
，------10分
，
------12分
，
，-------14分
，与矛盾，-----16分
至少有一个为负数．---------17分
方法二假设，--------9分
，
，-------11分
，------13分
，------15分
与矛盾，-------16分
至少有一个为负数．------17分
19．解析（1）方法一：，
，---3分
，----5分
．---8分
方法二：，
，---3分
----5分
．----8分
方法三：
----3分
，
，--------5分
，--7分
．---8分
方法四：几何法
如图，做边长为1的正方形，分别在边上分别取点，
使得，--------1分
过E做交于E，交于H，
过F做交于G，交于F，
直线与交于点I，-------3分
则长方形的面积，------4分
长方形的面积，---5分
正方形的面积，---6分
由图可知，---7分
所以．--8分
方法五：设．----2分
将y看做常数，对于函数，
有，----3分
．--4分
对于，都有，----6分
即．----7分
．----8分
（2）方法一：
---10分
，
．---14分（结论中少一个不等式扣1分，扣完4分为止）
，---15分
．---17分
方法二：，
．----9分
，--10分
，---11分
．----12分
----16分
．……17分
方法三：几何法
做边长为1的正方体．分别在棱上取点，过E做平面，过F做平面，过做平面，交点见图．------11分长方体的体积，-----12分
长方体的体积．----13分
长方体的体积．----14分
正方体的体积．----15分
．-----17分
方法四：设．----10分
将看做常数，对于函数，
有，----12分
．----14分
∴对于，都有，------15分
即．----16分
．--17分