山东省蒙阴第一中学2024-2025学年高三上学期10月质量检测数学试题

这是一份山东省蒙阴第一中学2024-2025学年高三上学期10月质量检测数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，如图，在正方体中，点满足等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间向量，且，则（ ）
A．B．4C．2D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知在正四面体中，，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．过两不同点的直线的斜率为1，则（ ）
A．1B．2C．D．
5．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量。若，则下列选项可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知在空间直角坐标系中，在方向上的投影向量为，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．2
7．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
8．如图，在正方体中，点满足。设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（ ）
A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线，直线，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则或1
C．若是直线的一个方向向量，则
D．若与坐标轴围成一个面积为的三角形，则或3
10．在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．2
11．已知四棱柱的底面是边长为4的菱形，平面，，点满足，其中．若，则的值可能为（ ）
A．B．C．8D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知空间单位向量满足，则___________．
13．在空间直角坐标系中，点均在球的同一个大圆（球面被经过球心的平面截得的圆）上，则球的表面积为___________．
14．已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为___________。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在正方体中，分别为棱的中点，。
（1）试用表示。
（2）证明：四点共面．
（3）证明：三点共线．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，．
（1）证明：平面。
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）
已知在平行四边形中，．
（1）求直线的方程；
（2）求的边上的高所在直线的方程；
（3）若一条光线从点射出，经轴反射，反射光线经过点，求入射光线所在直线的方程；
（4）过点的直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，求的最小值．
18．（17分）
在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2．
（1）当二面角为时，判断与平面是否平行；
（2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
（3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）
若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为与的混合积为．若，则与共面；若，则与异面．已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点．
（1）证明：与是异面直线．
（2）若点，求的长的最小值．
（3）若为坐标原点，直线，求的坐标．
高二质量检测数学参考答案
1．D 依题意得，解得．
2．B 由题意得直线的斜率为．设直线的倾斜角为，则，由，得．
3．A 根据题意可得分别为的中点，则．因为，所以．
4．C 根据题意可得，解得或．当时，点重合，不符合题意，舍去．当时，经验证，符合题意．
5．C 因为，所以。对于A，，A错误。
对于B，，B错误．对于，C正确．
对于D，，D错误。
6．B 根据题意可得点到直线的距离为。
7．C 因为
，所以．
因为，所以．
因为四点共面，所以，即．
因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为1。
8．A 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（图略）．设，则，所以，．设平面的法向量为，则得取．连接（图略），易得平面的一个法向量为，所以．因为，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大．由图可知为钝角，所以随着的增大而增大．
9．ABD 若，则，解得，A正确．若，则，解得或1，B正确。若是的一个方向向量，则，解得，C错误。对于，令，得，令，得，因为与两坐标轴围成一个面积为的三角形，所以，解得或3，D正确．
10．BC 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则。设，则，
所以．
设，连接（图略），则，
因为为长方体的中心，所以。因为，所以，所以．
11．BCD 因为点满足，所以易得点在底面上，连接（图略），则，得。因为平面，所以，则。因为，且当点与点或重合时，取得最大值，最大值为4，所以，即的取值范围为。
12．2 因为，所以。
13． 由，得，则，所以为直角三角形，则即外接圆的直径，即是球的直径。因为，所以，得球的半径为，故球的表面积为．
14． 可化为，由得则直线过定点．当时，直线与线段相交，满足题意．当时，直线的斜率，因为直线的斜率，直线的斜率，所以或，解得或。综上可得的取值范围为。
15．（1）解：依题意可得，
（2）证明：连接。因为
所以，
则共面，故四点共面．
（3）证明：连接。
因为，
，
所以，则．
因为，所以三点共线．
16．（1）证明：取的中点，连接．
因为，所以。
因为，所以四边形是平行四边形，
所以．
因为，所以，所以。
因为，所以．
因为平面，且，所以平面．
（2）解：易证两两垂直，则以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题中数据可得，
则．
设平面的法向量为，
则令，得．
设直线与平面所成的角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．
17．解：（1）易得直线的斜率，
则直线的方程为，即．
（2）因为直线的斜率，所以的边上的高所在直线的斜率为1，
则所求直线方程为，即．
（3）点关于轴对称的点的坐标为，则入射光线所在直线经过点，
则入射光线所在直线的斜率，
故入射光线所在直线的方程为，即。
（4）依题意可设直线的方程为，则．
，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为12．
18．解：（1）若二面角为，则平面平面。
因为平面平面，且，所以平面。
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则。
设平面的法向量为，因为，
所以令，得．
因为，所以，所以不与平面平行．
（2）取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即。
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，．
设平面的法向量为，因为，
所以令，得．
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得．
因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直．
（3）在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
所以令，得．
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
19．（1）证明：由题意得．
因为，
所以，故与是异面直线。
（2）解：设与都垂直的向量，由可取，
则的长的最小值为．
（3）解：（方法一）由题意可设，
则．
设平面的法向量为，则取
由，解得，
则．
（方法二）由题意可设，
，
则．
由（2）得，
则
解得
故．