湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试（10月）数学试题

这是一份湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高一上学期第一阶段性测试（10月）数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

分量：150分 时量：150分钟 命题人：刘清平 审题人 谭周滔
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各图中，不能表示是的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，若，则的子集个数为（ ）
A．2B．4C．7D．8
4．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生､家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为（ ）
A．20B．22C．26D．28
7．若，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．关于函数的性质，①等式对恒成立；②函数的值域为；③若，则一定有；④存在无数个，满足
其中正确结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．命题，命题：任意两个等边三角形都相似．关于这两个命题，下列判断正确的是（ ）
A．是真命题B．
C．是真命题D．：存在两个等边三角形，它们不相似
10．已知集合，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A．函数满足：
B．函数的值域是
C．对于任意的，都有
D．在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则的取值范围是______．
13．在，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
14．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（15分）
已知函数．
（1）若，求在上的值域；
（2）证明：当时，函数在区间上单调递增．
17．（15分）
已知在上有意义，单调递增且满足．
（1）求证：；
（2）求不等式的的解集．
18．（17分）
我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链：
便款款的、含情脉脉的降临在我们面前．这个均值不等式链神通广大，可以解决很多很多的由定值求最值问题．
（1）填空写出补充完整的该均值不等式链
（2）当时，记为间的“缝隙”．记与间的“缝隙”为与间的缝隙为，请问谁大？给出你的结论并证明．
19．（17分）
对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
（1）已知函数，求函数的不动点；
（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有唯一的不动点，求实数的取值范围．
长沙市周南中学2024年下学期高一年级第一阶段性测试
数学试卷参考答案
1~8 BDBA ABCD
6．【详解】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，
男学生人数为，，
则，则，
又教师人数的两倍多于男学生人数，，解得，
当时，，此时总人数最少为22．
故选：B．
7．【详解】因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为．
故选：C．
8．【详解】对于①，因为，所以对恒成立，所以①正确；
对于②，当时，，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
当时，，
因为，所以，所以，所以，所以，
当时，，
综上，的值域为，所以②正确，
对于③，当时，为增函数，因为，所以为奇函数，
因为的图象在R上连续，所以在R上递增，
所以当，则一定有，所以③正确，
对于④，当时，，则，
所以存在无数个，满足，所以④正确，
所以正确的有4个，
故选：D
9～11 BCD ACD AC
11．【详解】由于，
对于选项A，设任意，则；
设任意，则；
总之，对于任意实数恒成立，A正确；
对于选项B，的值域为，B错误；
对于选项C，当，则；
当，则；C正确；
对于选项D，取，得到为等边三角形，D错误；
故选：AC．
12． 13． 14．
14．【详解】时，，而时，，
所以，
又，所以当时，，
当时，，
作出示意图如下图所示：
要使，则需，结合上图，
由，解得，所以．
15．解析：（1）当时，，
，
所以．
（2）若，则．
①时，，符合题意；
②时，．
若，则，解得，所以；
③时，．
若，则，解得，所以．
综上所述，实数的取值范围是．
16．【详解】（1）解：当，
若，则，等号当且仅当时成立；
若，则，等号当且仅当时成立．
所以在上的值域为：．
（2）证明：，且，
有
．
由得：．
所以，又由，得．
于是：，即．
所以，函数在区间上单调递增．
17．【详解】（1）．
（2），
且函数在上单调递增，
解得．
18．【详解】（1）
（2）（当且仅当时取等号）
证明：
又
（当且仅当时取号）．
（当且仅当时取=号）．
19．【详解】（1）设为不动点，因此，即，
解得或，所以为函数的不动点．
（2）方程，即，有，
因为，于是得一元二次方程有两个不等实根，
即判别式，
依题意，对于任意的，不等式恒成立，
只需关于未知数的方程无实数根，
则判别式，
整理得，解得，
所以实数的取值范围是．
（3）由，得，
由于函数在上有且只有一个不动点，
即在上有且只有一个解
令
①，则，解得；
②，即时，
方程可化为，另一个根为-1，不符合题意，舍去；
③，即时，
方程可化为，另一个根为1，满足；
④，即，解得，
（ⅰ）当时，方程的根为，满足；
（ⅱ）当时，方程的根为，不符合题意，舍去；
综上，的取值范围是或．