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2025届吉林省长春市名校联考数学九上开学达标检测试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
A.B.C.D.
2、(4分)直线y=x+1与y=–2x–4交点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、(4分)一组数据1,3,4,4,4,5,5,6的众数和方差分别是( )
A.4,1B.4,2C.5,1D.5,2
4、(4分)在同一平面直角坐标系中的图像如图所示,则关于的不等式的解为( ).
A.B.C.D.无法确定
5、(4分)某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛,而这9名同学只知道自己的成绩,要想让他们知道自己是否入选,老师只需公布他们成绩的( )
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
6、(4分)已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为( )
A.1B.﹣1C.1﹣2aD.2a﹣1
7、(4分)已知(x﹣1)|x|﹣1有意义且恒等于1,则x的值为( )
A.﹣1或2B.1C.±1D.0
8、(4分)如图,将绕点顺时针旋转得到.若点在同一条直线上,则的度数是( )
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)一列数,,,,其中,(为不小于的整数),则___.
10、(4分)已知一次函数的图象经过点,则m=____________
11、(4分)如图,正方形ABCD中,,点E、F分别在边AD和边BC上,且,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,点P自A→F→B方向运动,点Q自C→D→E→C方向运动若点P、Q的运动速度分别为1cm/s,3cm/s,设运动时间为,当A 、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时则t= ________________
12、(4分)将正比例函数y=﹣2x的图象向上平移3个单位,则平移后所得图象的解析式是_____.
13、(4分)如图,将一个智屏手机抽象成一个的矩形,其中,,然后将它围绕顶点逆时针旋转一周,旋转过程中、、、的对应点依次为、、、,则当为直角三角形时,若旋转角为,则的大小为______.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)已知函数.
(1)若函数图象经过原点,求的值;
(2)若这个函数是一次函数,且随着的增大而减小,求的取值范围.
15、(8分)甲、乙两校的学生人数基本相同,为了解这两所学校学生的数学学业水平,在某次测试中,从两校各随机抽取了30名学生的测试成绩进行调查分析,其中甲校已经绘制好了条形统计图,乙校只完成了一部分.
(1)请根据乙校的数据补全条形统计图:
(2)两组样本数据的平均数.中位数众数如下表所示,写出、的值:
(3)两所学校的同学都想依据抽样的数据说明自己学校学生的数学学业水平更好些,请为他们各写出条可以使用的理由;甲校:____.乙校:________.
(4)综合来看,可以推断出________校学生的数学学业水平更好些,理由为________.
16、(8分)数学活动课上,老师提出问题:如图,有一张长4dm,宽1dm的长方形纸板,在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,做成一个无盖的盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子的体积最大.
下面是探究过程,请补充完整:
(1)设小正方形的边长为x dm,体积为y dm1,根据长方体的体积公式得到y和x的关系式: ;
(2)确定自变量x的取值范围是 ;
(1)列出y与x的几组对应值.
(4)在下面的平面直角坐标系中,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象如下图;
结合画出的函数图象,解决问题:
当小正方形的边长约为 dm时,(保留1位小数),盒子的体积最大,最大值约为 dm1.(保留1位小数)
17、(10分)如图,等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点,连接CD,过E点作EF∥DC交BC的延长线于点F.
(1)求证:四边形CDEF是平行四边形;
(2)求四边形CDEF的周长.
18、(10分)如图,在四边形ABCD中,AD⊥BD,BC=4,CD=3,AB=13,AD=12,求证:∠C=90°.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)如图,△ACE是以ABCD的对角线AC为边的等边三角形,点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是(7,),则D点的坐标是_____.
20、(4分)如果一组数据:8,7,5,x,9,4的平均数为6,那么x的值是_____.
21、(4分)每张电影票的售价为10元,某日共售出x张票,票房收入为y元,在这一问题中,_____是常量,_____是变量.
22、(4分)如图,长方形ABCD的边AB在x轴上,且AB的中点与原点重合,,,直线与矩形ABCD的边有公共点,则实数b的取值范围是________.
23、(4分)若三角形的三边a,b,c满足,则该三角形的三个内角的度分别为____________.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)把一个足球垂直水平地面向上踢,时间为(秒)时该足球距离地面的高度(米)适用公式
经过多少秒后足球回到地面?
经过多少秒时足球距离地面的高度为米?
25、(10分)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形纸片沿EF折叠,使点C与点A重合.
(1)判断△AEF的形状,并说明理由;
(2)求折痕EF的长度;
(3)如图2,展开纸片,连接CF,则点E到CF的距离是 .
26、(12分)计算
(1); (2).
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、D
【解析】
解:三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=1.
A.,对应边,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;
B.,对应边,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;
C.,对应边,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似,故此选项错误;
D.,对应边,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似,故此选项正确;
故选D.
点睛:此题主要考查了相似三角形的判定,正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键.
2、C
【解析】
试题分析:直线y=x+1的图象经过一、二、三象限,y=–2x–4的图象经过二、三、四象限,所以两直线的交点在第三象限.故答案选C.
考点:一次函数的图象.
3、B
【解析】
根据题目中的数据可以直接写出众数,求出相应的平均数和方差,从而可以解答本题.
【详解】
数据1,3,4,4,4,5,5,6的众数是4,
,
则s2==2,
故选B.
本题考查方差和众数,解答本题的关键是明确众数的定义,会求一组数据的方差.
4、C
【解析】
求关于的不等式的解集就是求:能使函数的图象在函数的上边的自变量的取值范围.
【详解】
解:能使函数的图象在函数的上边时的自变量的取值范围是.
故关于的不等式的解集为:.
故选:.
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系,从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.利用数形结合是解题的关键.
5、B
【解析】
总共有9名同学,只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断,然后根据中位数定义即可判断.
【详解】
要想知道自己是否入选,老师只需公布第五名的成绩,
即中位数.
故选B.
6、A
【解析】
先由点a在数轴上的位置确定a的取值范围及a-1的符号,再代入原式进行化简即可
【详解】
由数轴可知0<a<1,
所以,=1,选A。
此题考查二次根式的性质与化简,实数与数轴,解题关键在于确定a的大小
7、A
【解析】
根据任何非3数的3次幂等于1,求x的值,注意1的任何正整数次幂也是1.
【详解】
根据题意,得x-1≠3,|x|-1=3.
∵|x|-1=3,∴x=±1,
∵x-1≠3,∴x≠1,
又当x=3时,(x-1)|x|-1=1,
综上可知,x的值是-1或3.
故选A.
此题考查了绝对值的定义,零指数幂的定义,比较简单.
8、B
【解析】
用旋转的性质可知△ACE是等腰直角三角形,由此即可解决问题.
【详解】
解:由题意:A,D,E共线,
由旋转可得:CA=CE,∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠E=45°,
故选:B.
本题考查旋转变换,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、
【解析】
把a1,a2,a3代入代数式计算,找出规律,根据规律计算.
【详解】
a1=,
,
,
……,
2019÷3=673,
∴a2019=-1,
故答案为:-1.
本题考查的是规律型:数字的变化类问题,正确找出数字的变化规律是解题的关键.
10、1
【解析】
把(m,6)代入y=2x+4中,得到关于m的方程,解方程即可.
【详解】
解:把(m,6)代入y=2x+4中,得
6=2m+4,解得m=1.
故答案为1.
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,解题方法一般是代入这个点求解.
11、3s或6s
【解析】
根据两点速度和运动路径可知,点Q在EC上、点P在AF上或和点P在BC上时、点Q在AD上时,A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形.根据平行四边形性质构造方程即可.
【详解】
由P、Q速度和运动方向可知,当Q运动EC上,P在AF上运动时,
若EQ=FP,A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
∴3t-7=5-t
∴t=3
当P、Q分别在BC、AD上时
若QD=BP,形A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形
此时Q点已经完成第一周
∴4-[3(t-4)-4]=t-5+1
∴t=6
故答案为:3s或6s.
本题考查了正方形的性质,平行四边形的判定和性质,动点问题的分类讨论和三角形全等有关知识.解答时注意分析两个动点的相对位置关系.
12、y=-2x+1
【解析】
根据一次函数图象平移的规律即可得出结论.
【详解】
解:正比例函数y=-2x的图象向上平移1个单位,则平移后所得图象的解析式是:y=-2x+1,
故答案为y=-2x+1.
本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键.
13、或或
【解析】
根据题中得到∠ADE=30°,则∠DAE=60°;这是有两种情况,一种AE在AD的左侧,一种AE在AD的右侧;另外,当旋转180°,AE和AB共线时,∠EAD=90°,△ADE也是直角三角形.
【详解】
解:要使△ADE为直角三角形,由于AE=8,AD=16,即只需满足∠ADE=30°即可.
当∠DAE=30°,则∠DAE=60°
当AE在AD的右侧时,旋转了30°;
当AE在AD的左侧,即和BA的延长线的夹角为30°,即旋转了150°.
另外,当旋转到AE和AB延长线重合时,∠DAE=90°,三角形ADE也是直角三角形;
所以答案为:或或
本题考查了旋转和直角三角形的相关知识,其中对旋转过程中出现直角的讨论是解答本题的关键.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1),(2).
【解析】
(1)把原点代入解析式即可求解;
(2)根据一次函数的增减性即可求解.
【详解】
(1)把(0,0)代入
得0=m+5
解得m=-5
(2)依题意得3m-1<0,
解得
此题主要考查一次函数的图像与性质,解题的关键是熟知一次函数的增减性.
15、(1)见解析;(2);;(3)答案不唯一,理由需包含数据提供的信息;(4)答案不唯一.
【解析】
(1)根据表格中的数据可以得到乙校70-79的和60-69的各有多少人,从而可以将条形统计图补充完整;
(2)根据表格中的数据将乙校的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数和众数;
(3)答案不唯一,理由需包含数据提供的信息;
(4)答案不唯一,理由需支撑推断结论.
【详解】
解:(1)由表格可得,
乙校,70-79的有5人,60-69的有2人,
补全条形统计图,如下图
各分数段条形统计图
(2)乙校数据按照从小到大排列是:57、61、63、71、72、73、76、79、80、83、84、84、84、85、85、87、87、88、89、89、90、90、91、92、92、92、92、92、94、94,
∴这组数据的中位数是:,;
(3)甲校:我们学校的平均分高于乙校,所以我们学校的成绩好;
乙校:我们学校的众数高于甲校,所以我们学校的成绩好;
故答案为我们学校的平均分高于乙校,所以我们学校的成绩好;我们学校的众数高于甲校,所以我们学校的成绩好;
(4)综合来看,甲校学生的数学学业水平更好一些,理由:甲校的平均分高于乙校,说明总成绩甲校好于乙校,中位数甲校高于乙校,说明甲校一半以上的学生成绩较好
本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
16、(1) (或);(2);(1)m=1,n=2;(4)~都行,1~1.1都行.
【解析】
根据题意,列出y与x的函数关系式,根据盒子长宽高值为正数,求出自变量取值范围;利用图象求出盒子最大体积.
【详解】
(1)y=x(4−2x)(1−2x)=4x−14x+12x
故答案为:y=4x−14x+12x
(2)由已知
解得:0
(4)根据图象,当x=0.55dm时,盒子的体积最大,最大值约为1.01dm1
故答案为:~都行,1~1.1都行
此题考查函数的表示方法,函数自变量的取值范围,函数图像,解题关键在于看懂图中数据.
17、 (1)证明见解析;(2)四边形CDEF的周长为2+2.
【解析】
(1)直接利用三角形中位线定理得出,再利用平行四边形的判定方法得出答案;
(2)利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出,进而求出答案.
【详解】
(1)证明:、分别为、的中点,
是的中位线,
,
,
四边形是平行四边形;
(2)解:四边形是平行四边形,
,
为的中点,等边的边长是2,
,,,
,
四边形的周长.
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识,正确掌握平行四边形的性质是解题关键.
18、证明见解析.
【解析】
先根据勾股定理求出BD的长度,然后根据勾股定理的逆定理,即可证明CD⊥BC.
【详解】
证明:∵AD⊥BD,AB=13,AD=12,
∴BD=1.
又∵BC=4,CD=3,
∴CD2+BC2=BD2.
∴∠C=90°
本题考查了勾股定理及其逆定理,注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(3,0)
【解析】
∵点C与点E关于x轴对称,E点的坐标是(7,),
∴C的坐标为(7,).
∴CH=,CE=,
∵△ACE是以ABCD的对角线AC为边的等边三角形,
∴AC=.
∴AH=1.
∵OH=7,
∴AO=DH=2.
∴OD=3.
∴D点的坐标是(3,0).
20、1
【解析】
利用平均数的定义,列出方程=6即可求解.
【详解】
解:根据题意知=6,
解得:x=1,
故答案为1.
本题考查了平均数的概念.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
21、电影票的售价 电影票的张数,票房收入.
【解析】
根据常量,变量的定义进行填空即可.
【详解】
解:常量是电影票的售价,变量是电影票的张数,票房收入,
故答案为:电影票的售价;电影票的张数,票房收入.
本题考查了常量和变量,掌握常量和变量的定义是解题的关键.
22、−1≤b≤1
【解析】
由AB,AD的长度可得出点A,C的坐标,分别求出直线经过点A,C时b的值,结合图象即可得出结论.
【详解】
解:∵AB=1,AD=1,
∴点A的坐标为(−1,0),点C的坐标为(1,1).
当直线y=−x+b过点A时,0=1+b,
解得:b=−1;
当直线y=−x+b过点C时,1=−1+b,
解得:b=1.
∴当直线y=−x+b与矩形ABCD的边有公共点时,实数b的取值范围是:−1≤b≤1.
故答案为:−1≤b≤1.
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质,利用极限值法求出直线经过点A,C时b的值是解题的关键.
23、45°,45°,90°.
【解析】
根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形,然后根据等腰三角形的判定得到这个三角形是等腰直角三角形,于是角度可求.
【详解】
解:∵三角形的三边满足,
∴设a=k,b=k,c=k,
∴a=b,
∴这个三角形是等腰三角形,
∵a2+b2=k2+k2=2k2=(k)2=c2,
∴这个三角形是直角三角形,
∴这个三角形是等腰直角三角形,
∴三个内角的度数分别为:45°,45°,90°.
故答案为:45°,45°,90°.
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理的运用,熟记勾股定理的逆定理是解题的关键.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)秒后足球回到地面;(2)经过秒或秒足球距地面的高度为米.
【解析】
(1)令,解方程即可得出答案;
(2)令,解方程即可.
【详解】
解:令,
解得:(舍),,
∴秒后足球回到地面;
令,
解得:.
即经过秒或秒,足球距地面的高度为米.
本题考查的知识点是二次函数的实际应用,根据题意分别令为不同的值解答本题.
25、(1)△DEF是等腰三角形,理由见解析;(2);(3)1
【解析】
(1)根据折叠和平行的性质,可得∠AEF=∠AFE,即得出结论;
(2)过点E作EM⊥AD于点M,得出四边形ABEM是矩形,设EC=x,则AE=x,BE=16-x,在Rt△ABE中,利用勾股定理求出x,在Rt△EMF中,用勾股定理即可求得;
(3)证明四边形AECF是菱形,设点E到CF的距离为h,通过面积相等,即可求得.
【详解】
(1)△AEF是等腰三角形.
理由如下:由折叠性质得∠AEF=∠FEC,
在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠AFE=∠FEC,
∴∠AEF=∠AFE, ∴AF=AE;
∴△AEF是等腰三角形;
故答案为:△AEF是等腰三角形.
(2)如图,过点E作EM⊥AD于点M,
则∠AME=90°,
又∵在矩形ABCD中,∠BAD=∠B=90°,
∴四边形ABEM是矩形,
∴AM=BE,ME=AB=1,
设EC=x,则AE=x,BE=16-x,
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,x2=12+(16-x)2,
解之得x=10,
∴EC=AE=10,BE=6,
∴AM=6,AF=AE=10,
∴MF=AF-AM=4,
在Rt△EMF中,;
故答案为:;
(3)由(1)知,AE=AF=EC,
∵AF∥EC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴四边形AECF是菱形,
设点E到CF的距离为h,
,
∴h=1.即E到CF的距离为1,
故答案为:1.
考查了折叠图形和平行线结合的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理求角的应用,菱形的判定和性质,等面积法的应用,熟记和掌握几何图形的判定和性质内容是解题的关键.
26、(1);(2).
【解析】
(1)先根据二次根式的性质进行化简,再去括号进行运算,即可得到答案;
(2)先根据二次根式的性质进行化简,进行运算,即可得到答案.
【详解】
(1)
=
=
=2
(2)
=
=
本题考查二次根式的混合运算,解题的关键是先化简再进行计算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
平均数
中位数
众数
甲校
乙校
x/dm
…
…
y/dm1
…
1.1
2.2
2.7
m
1.0
2.8
2.5
n
1.5
0.9
…
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