湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

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1．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[﹣1.6]＝﹣2，那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知命题P: ∀x∈R , xx-1>0 , 则 ¬p 为(D)
A. ∀x∈R,xx-1≤0
B. ∃x∈R,xx-1≤0
C. ∀x∈R , xx-1≤0 或 x-1=0
D. ∃x∈R , xx-1≤0 或 x-1=0
4.若正实数 x , y 满足 x+4y-xy=0 , 则 xy 的取值范围为( )
A. (0,4]
B. [2,+∞)
C. [4,+∞)
D. [16,+∞)
5．已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0的否定是真命题，那么实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤12B．0＜a≤13C．a≤13D．a≥13
6．若实数α，β满足﹣13＜α＜β＜﹣12，则α﹣β的取值范围是（ ）
A．﹣13＜α﹣β＜﹣12B．﹣25＜α﹣β＜0
C．﹣1＜α﹣β＜0D．﹣1＜α﹣β＜1
8．已知长为a，宽为b的长方形，如果该长方形的面积与边长为k1的正方形面积相等；该长方形周长与边长为k2的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为k3的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为k4的正方形面积和周长的比相等，那么k1、k2、k3、k4大小关系为（ ）
A．k1≤k4≤k2≤k3B．k3≤k1≤k2≤k4
C．k4≤k1≤k3≤k2D．k4≤k1≤k2≤k3
二．多选题（共3小题）
9．下列说法不正确的是（ ）
A．“a＜b”是“1a＞1b”的必要不充分条件
B．若x+y＝1，则xy的最大值为2
C．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（x1，x2），则必有a＜0
D．命题“∃x∈R，使得x2+1＝0．”的否定为“∀x∉R，使得x2+1≠0”
10．已知正数a，b满足2a+3b＝8，则下列说法正确的是（ ）
A．ab≤83B．2a+2b＞7
C．4a2+9b2≥32D．12a+6b+14a+3b≥16
11．对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件：
①B⊆{（a，b）|a∈A，b∈A}；
②∀a∈A，（a，a）∈B；
③∀a，b∈A，若（a，b）∈B且（b，a）∈B，则a＝b；
④∀a，b，c∈A，若（a，b）∈B且（b，c）∈B，则（a，c）∈B．
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设A＝{1，2}，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个
B．设A＝{1，2，3}，则集合B＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（3，3）}是集合A的一个“偏序关系”
C．设A＝{1，2，3}，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D．R'＝{（a，b）|a∈R，b∈R，a≤b}是实数集R的一个“偏序关系”
二．填空题（共3小题）
12．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}⊇{0，ba}，则a+b＝ ．
13．已知条件¬p：﹣3＜x＜0，条件¬q：x＞a，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．
14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理．在下面两个图中，若AC＝b，BC＝a（b≥a），AB＝c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则l1+l2a+b的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
15.已知 A={x∣-2≤x≤3} , B={x∣a-5(1)若 A∪B=B ，求实数a的取值范围；
(2)若 B∩∁UA=B ；求实数a的取值范围.
16．（1）设均为正数，且，证明：若，则：
（2）已知为正数，且满足，证明：.
17．已知p：x2+2x﹣8≤0，q：x2﹣（2m+1）x+m2+m≤0．
（1）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若q是p的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围．
18．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为S1；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为S2．
（其中y＞x＞4，b＞a＞4）
（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系y＝2x﹣2x-4，b＝2a+4a-4，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值S＝花费较大值﹣花费较小值）．
19．已知集合Sn={1，2，3，⋯，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”．
（1）试判断集合A1＝{3，4，5}，A2＝{3，5，7}是否为集合S4的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
（2）如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①x＜y＜z，②x+y＞z，③x+y+z为偶数．那么称该集合具有性质P．对于集合Sn的非空子集A，证明：集合A是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合A具有性质P．
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