江西省九江市永修县2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

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【详解】解：A选项： 不是整式方程，故A不符合题意；
B选项：的最高次数是2，且只有一个未知数，故B符合题意；
C选项：，当时，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D选项：是一次方程，故B不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解本题的关键．
2．B
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从几何体的正面看可得图形:
．
故选B．
【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
3．B
【分析】首先设，根据等腰三角形的性质可知，．然后根据三角形内角和定理可求解．
【详解】解：设，
，
，
则，
，
，
，
，
，
解得：，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是能够用同一个未知数表示出一个三角形中的三个角，根据三角形的内角和定理列方程求解．
4．D
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（−4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（−4×2，2×2）或（4×2，−2×2），即（−8，4）或（8，−4），
故选D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
5．C
【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE=，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得出BF=BE=，然后证明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF=．
【详解】∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，
∴∠BAE=90°，AE=AD=AB=1，
∴BE==，
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=BE=，
在△ADF与△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出BF=BE=是解题的关键．
6．A
【分析】根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1．
【详解】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键．
7．
【分析】根据合比的性质即可求解．
【详解】已知＝＝（b＋d0），根据等比性质可得＝．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是利用比例的基本性质．
8．1：4
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比为1：4，
故答案为：1：4．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解答的关键．
9．＞
【分析】根据反比例函数的性质和图象可以得到，即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象每一条分支上，都随的增大而增大，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．
10．9
【分析】根据白球出现的频率和球的总数，可以计算出可能有白球的个数．
【详解】解：由题意可得（个），
即袋子中白球的个数可能是9个，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率的方法．
11．4
【分析】根据根与系数的关系得出a+b=-2，ab=-，求出a-b的值，再变形后代入，即可求出答案．
【详解】
【点睛】本题考查了完全平方公式和根与系数的关键，整体代入是解此题的关键．
12．2或12或
【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP两种情况，根据相似三角形对应边成比例，列方程计算即可．
【详解】解：设BP＝x，则PD＝14﹣x，
当△ABP∽△PDC时，，即，
解得，x1＝2，x2＝12，经检验x1＝2，x2＝12是原方程的解；
当△ABP∽△CDP时，，即，
解得，x＝，经检验x＝是原方程的解；
综上所述，当所得两个三角形相似时，则BP的长为2或12或，
故答案为：2或12或．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和分类讨论思想，掌握相似三角形的对应边成比例、根据对应关系不同进行分类讨论是解题的关键．
13．（1）；（2）见解析
【分析】（2）用配方法求解即可；
（2）由矩形的性质得，然后由证明，即可得出．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴；
（2）证明：∵四边形是矩形，
∴∠，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
（2）解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，根据题意准确得出相关不等式及方程求解是解决问题的关键．
15．(1)
(2)
【分析】（1）所有等可能的结果有4种，其中牌面数字小于3的结果有2种，由事件概率公式即可求得概率；
（2）画出树状图或列出表格，即可得到所有等可能的结果数，及组成的两位数恰好是3的倍数的结果数，由概率计算公式即可求得概率．
【详解】（1）解：四张牌中任抽取一张，所有等可能的结果有4种，其中牌面数字小于3的结果有2种，则从中随机抽出一张牌，牌面数字小于3的概率是；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表知，所有可能的结果数有种，其中组成的两位数是3的位数的有5种，则组成的两位数恰好是3的倍数的概率是：三分之一．
【点睛】本题考查了简单事件的概率及用树状图或列表法求事件的概率，无论是简单事件还是稍复杂事件的概率，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数是问题的关键．
16．
【分析】首先设，，进而可得，再把当时，；当时，代入可得，解方程可得、的值，进而可得函数解析式．
【详解】解：∵与成正比例，与成反比例，
∴设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确掌握正比例函数与反比例函数解析式的形式．
17．(1)作图见解析部分
(2)作图见解析部分
【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；
（2）取格点，过点和点作直线即可．
【详解】（1）解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
（2）如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
18．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为，函数图象见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）先把点B坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式，最后画出对应的函数图象即可；
（2）：设一次函数与y轴交于点E，则，得到，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：把代入到反比例函数中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入到反比例函数中得：，
∴；
把，代入到一次函数中得：
，
∴，
∴一次函数解析式为；
函数图象如下所示：
（2）解：设一次函数与y轴交于点E，则，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当或时反比例函数图象在一次函数图象上方或交点处，即此时 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数与几何综合，正确求出两个函数的解析式是解题的关键．
19．（1）y=40-x；（2）每吨水泥的实际售价应定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．
【分析】（1）未采取降低促销方式前每吨水泥的利润为290-250=40元，代销点采取降低促销的方式后每吨水泥的利润为（40-x）元；
（2）先求出降价后每天售出水泥的吨数，再乘以每天的利润正好等于720元，解方程即可求出降低的价钱，从而求得每吨水泥的实际售价．
【详解】解：（1）依题意得y=290-x-250=40-x；
（2）设每吨水泥降低x元，依题意得
（40-x）（16+x）=720，
解得x1=x2=10，
∴290-10=280．
答：每吨水泥的实际售价应定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．
20．（1）；（2）油画顶部到墙壁的距离是；（3）他应该远离墙壁．
【分析】（1）连接BD，由题意易得AB=BD，∠ABE=∠PAD，然后根据等腰三角形的性质可得∠ABD=2∠ABE，进而问题可求解；
（2）由题意可得，则有，然后问题可求解；
（3）根据题意可直接进行求解．
【详解】解：（1）连接BD，如图所示：
∵，AB∥MN，
∴∠CAB=90°，
∴∠PAD+∠DAB=90°，
∵BE⊥AD，
∴∠DAB+∠ABE=90°，
∴∠PAD=∠ABE，
∵点E是AD的中点，
∴AB=BD，
∴∠ABD=2∠EAB，
∵，
∴，
故答案为；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵=100cm，点E是AD的中点，
∴AE=50cm，
∴，
∴，
∴油画顶部到墙壁的距离是；
（3）因为当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，所以当油画底部处位置不变，油画与墙壁的夹角逐渐减小时，则人与油画的中心位置所夹的角也越来越小，进而小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21．(1)19
(2)；
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴ ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
22．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）先利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到，再根据菱形的判定可证得结论；
（2）解：①利用平行四边形的性质和平行线分线段成比例得到，设，则，，则有，进而求解即可；②设，则，利用勾股定理列方程求解x值，再根据、求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
即 ，又四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
（2）解：①∵平行四边形对角线的交点为O，
∴，，
∴，
∵P为的中点，
∴，
设，则，，
∴，解得，
∴，，
∴；
②设，则，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
则，
∴（负值舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用平行线分线段成比例求得，，是解答的关键．
23．（1）∠DC；（2）AD2+DE2=AE2；（3）①见解析；②BD=．
【分析】（1）根据拼图可求得∠A=∠DC；
（2）根据∠ABC与∠ADC互余求得∠ADF=∠ADC+∠ABC=90°，利用勾股定理即可求解；
（3）①由点O是△ACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OD=OC，推出2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，得到∠OAC+∠ADC =90，即可求解；
②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，求得AC：AB：BC= 1：2：，同理可得CE：DE：DC= 1：2：，证明△ACE△BCD，利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）根据拼图可得：∠A=∠DC；
故答案为：∠DC；
（2）作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，如图，
∵∠ABC与∠ADC互余，即∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠ADC+∠CDF=∠ADC+∠ABC=90°，
∴AD2+DE2=AE2；
故答案为：AD2+DE2=AE2；
（3）①证明：连接OD、OC，
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点，
∴OA=OD=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠ODC=∠OCD，∠OAD=∠ODA，
∵2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180，
即2∠OAC+2∠ADC =180，
∴∠OAC+∠ADC =90，
∵∠OAC=∠ABC，
∴∠ABC +∠ADC =90；
②作∠CDF=∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，
∵∠ABC +∠ADC=90，
∴∠ADC +∠CDF=90，
∴AD2+DE2=AE2，即m2+DE2=AE2，
∵∠BAC=90，
∴AC：AB：BC= 1：2：，
同理可得CE：DE：DC= 1：2：，
∴，
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△ACE△BCD，
∴，
∴AE=，
在Rt△CDE中，，
∴DE=，
∴m2+()2=()2，即m2+2=，
∴BD2=，
∴BD=．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
A
2
3
4
A
A2
A3
A4
2
2A
23
24
3
3A
32
34
4
4A
42
43