河南省周口市淮阳区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市淮阳区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了的值等于，如图，在中，，，，与的相似比为等内容，欢迎下载使用。

数学（3）
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1．的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到黄球”这个事件是（ ）
A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定
3．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．如图，在中，，，，与的相似比为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A．米B．米C．米D．米
7．四张不透明的卡片，正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是﹣10的概率是（ ）
A．B．C．D．1
8．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．已知数轴上A、B两点表示的数分别是方程的两个实数根，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．如图，中，，，，，O为的中点，若点D为直线下方一点，且与相似．则下列结论：
①若，与相交于点E，则点E不一定是的重心。
②，则的最大值为；
③若，，则的长为；
④若，则当时，．
其中正确的为（ ）
A．①④B．②③C．①②④D．①③④
二．填空题．（每题3分，共15分）
11．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= ．
12．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为 （精确到0.1）．
13．中，，，，则 ．
14．小颖解一元二次方程时，一次项系数印刷不清楚，查看答案为，则□代表的数为 ．
15．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接平分交于F，连接，则的长为 ．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，
(1)以原点O为位似中心，在原点左侧，将放大到原来的2倍．请你画出变化后的，并写出点的坐标；
(2)画出关于x轴对称的．
18．如图，正方形内接于，在斜边上．求证：．
19．在中，，根据下列条件解直角三角形．
(1)已知，，求及；
(2)已知，，求及．
20．公元前138年张骞出使西域，自长安出发，经匈奴，西行至大宛，经康居，抵达大月氏，再至大夏，最后于公元前126年返回汉朝．张骞出使西域后汉夷文化交往频繁，中原文明通过“丝绸之路”迅速向四周传播．根据古今地图对比，南南同学发现丝绸之路途经现代西安，吐鲁番，喀什等地．
(1)南南爸爸想趁暑假一家人一起出游，若只能去一个地方游览，且选择三个地方的概率相等，那么南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是 ．
(2)若时间充足，南南一家决定以上三个城市都去一趟，求南南一家最后一站去喀什的概率．
21．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）

(1)连接，求证：；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据：）
22．某超市销售一种进价为18元／千克的商品，经市场调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系：，超市每天的利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系；
(2)若该超市本着“尽量让顾客享受实惠”的原则销售该商品，则当时，销售单价应定为多少？
23．【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
答案与解析
1．B
【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．
【详解】解 ：，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案．
【详解】解：∵一个口袋中装有大小和形状都相同的一个红球和一个黄球，
∴“从中任意摸出一个球，得到黄球”是随机事件，
故选B．
3．C
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念、二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
4．B
【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，
∴△=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．
5．B
【分析】考查对平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似的运用．根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；可判定与的关系是相似；然后根据和的长，可求出与的比例关系，即两三角形的相似比．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即与的相似比为．
故选：B．
6．B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
7．A
【分析】正面标有数字分别是﹣2，3，﹣10，6，从中随机抽取一张卡片，﹣10的个数是1，再根据概率公式直接求解即可求得概率．
【详解】解：由题意可知，共有4张标有数字﹣2，3，﹣10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为﹣10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是﹣10的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
8．B
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴
∵BP＝2，CD＝1，
∴
∴AB＝4，
∴△ABC的边长为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力.
9．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根，可得，，故．
【详解】解：设A表示的数为，B表示的数为，根据数轴上A，B两点表示的数是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故选：C．
10．A
【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求的值．
【详解】解：①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心；
如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心；
如图，点不是中点，所以点不是重心；
①正确

②当，如图时最大，，
，，，
，
，
②错误；

③如图5，若，，
∴，，，，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴③错误；
④如图6，，
∴，
即，
在中，，
∴，
∴，
当时，为5，
∴④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键．
11．4：9
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF=（）2=4：9．
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为．
【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为，
故答案为：．
13．6.
【详解】由三角函数的定义和勾股定理即可求得．
解：∵，．又∵，∴．∵，
∴．
14．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据一元二次方程解的定义，列出关于b的方程，解方程即可．
【详解】解：设□代表的数为b，则一元二次方程为：，
把代入得：，
解得：，
∴□代表的数为，
故答案为：．
15．##
【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是过点作于，作于点N，首先证明为正方形，再设,则，然后证明，由相似三角形的性质求出a，进而在中由勾股定理即可求出．
【详解】如图，过点 作于，作于点N．
∵四边形为正方形，
，
，
∴四边形为矩形，
又∵平分，
，
∴四边形为正方形，
，
设,则，
，
，
，
，
，
，即，
解得 ，
，
，
在中, ，
由勾股定理得，
故答案为
16．(1)
(2)
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
17．(1)；详见解析
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，和轴对称图形，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可；
（2）先作出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求作的三角形．
18．详见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由正方形的性质得到，，再证明，进而证明，得到，由此即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解直角三角形；
（1）先根据正切的定义得出，进而求得；
（2）根据得出，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：依题意得；，
∴，
，
（2）依题意得，
∴，
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，直接求解即可；
（2）用列举法表示出所有等可能的结果，再求得最后一站去喀什的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择一个地方游览，
∴南南从西安，吐鲁番，喀什三个城市中选择西安的概率是，
故答案为．
（2）解：南南一家去三个城市的顺序可能有以下6种情况：
西安一吐鲁番一喀什，西安一喀什一吐鲁番，吐鲁番一喀什一西安，吐鲁番一西安一喀什，喀什一吐鲁番一西安，喀什一西安一吐鲁番．
且每种出游顺序的可能性相同，最后一站去喀什有2种可能情况，
∴南南一家最后一站去喀什的概率为=．
【点睛】本题考查列举法求概率，熟练掌握列举法或画树状图求概率的方法是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)雕塑的高约为米
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22．(1)
(2)当时，销售单价应定为30元
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可；
（2）根据（1）所求把代入求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：当时，则，
整理得：
解得：，，
∵尽量让客户受到实惠，
∴，
∴当时，销售单价应定为30元．
23．(1)
(2)成立；理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
试验次数
100
500
1000
2000
4000
频率