上海市徐汇区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）

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2024.1
（时间100分钟满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）．
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（）
A．B．C．D．
2．如图，在直角坐标系xOy中，已知点，直线OA与x轴正半轴的夹角为，那么的值是（）
A．B．C．D．
3．下列两个三角形一定相似的是（）
A．两个直角三角形B．两个等腰三角形
C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形
4．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
5．进博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）
A．米B．米C．200米D．米
6．如图，点D是内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算：__________．
8．已知点P是线段AB的黄金分割点，如果，那么BP的长是__________．
9．已知，如果它们对应高的比，那么和的面积比是__________．
10．在中，点D、E分别在边AB、AC上，如果，，，，那么BC的长是__________．
11．如图，，如果，，，那么BE的长是__________．
12．如图，在中，，于D，如果和的面积比为9：16，，那么AB的长是__________．
13．如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是__________米（结果保留根号）．
14．将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果是等边三角形，那么点B的坐标是__________．
15．如图，在中，AD和BE是的高，且交于点F，已知，，，那么的正切值是__________．
16．中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即里），出西门往前直走2里到B处（即里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是__________里．
17．在中，，，如果将绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点处，联结，那么的长是__________．
18．如图，在中，，，如果点P在的内部，且满足，那么CP的长是__________．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．（本题满分10分）
已知：．
（1）求代数式的值；
（2）当时，求a、b的值．
20．（本题满分10分）
已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D．
（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；
（2）联结CD、BD，求的余弦值．
21．（本题满分10分）
如图，在梯形ABCD中，，BD平分，，．
（1）求BC的长；
（2）设，，求向量（用向量、表示）．
22．（本题满分10分）
小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是，已知斜坡CD的坡比是，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：
（1）求高楼AB的高度；
（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，，）
23．（本题满分12分）
如图，在中，点E在边AB上，．
（1）求证：；
（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：．
24．（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线上，点M到两坐标轴的距离都是2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与x轴交于点和点，已知，且，与y轴负半轴交于点C．
①求k的值；
②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果，求点P的坐标．
25．（本题满分14分）
如图，在中，，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．
（1）当点D是边AB的中点时，求的值；
（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的大小；
（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且，如果点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，求的面积．