吉林省长春市宽城区第四十八中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份吉林省长春市宽城区第四十八中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
2．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且B．且C．且D．且
3．如果点和点关于x轴对称，则的值是（ ）．
A．B．1C．D．5
4．若一个二角形的三条边长分别为3，2a-1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3B．3，4C．2，3，4D．3，4，5
5．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°B．90°C．72°D．60°
6．某次自然灾害导致某铁路隧道被严重破坏，为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车，问原计划每天修多少米？某原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．因式分解： ．
8．方程=-1的根为
9．若a2+a+1=2，则（5﹣a）（6+a）= ．
10．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是 ．
11．如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种.

12．如图，点在同一直线上，，添加条件： ，则可用证明．
13．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为 ．
14．已知一个长方形的长、宽分别为a，b，如果它的周长为10，面积为5，则代数式的值为
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．分解因式：．
16．计算：．
17．解分式方程：．
18．已知：如图，C为BE上一点，点A、D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．
求证：AC=CD．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．先化简：，当时，请你为任选一个适当的数代入求值．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了四边形的两条边与，且四边形是一个轴对称图形，其对称轴为直线．
（1）试在图中标出点，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形向下平移3个单位，画出平移后得到的四边形．
21．已知：如图，在中，

(1)作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)连接，则________．
22．下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：a（a+2b）﹣（a﹣1）2﹣2a
＝a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1﹣2a 第一步
＝2ab﹣4a﹣1．第二步
（1）小丽的化简过程从第 步开始出现错误；
（2）请对原整式进行化简，并求当a＝，b＝﹣6时原整式的值．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有 种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
24．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．某公司向甲、乙两所中学送水，每次送往甲中学7600升，乙中学4000升．已知人均送水量相同，甲中学师生人数是乙中学的2倍少20人．
(1)求这两所中学师生人数分别是多少；
(2)若送瓶装水，价格为1元/升；若用消防车送饮用水，不需购买，但需配送水塔，容量500升的水塔售价为520元/个，其他费用不计．请问这次乙中学用瓶装水花费少还是饮用消防车送水花费少？
26．如图，在直角三角形中，，点D在射线上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为，设运动时间为x秒时，对应的的面积为．
(1)填写如表：
(2)在点D的运动过程中，出现为等腰三角形的次数有_______次，请用尺规作图，画出（保留作图痕迹，不写画法）；
(3)求当x为何值时，的面积是的面积的．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，符合题意；
B、图形是轴对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2．A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
3．D
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a、b的值，再计算的值．
【详解】解：∵点和点，
又∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴．
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，点关于x轴的对称点的坐标是，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．B
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，进而得出答案．
【详解】∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6，
∴，
解得：2＜a＜5，
故整数a的值可能是：3，4．
故选B．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键．
5．C
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
【详解】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．
6．B
【分析】等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=4，据此列方程即可．
【详解】解：原计划修天，实际修了天，
可列得方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，从关键字找到等量关系是解决问题的关键．
7．
【分析】本题考查了因式分解，直接利用提公因式法，提取公因式，即可得出答案，熟练掌握提公因式法是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．29．
【详解】解：∵a2＋a＋1＝2，
∴a2＋a＝1，
∴(5﹣a)(6＋a)＝30﹣a﹣a2＝30﹣(a2＋a)＝30﹣1＝29，
故答案为29．
10．80
【详解】解：∵AB＝AC，∴∠C=∠B，∵∠B＝40°，∴∠C=40°，∴x=∠B+∠C=80°．故答案为80°．
11．3
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，选择的位置共有3处．
故答案为3．
考点：概率公式；轴对称图形．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，由平行线的性质可得，再加上条件和，即可利用证明，熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键．
【详解】解：添加条件：，
证明：，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
13．9
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，垂足为，
，
是线段的垂直平分线，
，
的面积．
故答案为：9．
14．25
【分析】根据矩形的面积和周长公式可得a+b=5，ab=5，把所给式子进行因式分解，再代入求值即可．
【详解】∵边长为a，b的长方形周长为10，面积为5，
∴a+b=5，ab=5，
则a2b+ab2=ab（a+b）=5×5=25．
故答案为25．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，将原式因式分解转化为含有已知条件的式子是关键．
15．
【分析】本题考查了综合提公因式、公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式、公式法进行因式分解是解题的关键．
根据综合提公因式、公式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
16．
【分析】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式进行计算，先根据平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项即可，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：
．
17．
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18．证明见解析．
【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．
【详解】∵ AB∥ED，
∴ ∠B=∠E．
在△ABC和 △CED中，
，
∴ △ABC≌△CED．
∴ AC=CD．
考点：全等三角形的判定与性质．
19．；时，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
先计算括号内的分式的加减运算，再约分得到化简的结果，再把时，一个使分式有意义的值代入求值即可．
代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画出点关于直线的对称点即可解决问题；
（2）将四边形各个顶点向下平移3个单位，再顺次连接各个顶点即可得到四边形．
【详解】解：（1）点以及四边形另两条边如图所示．
（2）四边形如图所示．
【点睛】本题考查平移变换、轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的意义，图形的平移实际是点在平移，属于基础题，中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用基本作图—作已知角的平分线，作平分，然后在上截取，则点为的中点；
（2）由三角形内角和定理得出，证明，得出，再利用互余即可计算出的度数．
【详解】（1）解：如图，的平分线即为所作，的中点即为所作，

（2）解：在中，，
，
由作图可得：，平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
22．(1)一;(2)-4.
【分析】（1）首先计算完全平方，然后再去括号，注意符号的变化；
（2）首先计算完全平方，然后再去括号合并同类项，化简后再代入a、b的值即可．
【详解】(1) 小丽的化简过程从第一步开始出现错误，
故答案为一；
(2)a（a+2b）﹣（a﹣1）2﹣2a，
=a2+2ab﹣a2+2a﹣1﹣2a，
=2ab﹣1，
当a=，b=﹣6时，
原式=2××（﹣6）﹣1=﹣3﹣1=﹣4．
【点睛】考查了单项式乘以多项式，以及完全平方公式，关键是掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
23．(1)3；（2）至少需要408元钱购买材料．
【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数．
（2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元/分米，可求其所需钱数．
【详解】解：（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．
故答案为：3
（2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米），
∴51×8=408（元）．
答：至少需要408元购买材料．
【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
24．详见解析
【分析】（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
25．(1) 甲中学有师生380人，乙中学有师生200人；(2)这次乙中学饮用瓶装水花费少．
【详解】分析：（1）此题首先依据题意得出等量关系即人均送水量相同，从而列出方程为=，解出方程检验并作答．
（2）分别算出送瓶装水的费用和送饮用泉水的费用，即可得出结论．
详解：（1）设乙中学有师生x人，则甲中学有师生（2x﹣20）人，依题意，得：
=
解这个方程，得：x=200，
经检验x=200是原方程的解，∴2x﹣20=380，
答：甲中学有师生380人，乙中学有师生200人．
（2）乙中学饮用瓶装水的费用为：4000×1=4000（元），
饮用消防车送水的费用为：4000÷500×520=4160（元），4000＜4160，
所以，这次乙中学饮用瓶装水花费少．
点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．
26．(1)表格见解析
(2)2次，作图见解析
(3)或
【分析】（1）由题意知，，，当点D在线段上时，，，则；当点D在射线 上时，，，则；然后将，代入求解，然后填表即可；
（2）由题意知，分为底，为腰，两种情况作图求解并作答即可；
（3）由题意知，，则，当点D在线段上时，则，计算求解即可；当点D在射线 上时，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
当点D在线段上时，，即，
∴，
∴；
当点D在射线 上时，即，，
∴；
∴当时 ，；
当时 ，；
填表格如下：
（2）解：由题意知，分为底，为腰，两种情况求解：
当为底，为线段垂直平分线与的交点，如图即为所求；
当为腰，，以为圆心，为半径画弧，与射线的交点为，如图，即为所求；
∴共有2次等腰三角形；
（3）解：由题意知，，
∴，
当点D在线段上时，则，
解得，；
当点D在射线 上时，则，
解得，；
综上所述，当的值为或时，的面积是的面积的．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的性质，作垂线，一元一次方程的应用．熟练掌握一次函数的应用，等腰三角形的性质，作垂线，一元一次方程的应用是解题的关键．
时间x秒
…
2
4
6
…
面积y
…
______
_______
…
时间x秒
…
2
4
6
…
面积y
…
4
4
…