初中数学人教版（2024）八年级上册13.4课题学习 最短路径问题一课一练

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【题型1】两定一动型； 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
【题型3】一定两动（垂线段最短）型； 【题型4】两定两动型；
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
选择题
【题型1】两定一动型；
1．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5B．8C．10D．13
2．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（ ）
A．11B．10C．9D．8
3．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，P是直线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．3.5D．4.5
4．（18-19七年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为底边在△ABC外作等腰△ACD，过点D作∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则△PBC周长的最小值为（ ）
A．15B．17C．18D．20
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
5．（2020·辽宁鞍山·一模）如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．（18-19八年级上·河南商丘·期末）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（ ）
A．145°B．110°C．100°D．70°
7．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（ ）
A．2.5B．3.5C．4.8D．6
8．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（ ）

A．B．6C．D．3
10．（20-21八年级上·河北唐山·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，BD平分，若、分别是BD、上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（22-23八年级上·江苏镇江·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
12．（20-21八年级上·辽宁大连·期末）如图，AD是等边△ABC的BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上动点，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
【题型4】两定两动型；
13．（21-22八年级上·湖北武汉·期中）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）
A．α﹣β＝2xB．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+xD．β+2α＝180°﹣2x
14．（18-19八年级上·河南许昌·期中）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．（19-20八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ）
A．B．C．D．
16．（18-19八年级上·湖北孝感·期中）如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β﹣α＝30°B．β﹣α＝40°C．β+α＝180°D．β+α＝200°
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
17．（2022·贵州遵义·二模）如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（）
A．2B． C．D．
18．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，在等腰中，，平分，平分，M、N分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（ ）

A．7B．6C．5D．10
19．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
20．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（ ）

A．B．C．D．
填空题
【题型1】两定一动型；
21．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，于点D，垂直平分，交于点，点是上一动点，则的周长的最小值是 ．
22．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ．
23．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是 ．
24．（20-21八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型；
25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．

26．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °

27．（21-22八年级上·湖北十堰·期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为 ．
28．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知，点P在的内部，，上有一点M，上有一点N，当的周长取最小值时， ，的周长为 ．
【题型3】一定两动（垂线段最短）型；
29．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
30．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．

31．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ．
32．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15º，OB=5，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，Q是OA上一动点，则PA+PQ的最小值是

【题型4】两定两动型；
33．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，点M、N分别在边上，且，，点P、Q分别在边上，则当取最小值时， ．

34．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ．
35．（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
36．（22-23八年级上·福建南平·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为 ．
【题型5】一定两动（等线段）转化型.
37．（19-20八年级上·北京房山·期末）已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为 ．
38．（19-20八年级上·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为 ．
39．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图△ABC为等腰三角形，其中∠ABC=∠BAC=30°，以AC为底边作△ACD，其中∠ACD=∠CAD=30°，再以AD为底边作△ADE，其中∠ADE=∠DAE=30°，△ADE两底角的角平分线交于点O，点P为直线AC上的动点，已知|BP−DP|最大值为8．则DP+OP的最小值为 ．
40．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ．