辽宁省大连市金普新区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学卷

这是一份辽宁省大连市金普新区2024-2025学年九年级上学期10月月考数学卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟）
考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效
参考公式：抛物线的顶点坐标为
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列函数一定是二次函数的是
A.B.C.D.
2.二次函数的图象与轴的交点坐标是
A.B.C.D.
3.若关于的方程的一个根是，则的值是
A.-2B.2C.D.
4.抛物线的顶点坐标是
A.B.C.D.
5.用配方法解方程，原方程应变为
A.B.C.D.
6.一元二次方程根的情况是
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
7.一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是
A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒
8.关于二次函数的图象，下列说法正确的是
A.图象开口向上B.图象的对称轴是直线
C.图象与轴只有一个交点D.图象经过原点
9.某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了45场，设有支球队参加比赛，可列方程为
A.B.C.D.
10.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为
A.8米B.9米C.10米D.11米
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.方程的解为___________.
12.点是抛物线上的一点，则__________.
13.将抛物线向左平移2个单位长度再向上移3个单位长度、得到的抛物线解析式是___________（写成顶点式）.
14.如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为__________m.
15.小明对实心球投掷训练录像进行了分析，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的函数图象如图所示（为抛物线顶点），由此可知此次投掷的成绩是________m.
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16.（10分）
（1）（5分）解方程：；
（2）（5分）二次函数的图象经过点，.求这个二次函数的表达式.
17.（8分）
某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同.
（1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率；
（2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量.
18.（8分）
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）利用表格中点的坐标，在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数图象的对称轴为________；
（3）当时，的取值范围为__________.
19.（8分）
已知关于的方程.
（1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
20.（8分）
金石滩风景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于30元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示.
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21.（8分）
一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线.当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面.已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
（2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？
22.（12分）
如图，抛物线与轴交于点和点.交轴于点，连接，.点在抛物线上.
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）连接，点在抛物线上，，求点的坐标.
23.（13分）
定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如就是“友好点”；若二次函数图象的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”.
（1）直线上的“友好点”坐标为____________；
（2）若“友好二次函数”的图象与轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式；
（3）若“友好二次函数”的图象过点，且顶点在第一象限
①当时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求的值；
②已知点，，当线段与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
九年级（上）十月学情调查数学答案及评分标准
一、选择题：1.B；2.A；3.B；4.C；5.D ；6.C；7.C；8.D；9.B；10.A.
二、填空题：11.，；12. 1；13. ；14. 1； 15. 9
三、解答题：
16.解：（1），，，，
方程有两个不相等的实数根，，
即，.
（2）二次函数的图象经过点，，
，解得，
二次函数的表达式为.
17.解：（1）设该果园樱桃产量的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，，舍去.
答：该果园樱桃产量的年平均增长率为；
（2）根据题意得，（吨），
答：预估该果园2025年樱桃产量大约为103.68吨.
18.如图所示为所画的函数图象；
（2）直线；
（3）.
19.解：（1）方程有一个根为1，，，
方程为，即，
，，解得，，
方程的另一个根为；
（或，方程一个根为1，设，则，方程的另一个根为；）
（2），
，，即，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
20.解：（1）设与的函数解析式为，
将、代入，得，解得，，
与的函数解析式为；
（2）根据题意知，
，
，抛物线开口向下，有最大值，
，当时，取得最大值，最大值为225，
答：每件销售价为25元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元.
21.解：（1）由题意，抛物线的顶点为，
设抛物线为.
又抛物线过，..
抛物线表达式为.
当时，，
.此次射门在不受干扰的情况下能进球；
（2）由题意得，.解得或.
小明需要站在抛物线对称轴右侧防守，，，
答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门.
22.解：（1）抛物线过点，，
解得 ；
（2）是直角三角形.
令，，解得，，，，
，，.
令，，，，，在中，，在中，，
.
，，是直角三角形，；
（3）如图，过作轴交于点，设直线的解析式为，代入，，，.
.
轴，，，.
过作于，则，，又，
.，，即.
，，，
.在上截取，则.
同理，，，
.
设直线的解析式为，代入，.
.
令，解得（舍），.
当时，，
23.解：；
（2）“友好二次函数”，设它的顶点为，.
与轴交点为“友好点”，与轴交点为.
将代入中，，，.
当时，；
当时，.
这个“友好二次函数”的表达式为或；
（3）设“友好二次函数”的解析式为，代入，
，整理得，解得，.
图像顶点在第一象限，，，.
①“友好二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线.顶点坐标为.
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，当时，函数有最小值6.
，解得，，，.
当，即时，函数的最小值为4，不存在最小值为6；
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，当
时，函数有最小值6.
，解得，.
，.
综上所述，的值为或；
②或.
解析：如图所示，，点在直线上运动，如图点，.
当点在点上方时，线段与抛物线有且只有一个交点；
当点在点时，线段与抛物线有且只有一个交点，或.
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