2025届江苏省无锡市宜兴市周铁区数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2025届江苏省无锡市宜兴市周铁区数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）设正比例函数y=mx的图象经过点A(m，4)，且y的值随x的增大而增大，则m=( )
A．2B．-2C．4D．-4
2、（4分）如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF＝( )
A．12B．8C．4D．3
3、（4分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定B．乙稳定C．一样稳定D．无法比较
4、（4分）是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．B．C． D． 为任意实数
5、（4分）解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 （ ）
A．-2B．-1C．1D．2
6、（4分）若关于的不等式组有三个整数解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列计算正确的是( )
A．B．
C．D．
8、（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是_________.
10、（4分）如图，在中，对角线，相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添条件为__________（写出一个即可）．
11、（4分）若，则的值是________
12、（4分）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____________米.
13、（4分）如果关于的方程有实数解，那么的取值范围是_________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，
（1）若AB＝6，AE＝CF，点E为AD的中点，连接AE，BF．
①如图1，求证：BE＝BF＝3；
②如图2，连接AC，分别交AE，BF于M，M，连接DM，DN，求四边形BMDN的面积．
（2）如图3，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接CH，若∠DCH＝22.5°，则的值为 （直接写出结果）．
15、（8分）为弘扬中华传统文化，某学校决定开设民族器乐选修课．为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查 名学生；
（2）请把条形图（图1）补充完整；
（3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果该校共有学生1500名，请你估计最喜爱古琴的学生人数．
16、（8分）小明遇到这样一个问题：
如图，点是中点，，求证：.
小明通过探究发现，如图，过点作.交的延长线于点，
再证明，使问题得到解决。
（1）根据阅读材料回答：的条件是______（填“”“”“”“”或“”）
（2）写出小明的证明过程；
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（3）已知，中，是边上一点，，，分别在，上，连接.点是线段上点，连接并延长交于点，.如图，当时，探究的值，并说明理由：
17、（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
18、（10分）已知，如图（1），a、b、c是△ABC的三边，且使得关于x的方程（b+c）x2+2ax﹣c+b＝0有两个相等的实数根，同时使得关于x的方程x2+2ax+c2＝0也有两个相等的实数根，D为B点关于AC的对称点．
（1）判断△ABC与四边形ABCD的形状并给出证明；
（2）P为AC上一点，且PM⊥PD，PM交BC于M，延长DP交AB于N，赛赛猜想CD、CM、CP三者之间的数量关系为CM+CD＝CP，请你判断他的猜想是否正确，并给出证明；
（3）已知如图（2），Q为AB上一点，连接CQ，并将CQ逆时针旋转90°至CG，连接QG，H为GQ的中点，连接HD，试求出．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）两个实数，，规定，则不等式的解集为__________.
20、（4分）比较大小：_____1．（填“＞”、“=”或“＜”）
21、（4分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是_____．
22、（4分）若以二元一次方程的解为坐标的点（x，y） 都在直线上，则常数b＝_______.
23、（4分）如图，在中，，，，把绕边上的点顺时针旋转90°得到，交于点，若，则的长是________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且，连接AE、AF、EF
（1）求证：
（2）若，，求的面积.
25、（10分）某校为了解全校学生下学期参加社区活动的情况，学校随机调查了本校50名学生参加社区活动的次数，并将调查所得的数据整理如下：
根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）表中a=___，b=___；
（2）请把频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的数据）；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校在下学期参加社区活动超过6次的学生有多少人？
26、（12分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，
求证：四边形OCED是菱形．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
直接根据正比例函数的性质和待定系数法求解即可．
【详解】
解：把x=m，y=4代入y=mx中，
可得：m=±2，
因为y的值随x值的增大而增大，
所以m=2，
故选：A．
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y=kx(k≠0)的图象为直线，当k＞0时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y值随x的增大而减小．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
2、C
【解析】
过点P作平行四边形PGBD，EPHC，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可．
【详解】
延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，
则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG=BD，PE=HC，
又△ABC是等边三角形，
又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF=PG=BD，PD=DH，
又△ABC的周长为12，
∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，
故选C．
本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
3、B
【解析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】
解：∵S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故选B．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
4、C
【解析】
一元二次方程的二次项系数不为1．
【详解】
∵方程是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数p≠1，
故选C.
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
5、A
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】
解；方程两边都乘(x−1)，得
x−3=m，
∵方程有增根，
∴最简公分母x−1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=−2.
故选A.
本题考查了分式方程的增根，解题的关键是求出增根进而求出未知字母的值.
6、B
【解析】
先解不等式组，根据有三个整数解，确定a的取值-1≤a＜3，根据a是整数可得a符合条件的值为：-1，0，1，2，根据关于y的分式方程，得y=1-a，根据分式方程有意义的条件确定a≠-1，从而可得a的值并计算所有符合条件的和．
【详解】
解：，解得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∵关于x的不等式组有三个整数解，
∴该不等式组的整数解为：1，2，3，
∴0≤＜1，
∴-1≤a＜3，
∵a是整数，
∴a=-1，0，1，2，
，
去分母，方程两边同时乘以y-2，得，
y=-2a-（y-2），
2y=-2a+2，
y=1-a，
∵y≠2，
∴a≠-1，
∴满足条件的所有整数a的和是：0+1+2=3，
故选：B．
本题考查一元一次不等式组组的解、分式方程的解，此类题容易出错，根据整数解的个数确定字母系数a的值有难度，要细心．
7、D
【解析】
根据分式的计算法则，依次计算各选项后即可进行判断.
【详解】
A选项：，故计算错误；
B选项：，故计算错误；
C选项：，故计算错误；
D选项：，故计算正确；
故选：D.
查了分式的加、减、乘、除运算，解题关键是熟记其运算法则.
8、D
【解析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB＝BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF＝PC，故④正确．
故选：D．
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
解：∵1，3，x，1，5，它的平均数是3，
∴（1+3+x+1+5）÷5=3，
∴x=4，
∴S1=[（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（1﹣3）1+（5﹣3）1]=1；
∴这个样本的方差是1．
故答案为1．
10、AD=AB
【解析】
根据菱形的判定定理即可求解.
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
所以可以添加AD=AB，即可判定是菱形，
故填：AD=AB.
此题主要考查菱形的判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理.
11、.
【解析】
解：∵﹣=2，∴a﹣b=﹣2ab，∴原式====﹣．故答案为﹣．
12、1．
【解析】
在Rt△ABC中，AB=5米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴AC=
∴AC+BC=3+4=1米．
故答案是：1．
13、
【解析】
由方程有实数根确定出m的范围即可．
【详解】
解：∵关于x的方程（m-1）x+1=0有实数解，
∴m-1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）①详见解析；②12；（2）.
【解析】
（1）①先求出AE＝3，进而求出BE，再判断出△BAE≌△BCF，即可得出结论；
②先求出BD＝6，再判断出△AEM∽△CMB，进而求出AM＝2，再判断出四边形BMDN是菱形，即可得出结论；
（2）先判断出∠DBH＝22.5°，再构造等腰直角三角形，设出DH，进而得出HG，BG，即可得出BH，结论得证．
【详解】
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵点E是中点，
∴AE＝AD＝3，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝3，
在△BAE和△BCF中，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF，
∴BE＝BF＝3；
②如图2，连接BD，
在Rt△ABC中，AC＝AB＝6，
∴BD＝6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△AEM∽△CMB，
∴，
∴，
∴AM＝AC＝2，
同理：CN＝2，
∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2，
由①知，△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝BC，∠BAM＝∠BCN＝45°，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM＝BN，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝AD，∠BAM＝∠DAM＝45°，
∵AM＝AM，
∴△BAM≌△DAM，
∴BM＝DM，
同理：BN＝DN，
∴BM＝DM＝DN＝BN，
∴四边形BMDN是菱形，
∴S四边形BMDN＝BD×MN＝×6×2＝12；
（2）如图3，设DH＝a，
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵DH⊥BH，
∴∠BHD＝90°，
∴点B，C，D，H四点共圆，
∴∠DBH＝∠DCH＝22.5°，
在BH上取一点G，使BG＝DG，
∴∠DGH＝2∠DBH＝45°，
∴∠HDG＝45°＝∠HGD，
∴HG＝HD＝a，
在Rt△DHG中，DG＝HD＝a，
∴BG＝a，
∴BH＝BG+HG＝A+A＝（+1）a，
∴．
故答案为．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形BMDN是菱形是解本题的关键．
15、（1）200；（2）作图略；（3）108°；（4）1．
【解析】
试题分析：根据其他的人数和比例得出总人数；根据总人数和比例求出古筝和琵琶的人数；根据二胡的人数和总人数的比例得出圆心角的度数；根据总人数和喜欢古筝的比例得出人数．
试题解析：（1）20÷10%=200（名）答：一共调查了200名学生；
（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；
补全条形图如图；
（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：×360°=108°；
（4）1500×=1（名）．
答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为1．
考点：统计图．
16、 (1)AAS或ASA，
（2）见详解.
（3）2.
【解析】
根据三角形判定的条件即可得到结果；
由已作辅助线，可知，BF∥CD,再根据平行线的性质可得到内错角相等，又有对顶角相等和边相等，故可得证；
连接BF，取BF的中点D，连接DM,DN，MP与CA的延长线相交于点G，由D,M,N分别是BF,BC,EF的中点，可知DM是△ BCF的中位线，DN是△ BEF的中位线，由中位线定理可得DM∥AC,DN∥BE且DN=BE.从而得到∠DMN=∠G,∠DNM=∠BPM，又因为.，可证得△ DMN为等边三角形，所以DN=MN,等量代换后即可得到的值.
【详解】
解：(1)AAS或ASA（详解见（2））
（2）证明：过点作.交的延长线于点，
则∠F=∠D,∠FBE=∠C.
∵点是中点，
∴BE=EC.
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED（AAS）.
∴BF=CD.
∵,
∴,
∴BF=AB,
∴.
(3) 连接BF，取BF的中点D，连接DM,DN，MP与CA的延长线相交于点G,
∵D,M,N分别是BF,BC,EF的中点，
∴DM是△ BCF的中位线，DN是△ BEF的中位线，
∴DM∥AC,DN∥BE且DN=BE.
∴∠DMN=∠G,∠DNM=∠BPM，
∵且，
∴∠G=∠BPM=60°.
∴∠DNM=∠DMN=60°.
∴△ DMN为等边三角形，
∴MN=DN.
∵DN=BE,
∴=2.
本题主要考查了三角形的全等的判定，等边三角形的判定及性质，三角形的中位线定理及其应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造三角形的中位线.
17、四边形GECF是菱形，理由详见解析．
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．
试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA，
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC，
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．
考点：菱形的判定．
18、（1）△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；（2）猜想正确．（3）
【解析】
（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；根据根的判别式=0即可解决问题；
（2）猜想正确．如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要证明△PEM≌△PFD即可解决问题；
（3）连接DG、CH，作QK⊥CD于K．则四边形BCKQ是矩形．只要证明△CKH≌△GDH，△DHK是等腰直角三角形即可解决问题.
【详解】
解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．四边形ABCD是正方形；
理由：∵关于x的方程（b+c）x2+2ax﹣c+b＝0有两个相等的实数根，
∴4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，
∴a2+c2＝b2，
∴∠B＝90°，
又∵关于x的方程x2+2ax+c2＝0也有两个相等的实数根，
∴4a2﹣4c2＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵D、B关于AC对称，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）猜想正确．
理由：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PCE＝∠PCF＝45°，
∵PE⊥CB，PF⊥CD，
∴PE＝PF，
∵∠PFC＝∠PEM＝∠ECF＝90°，PM⊥PD，
∴∠EPF＝∠MPD＝90°，四边形PECF是正方形，
∴∠MPE＝∠DPF，
∴△PEM≌△PFD，
∴EM＝DF，
∴CM+CCE﹣EM+CF+DF＝2CF，
∵PC＝CF，
∴CM+CD＝PC．
（3）连接DG、CH，作QK⊥CD于K．则四边形BCKQ是矩形．
∵∠BCD＝∠QCG＝90°，
∴∠BCQ＝∠DCG，
∵CB＝CD，CQ＝CG，
∴△CBQ≌△CDG，
∴∠CBQ＝∠CDG＝90°，BQ＝DG＝CK，
∵CQ＝CG，QH＝HG，
∴CH＝HQ＝HG，CH⊥QG，
∵∠CHO＝∠GOD，∠COH＝∠GOD，
∴∠HGD＝∠HCK，
∴△CKH≌△GDH，
∴KH＝DH，∠CHK＝∠GHD，
∴∠CHG＝∠KHD＝90°，
∴△DHK是等腰直角三角形，
∴DK＝AQ＝DH，
∴．
本题考查四边形综合题、正方形的性质和判定．等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据题意列出方程，再根据一元一次不等式进行解答即可.
【详解】
由规定，可得.
所以，，就是，解得，.
故答案为：
此题考查解一元一次不等式，解题关键在于理解题意.
20、＞．
【解析】
【分析】先求出1=，再比较即可．
【详解】∵12=9＜10，
∴＞1，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
21、1
【解析】
这组数据的平均数为：（-1+1+0+1+3）÷5=1，所以方差=[（-1-1）1+（0-1）1+（1-1）1+（1-1）1+（3-1）1]=1．
22、1.
【解析】
直线解析式乘以1后和方程联立解答即可．
【详解】
因为以二元一次方程x+1y-b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线上，
直线解析式乘以1得1y=-x+1b-1，变形为：x+1y-1b+1=0
所以-b=-1b+1，
解得：b=1，
故答案为1．
此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是直线解析式乘以1后和方程联立解答．
23、2
【解析】
在Rt△ACB中，，由题意设BD=B′D=AE=x，由△EDB′∽△ACB，可得，推出，可得，求出x即可解决问题。
【详解】
解：在中，，
由题意设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为2.
本题考查旋转变换、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由参数构建方程解决问题，所以中考常考题型．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析； （2）80.
【解析】
(1)根据SAS证明即可;
(2)根据勾股定理求得AE= ,再由旋转的性质得出,从而由面积公式得出答案.
【详解】
四边形ABCD是正方形,
,
而F是CB的延长线上的点,
,
在和中
,
;
(2) ,
,
在中,DE=4,AD=12,
,
可以由绕旋转中心 A点,按顺时针方向旋转90度得到,
,
的面积(平方单位).
本题主要考查正方形性质和全等三角形判定与性质及旋转性质，熟练掌握性质是解题关键.
25、（1）12，0.12；（2）详见解析；（3）840.
【解析】
（1）被调查学生数为50人，当时，频率为，则频数为，故，当时，频数为6，则频率为。所以，.
（2）由（1）知，补全频数分布直方图即可.
（3）先求出参加活动超过6次的频率，再根据样本估计总体.
【详解】
（1）12，0.12；
（2）如图所示：
；
（3）由题意可得，该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有：1500×（1-0.20-0.24）=840（人），
答：该校在上学期参加社区活动超过6次的学生有840人．
本题主要考查数据的处理和数据的分析.
26、见解析
【解析】
首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
【详解】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD=AC=BD
∴四边形OCED是菱形．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
活动次数x
频数
频率
010
0.20
3a
0.24
616
0.32
9m
b
124
0.08
152
n