贵州省贵阳2025届高考适应性月考卷（一）数学（含答案）

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一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
【解析】
1.由题，或，则，故选D.
2.对于A选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C选项，的定义域为，该函数在定义域上单调递增；对于D选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.
3.，故选B.
4.设点，则整理得，解得或，故选C.
5.的定义域为.当时，的定义域为，
即.令，解得的定义域为，即.
“”是“”的必要不充分条件，故选B.
6.由题，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，，故选C.
7.设的二项展开式的通项公式为，
，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.
8.由题，，即圆心为，半径为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9.对于A选项，由分布列性质可知正确；对于B选项，由两点分布定义可知错误；对于C选项，，正确；对于D选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.
10.令，对于A选项，的定义域为或，故A错误；对于B选项，的值域为在定义域内的值域为，故B正确；对于C选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C正确；对于D选项，有极值在定义域内有极值且，故D选项错误，故选BC.
11.对于A选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A错误；对于B选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C正确；对于D选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D正确，故选BCD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.
13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其余元素共有种排法，故共有种不同的方案.
14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；
数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.
（2）证明：由（1）可得
因为，
所以，所以.
16.（本小题满分15分）
（1）证明：如图1，连接，设，连接，
三棱台，则，又，
四边形为平行四边形，
则.
点是的中点，
.
又平面平面，
平面.
（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，
所以，
即，
化简得，
此时点与点重合.
，
且都在平面，则平面，
又为等腰直角三角形，则.
又由（1）知，则平面，
建立如图2所示的坐标系
则，
设平面的法向量，
则令，解得，
设平面的法向量，
则令，解得.
设二面角的平面角为，
，
所以，
所以二面角的正弦值为.
17.（本小题满分15分）
解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，
解得，即双曲线.
因为双曲线与双曲线的离心率相同，
不妨设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，所以，解得，
则双曲线的方程为.
（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为
，
联立消去并整理得
此时可得，
当时，由韦达定理得；
当时，由韦达定理得，
则，
化简可得，
由（1）可知圆，
则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切或相交.
18.（本小题满分17分）
解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在）内有（只）；
在内有（只）
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：
单位：只
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
根据列联表中数据，得.
根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.
记事件发生的概率分别为，则，.
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.
（ii）由题意，知随机变量，
所以.
又，设时，最大，
所以
解得，因为是整数，所以.
19.（本小题满分17分）
（1）若选①，证明如下：
若选②，证明如下：
.
（2）（i）解：，
当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；
当时，令，得；令，得，
令，得或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
有三个零点，则即解得，
当时，，
且，
所以在上有唯一一个零点，
同理
所以在上有唯一一个零点.
又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，
综上可知的取值范围为.
（ii）证明：设，
则.
又，所以.
此时，
方程的三个根均在内，
方程变形为，
令，则由三倍角公式.
因为，所以.
因为，所以，
所以
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
C
B
C
A
A
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
BCD
题号
12
13
14
答案
144
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200