北师大版（2024）第三章 整式及其加减3.2 代数式学案

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整体策略
例1 （1）已知：m－n=－2，求2（m－n）－m+n+7的值
（2）已知x3－y3=19，x2y+xy2=21，
求（x3+2y3）－2（x3－2xy2+x2y）+（y3+4x2y－2xy2－2x3）的值．
分析：（1）中已知m－n=－2，要想求出m，n的具体值，显然行不通，注意到－m+n=－（m－n），故要用整体代入法求值，（2）先去括号，再考虑求值．
解：（1）∵m－n=－2
∴原式=2（m－n）－（m－n）+7=（m－n）+7=－2+7=5
（2）原式=x3+2y3－2x3+4xy2－2x2y+y3+4x2y－2xy2－2x3
=－3x3+3y3+2xy2+2x2y
=－3（x3－y3）+2（xy2+x2y）
∵x3－y3=19，x2y+xy2=21
∴原式=－3×19+2×21=－15
评注：合理地添加括号，可使有些代数式与已知条件之间的关系更加清晰，这给计算求值问题带来很大方便．
部分策略
例2 已知a2+a－1=0，求代数式a3+2a2+8的值．
分析：已知中只有a2+a－1=0，就我们现有的知识无法求出a的值，若把已知条件变形为a2=1－a等形式，部分代入，变形抵消含字母a的项即可求值．
解：∵a2+a－1=0，∴a2=1－a
∴原式=a·a2+2a2+8
=a（1－a）+2a2+8
=a－a2+2a2+8
=a2+a+8
=1－a+a+8=9
消元策略
例3 已知3x+y+2z=3，x+3y+2z=1，则2x+z的值等于 ．
分析：所求式中不含y，不妨将已知两等式变形消去y，求出2x+z的值．
解：∵3x+y+2z=3，∴y=3－3x－2z代入x+3y2z=1得
x+3（3－3x－2z）+2z=1
x+9－9x－6z+2z=1
－8x－4z=－8
－4（2x+z）=－8
2x+z=2
主元策略
例4 如果a2+ab=4，ab+b2=－1，那么a2+3ab+2b2等于多少？
分析：若选ab为主元，那么已知两等式都可用ab表示，然后代入所求式求值．
解：由已知得a2=4－ab，b2=－1－ab，把它们代入所求式有：
a2+3ab+2b2=4－ab+3ab+2（－1－ab）=4－ab+3ab－2－2ab=2
减少字母策略
例5 若m+n+p=0，m4+n4+p4=1，则m（n+p）3+n（p+m）3+p（m+n）3的值为（ ）
A、1 B、－1 C、0 D、以上都不是
分析：所求式中有（n+p）3、（p+m）3、（m+n）3，可从已知条件m+n+p=0中用一个字母表示n+p、p+m、m+n，然后代入所求代数式求值．
解：由已知m+n+p=9得n+p=－m，p+m=－n，m+n= －p
∴m（n+p）3+n（p+m）3+p（m+n）3
=m（－m）3+n（－n）3+p（－p）3
=－（m4+n4+p4），
∵m4+n4+p4=1，∴原式=－1，应选B．
取特殊值策略
例6 设a+b+c=0，abc＞0，++的值是（ ）
A、－3 B、1 C、3或－1 D、－3或1
分析：本题是选择题，由已知条件不易定a、b、c符号，故可取特殊值代入计算．
解：∵a+b+c=0，abc＞0，不妨设a=2，b=c=－1
∴所求代数式= ++=1，应选B．
评注：在取特殊值时，所取的特殊值一是要满足题设条件，如本例中a、b、c的取值既要满足a+b+c=0，又要满足abc＞0；二是要使运算简便，使字母取值的绝对值尽可能小且尽可能为整数．