初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）1 生活中的立体图形学案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）1 生活中的立体图形学案设计，共14页。学案主要包含了试练例题1，试练例题2，试练例题3，试练例题4，试练例题5，试练例题6，易错典例1，易错典例2等内容，欢迎下载使用。

新知概览：
知识全解
知识点1生活中常见几何体的基本特征及其分类
知识衔接：
几何图形包括立体图形和平面图形．
1.平面图形：
数学上所说的平面没有边界，可以向四面八方无限延伸．如果一个图形的各个部分都在同一个平面内，那么这个图形是平面图形，常见的平面图形有三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆等．
2.如图1—1—1我们学过长方体,正方体等称为立体图形，这样的几何图形上的点不都在在同一平面内．
长方体 正方体
1—1—1
知识详解：
（1）几何体的分类：
直棱柱
柱体
棱柱
圆柱
锥体
棱锥
几何体
圆锥
球体
斜棱柱



（2）几何体的基本特征：体是由面围成的；面有两种，平面和曲面．
①柱体的相同点是上下两个面完全相同．
不同点是圆柱的底面是圆，侧面是一个曲面，直棱柱底面是多边形，侧面都是长方形；
②锥体相同点是都有一个顶点．不同点是圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，棱锥的底面是一个多边形，侧面都是三角形；
③球体由一个曲面围成．
知识警示：
（1）立体图形是由一个或几个面围成的，如：球是有一个面围成的，而长方体是由六个面围成的，组成棱柱和棱锥的面都是平的，而组成圆锥、圆柱、球的面都是曲的．
（2）我们直研究直棱柱，不作特殊说明，棱柱都指直棱柱；
（3）长方体、正方体是棱柱；
（4）几何体的分类可按“有无顶点”、“有无曲面”等不同的标准来区分．
【试练例题1】如图1—1—2所示，请分别指出下列物体的形状分别类似于哪种几何体．
1—1—2
思路导引：观察实物轮廓、分析轮廓特征、抽象几何体．
解：茶叶盒类似棱柱；地球仪类似球体；魔方类似棱柱；字典类似棱柱；金字塔类似棱锥；彩笔类似棱柱．
方法：由实物的形状想象几何体是一个观察、体验、抽象的过程，解决此类问题应从实物的轮廓特征入手，抽象出几何体，进而确定是哪种几何体，即“有物悟形”、“由形命名”．
【试练例题2】如图1—1—3将下列几何体进行分类，并说明理由.
1—1—3

思路导引：把几何体进行分类，一定要注意根据不同的分类标准，分类情况不尽相同，切记不要混淆分类标准，分类要做到不重不漏．
解：如一类是（1）（2）（4）（5）是柱体，另一类（3）（7）是椎体，第三类（6）是球体；
或一类是（1）（4）（5）（7），有平面围成，另一类（2）（3）（6），有曲面参与围成．
方法：几何体分类，先确定分类标准，按有无曲面来分较常用，在此标准下几何体可分为多面体（围成几何体的面都是平面）和旋转体（由平面图形旋转形成，围成几何体的面有曲面）．
【试练例题3】如图1—1—4所示，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的（ ）
1—1—4

A. 长方体和圆锥 B. 长方形和三角形 C. 圆和三角形 D. 圆柱和圆锥
思路导引：根据立体图形的特征对图进行分析知：该图上部分是圆柱，下部分是圆锥．
解：D.
方法：先判断原几何体是曲面还是平面围成，再判断是否能分割为柱体、锥体还是球体.
知识点2棱柱的相关概念及特征
知识衔接：
１．在小学里我们认识了六种常见的几何体，它们分别是长方体、正方体、圆柱、圆锥和球体．
2．我们通过学习，已知道圆柱的侧面展开图是长方形．
知识详解：
（1）在棱柱里，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线交做侧棱，棱柱的所有侧棱都相等．棱柱的上、下底面是相同的图形，都是多边形，侧面都是长方形．
（2）棱柱的特征是：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．
知识警示：
1—1—5
一般地，n棱柱有2n个顶点，3n条棱（其中有n条是侧棱），(n+2)个面（2个底面，n个侧面）．
【试练例题4】如图1—1—5所示棱柱
（1）这个棱柱的底面是____________边形．
（2）这个棱柱有____________个侧面，侧面的形状是____________边形．
（3）侧面的个数与底面的边数____________．（填“相等”或“不相等”）
（4）这个棱柱有____________条侧棱，一共有____________条棱．
（5）如果CC′=3 cm，那么BB′=____________cm．
思路导引（１）观察图形，易知此棱柱为三棱柱；所以底面是3边形，这个棱柱有3个侧面，侧面形状是四边形；利用棱柱侧棱都相等，可求得BB′．
答案：1.（1）三 （2）3 四 （3）相等 （4）3 9 （5）3．
方法：结合图形解决棱柱的问题，知识就显得较为容易．
知识点3 棱柱的分类
知识详解：
人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
知识警示：
（1）底面是n边形的棱柱称为n棱柱，长方体和正方体都是四棱柱．
（2）正方体的六个面形状、大小都相同，都是正方形，正方体的12条棱都相等．
1—1—6
【试练例题5】如图1—1—6请说出下面物体是哪种棱柱．
思路导引根据棱柱的分类，观察这几个棱柱的底面，分别是三角形、四边形、六边形，所以这几个物体分别是：三棱柱、四棱柱、六棱柱．
答案：三棱柱、四棱柱、六棱柱．
方法：判断棱柱的种类，我们可以看棱柱底面是几边形，即可判断其是几棱柱．
知识点4图形的构成要素
知识详解：
1.几何图形都是由点、线、面、体组成的.
(1)点是构成图形的基本元素，是线与线相交的地方，即线与线相交成点.点无大小之分，只有位置之别；
（2）线无粗细，可以有长度，它可分为直线、曲线，面与面相交成线；
（3）面无厚薄，可分为平面、曲面.平面是向四周无限延伸的.
2．用运动观点看几何基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体.如：
流星可以看作一个点，它划破夜空，就形成了线；直升飞机的螺旋桨快速旋转形成了一个圆面，这可以说线动成面；三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体.
点动成线，线动成面，面动成体，这样就组合成了各种各样的几何图形，形成了丰富多彩的图形世界.
知识警示：
（1）线、面、体都是由点组成的，即点是构成图形的基本元素；
（2）面与面的交线可能是直线，也可能是曲线；
（3）点是最简单的几何图形.
1—1—7
【试练例题6】用数学的眼光去观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的．如图1—1—7绕虚线旋转得到的几何体是（ ）
A B C D

思路导引：根据旋转及线动成面的知识可得旋转后的图形为：两边为圆锥，中间为圆柱，结合实际生活经验此题易解．
解：D.
方法：长方形绕其一边所在直线旋转一周形成了一个圆柱; 半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球;三角形形绕其一边所在直线旋转一周形成圆锥.
易错易混辨析
易错点1不能正确判断几何体的类型
【易错典例1】如图1—1—8各几何体中，柱体是第_____个．
1—1—8
易错总结：柱体包括棱柱和圆柱，他们的上下两个底面完全相同，部分同学因忽略柱体的这一共同特征二误认为（1）（3）是柱体而出错，正确答案是（2）（4）．
易错点2判断由平面图形旋转而成的立体图形时，出现漏解或错解
1—1—9
【易错典例2】 以如图1—1—9所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的_________（填序号）．
易错总结：本题是一个直角三角形围绕任意一条直角边旋转一周，部分同学可能因习惯于只绕竖直的AB旋转只选（2）或分绕直角边旋转和斜边旋转两种情况而不考虑两直角边的长短漏选（3），还可能因为绕斜边AC形成图形不熟悉而漏选（4），正确为答案应是（2）（3）（4）．
基础经典全析
题型1立体图形的识别
【题型典例1】如图1—1—10下列各几何体中，直棱柱的个数是（ ）
1—1—10
A．5 B．4 C．3 D．2
思路导引：直棱柱由上、下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是长方形．
抓住直棱柱侧面为长方形进行选择．
题型2常见几何体的分类
【题型典例2】如图1—1—11将下列几何体分类，(1)柱体有：_________1、2、3
，锥体有_______5、6
（填序号）;
(2)与众不同的一个你认为是_____,因为____________;
(3)自己制定一个标准，将下列图形分类，说明你的分类标准．
1—1—11
思路导引：（1）根据柱体有两个底面，锥体一个底面来区分；（2）可以从围成几何体的面数和曲、平来考虑；（3）不唯一，如有无曲面等标准．
解：（1）柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：1、2、3；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有5、6；
（2）球属于单独的一类；
（3）分类标准是有无曲面，因此1、3、6是一类，是有平面围成，2、4、5是一类，是有至少一个曲面参与围成．
方法：几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，也常按组成它们的面是否有曲面来划分，还可以按有没有顶点来划分．
题型3对棱柱的基本要素的判断
1—1—12
【题型典例3】 如图1—1—12是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm，观察这个棱柱，请回答下列问题：
（1）这个七棱柱共有多少个面？它们的形状分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积和是多少？
（2）这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
（3）这个七棱柱一共有多少个顶点？
解：（1）这个七棱柱共有9个面，上下两个面是七边形，侧面是长方形，上下两个面的形状相同，面积相等，七个侧面的形状相同，面积相等．
要求侧面的面积和只需求出1个侧面长方形的面积，再乘以7即可．2×5×7=70(cm2)．
(2）这个七棱柱一共有21条棱，它们的侧棱长都是5cm，其余棱长都是2cm．
(3)这个七棱柱一共有14个顶点．
点拨：通过对本节内容的学习，我们一定要养成善于观察、通过求解分析寻找规律的良好习惯，只有这样，才能把所学知识融会贯通.
题型4关于点、线、面、体的认识
【题型典例4】（1）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，形成了 ，这表明了 现象；
（2）时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了___________________.
思路导引：根据点、线、面之间的形成关系来解答点动成线，线动成面，面动成体.
解：（1）线，点动成线；
（2）线动成面，面动成体.
方法：点动成线，线动成面，面动成体.
综合创新探究
题型5利用点、线、面、体之间的关系探索图形的旋转问题
【题型典例5】圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的，如图1—1—13下列四个平面图形绕着直线旋转一周可以得到左图的是（ ）
A B C D
1—1—13
思路导引：由于左图是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．
解：解：根据选项中图形的特点，
A．可以通过旋转得到两个圆柱；故本选项正确；
B．可以通过旋转得到一个圆柱，一个圆筒；故本选项错误；
C．可以通过旋转得到一个圆柱，两个圆筒；故本选项错误；
D．可以通过旋转得到三个圆柱；故本选项错误
故选A．
方法：点动成线，线动成面，面动成体．解答此类题目一要理解长方形、三角形、半圆等常见平面图形旋转所形成的几何体特征，二要熟练将几何体或平面图形分解成熟悉的几何图形．
题型6 求几何体的体积
【题型典例6】一直棱柱，其中两底面为正方形，其面积和为32；四个侧面均为长方形，其面积和为80．求此直棱柱的体积．
思路导引：根据直棱柱的底面积求出直棱柱的底面边长，再根据侧面相同与面积和求出高从而计算面积．
解：直棱柱的底面积为32÷2=16，所以底面边长是4，又因为四个侧面为相同的长方形，且面积和为80，所以每个侧面面积是20，所以高位5，所以体积是16×464．
方法：棱柱、圆柱的体积公式都是底面积乘以高．
题型7 棱柱的顶点数、面数和棱数之间的关系
【题型典例7】如图1—1—14，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．
1—1—14
（1）四棱柱有_______8
个顶点，________12
条棱，_______6
个面；
（2）五棱柱有________10
个顶点，______15
条棱，_______个面；7
（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
（4）n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？
思路导引：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；
（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；
（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；
七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；
（4）n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
方法：常见棱柱的顶点数、面数和棱数之间的熟练关系，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
备战中考
考点1探索图形的旋转问题
中考典例1将如图1—1—15所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A B C D
1—1—15
思路导引：根据题意作出图形，即可进行判断．
解：B．
点拨：将直角三角形绕直角边旋转一周，可得到圆锥，绕斜边旋转一周，可得到两个圆锥的组合体
（2011•铜仁．第３题．4分）
变式练习1将图1—1—16所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
1—1—16
A B C D
思路导引：根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得到的几何体的形状．
解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，故选C．
知识要点
课标要求
中考考点
节内对应例题
节内对应习题
生活中常见几何体的基本特征及其分类
认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类
识别柱体、锥体、球体
试练例1，2，3；易错典例1；题型典例1，2,3,4，6；
新题精炼1，2，9，10，11，12，11
棱柱的特征
知道常见几何体的特征
求棱柱的棱数，面数
试练例4，5；题型典例7；
新题精炼3,4，7,8,9,10，12
图形的构成要素
认识点、线、面，理解“点动成线、线动成面、面动成体”
探索平面图形旋转的旋转体
试练例6；易错典例2；题型典例4，5,6； 中考典例1
新题,5,6，13，14
本节重、难点
1.重点：几何体的识别、分类．
2.难点：旋转问题及几何体顶点、棱数、面数的推导转化．
新题精炼
基础巩固
1．如图1—1—17观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是（ ）
A． B． C． D．
1—1—17
2．下列图形中不是立体图形的是（ ）
A.圆锥 B.圆柱 C.圆 D.球
3．如图1—1—18是一个生日蛋糕盒，这个盒子有几条棱（ ）
1—1—18

A．6条 B．12条 C．18条 D．24条
4．下列立体图形中，有五个面的是（ ）
A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．五棱柱
5．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如图1—1—19立体图形的是（ ）
1—1—19
A． B． C． D．
6． 汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对
7．若一个棱柱的底面是一个七边形，则它的侧面必须有_____7
个长方形，它一共有_____个面,______个顶点． 9
8．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是______边形．
9．六棱柱有_____个顶点，有_______条侧棱．
知识点1
题型2
知识点1
题型1
知识点2
题型3
知识点2
题型2
知识点3
题型4
知识点3
题型4
知识点2
题型3
知识点2题型3
知识点2题型1
10．如图1—1—20至少找出下列几何体的4个共同点.
1—1—20
11．（1）如图1—1—21下面这些基本图形和你很熟悉，试一试在括号里写出它们的名称．
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）1—1—21
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．
如图1—1—22下面的图形表示四棱柱的是（ ）
1—1—22
能力提升
12．多面体是由多个平面围成的几何体，如图1—1—23下列几何体中，属于多面体的有（ ）
1—1—23
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．若一个直四棱柱的底面是边长为1cm的正方形，侧棱长为2cm，则这个直棱柱的体积是______________cm3．
14．（1）探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记
为E，面数记为F，填写下表．
知识点2
题型1
知识点1
题型2
知识点2
题型1
知识点3
题型2
知识点3
题型6
知识点3
题型7
（2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？
（3）验证：再找出一个多面体，数一数它有几个顶点，几条棱，几个面，看看面数、顶点数、棱数是否满足上述关系．
（4）应用（2）的结论对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，上述关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？

多面体
V
F
E
V+F-E
四面体




长方体




五棱柱




新题精炼答案
基础巩固
1．D思路导引:圆柱的上下底面都是圆，所以正确的是D．
2．C思路导引: 圆是平面图形
3．C思路导引: 观察图形可知上下面的棱数都是6，侧面的棱数是6．则这个盒子的棱数为：6+6+6=18．
4．A思路导引:要明确棱柱和棱锥的组成情况，棱柱有两个底面，棱锥有一个底面．
5．B面动成体．由题目中的图示可知：此几何体是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
6．B 思路导引:汽汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
7．7,9,14思路导引: n棱柱有个侧面且都是长方形，有（n+2）个面，2n个顶点．
8．六思路导引: n棱柱有3n条棱，两个底面共有2n条，每个底面n条棱，即故底面有n条边．
9．7．12,6思路导引通过观察六棱柱可知，六棱柱有12个顶点、有六条侧棱．
点拨：我们知道四棱柱有8个顶点，五棱柱有10个顶点，六棱柱有四个顶点……，以此类推n棱柱有2×n个顶点．
10．思路导引: 观察图形，可以从图形的组成、侧面等回答．
解：答案不惟一，如：都由平面组成，侧面都是长方形，都有上下底面，都有侧棱等．
11．（1）针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．
（2）可以按柱体、锥体和球进行分类，也可以按平面和曲面进行分类，方法不同，答案不同，只要合理即可．
解：（1）从左向右依次是：球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
（2）观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．
能力提升
12．A思路导引:根据多面体意义，没有曲面参与围成，故只有第二、四符合要求．
13．2思路导引:根据棱柱体积等于底面积乘以高代入求解即可．
14．思路导引:（1）四面体为三棱锥，顶点数为4，面数为4，棱数为6，V+F-E=2；长方体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，V+F-E=2；五棱柱的顶点数为7，面数为10，棱数为15，V+F-E=2；
（2）由（1）可得V+F-E为一个定值，恒为2；
（3）例如六棱柱，有顶点数为12，面数为8，棱数为18，12+8-18=2符合上述关系；
（4）10+20-30不等于2，所以不会有．
解答：（1）
（2）V+F-E=2；
（3）例如六棱柱，有顶点数为12，面数为8，棱数为18，12+8-18=2符合上述关系，所以满足；（4）因为不满足欧拉公式，所以不可能．
多面体
V
F
E
V+F-E
四面体
4
4
6
2
长方体
6
8
12
2
五棱柱
7
10
15
2