四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．设，则（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件是互斥事件
11．已知，其中，则的取值可以是（ ）
A．eB．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．
12．若，则______．
13．设是数列的前n项和，点在直线上，则数列的前项和为______．
14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．
18．（17分）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．
2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）
一、单项选择题：BAACDDDC
8．【解】由对数函数的性质知，
，所以；
当时，，
所以
，
取，则，
所以，即，综上，．
二、多项选择题：ABC ACD CD．
11．【解】令，则，
故当时，单调递增，当时，单调递减，
，又，不妨设，
解法一：记，设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，则，
又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．
解法二：由，两式相减，可得，令，
则；
令，则，
令，则在上恒成立，所以在上单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即，所以．
解法三：，两式相减得，
由对数均值不等式，可得，
三、填空题： ；3
14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以
从而得到点的轨迹为，焦点为
由抛物线的定义可知，
因为，即，当点在线段上时等号成立．
四、解答题：
15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．
（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．
又，
所以在中，由余弦定理
，
所以，又，所以，所以，
所以的面积为．
16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．
（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．
且平面平面，且平面平面，则平面．
因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．
是边长为2的正三角形，则可求得高．
底面为等腰直角三角形，求得．
可以得到关键点的坐标
由第（1）问知道平面的法向量可取．
设平面的法向量为，且，则，则，解得．
则．则平面与平面夹角的余弦值为．
17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．
（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．
（3）依题意，，
事件包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，
所以．
18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，化简得；
（2）由题意可知，则的定义域为，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若；若，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：函数，
函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线关于直线对称．
19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆的标准方程为．
（2）如图：①设直线的方程为，并记点，
由消去，得，易知，
则．
由条件，，直线的方程为，直线的方程为，
联立解得，所以点在定直线上．
②，而，所以，
则，
令，则，所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828